Méthode individuelle

-3.5 1 -1 2 -2 3 -3 4 -4 5 -5 6 -6 7 -7 8 -8 9 -9 11 -11 12 -12 13 -13 14 -14 16 -16 17 -17 18 -18 19 -19 10 -10 15 -15 20 -20 25 -25 30 -30 35 -35 40 -40 45 -45 50 -50 51.15 -51.15 51.2 -51.2 51.25 -51.25 51.3 -51.3 51.35 -51.35 51.4 -51.4 55 -55 60 -60 65 -65 70 -70 75 -75 80 -80 85 -85 90 -90 95 -95 110 -110 115 -115 120 -120 125 -125 130 -130 135 -135 140 -140 145 -145 150 -150 155 -155 160 -160 165 -165 170 -170 175 -175 180 -180 185 -185 190 -190 195 -195 100 -100 150 -150 200 -200 250 -250 300 -300 350 -350 400 -400 450 -450 500 -500 550 -550 600 -600 650 -650 700 -700 750 -750 800 -800 850 -850 900 -900 950 -950 1000 -1000 2000 -2000 3000 -3000 4000 -4000 5000 -5000 6000 -6000 7000 -7000 8000 -8000 9000 -9000

Fig. 3.13 – Définition des longueurs.

3.5.1.2 Méthode individuelle

La méthode proposée ici est de calculer chaque terme de l’équation (3.54) de ma- nière individuelle. Cette méthode présente l’avantage de ne présenter aucune dérive et l’estimation peut être précise car elle peut être faite au centre de masse de la charge.

Cependant, elle peut être sujet au bruit, spécialement lorsqu’elle requiert des estima- tions directes d’accélération. Même si une approximation de la distance entre le centre de masse de la charge et son point d’attache est requise (δcm), ce qui n’est pas un problème en pratique, cette méthode mène à de meilleurs résultats que la méthode de l’accéléromètre proposé dans la littérature car l’estimation de l’accélération se fait très près du centre de masse de la charge.

L’estimation est : ˆ

aI = ( ¨Xccos β1sin θ1+ ¨Lp− Lpβ˙12 (3.58)

−Lpθ˙12cos 2_β

1 + ¨Ycsin β1− g cos β1cos θ1)

où ˆaI est l’estimation de l’accélération du centre de masse de la charge avec la méthode individuelle. Une simplification pourrait être utilisée pour de petits angles, par exemple :

ˆ

aIS = ( ¨Xcsin θ1+ ¨Lp− Lpθ˙22 (3.59)

−Lpθ˙₁2+ ¨Ycsin θ2− g cos θ1cos θ2)

où ˆaIS est l’estimation de l’accélération du centre de masse de la charge avec la méthode individuelle simplifiée. Cependant, étant donné qu’il n’est pas plus complexe d’utiliser ˆ

aI que ˆaIS, et qu’elle est beaucoup plus précise, il est suggéré d’utiliser ˆaI.

À partir de l’équation (3.58), plusieurs mesures sont requises :

– L’angle du câble θ1 et θ2 (duquel β1 est déduit) : Ceux-ci sont obtenus via

le capteur d’angle du câble tel qu’expliqué à la section 3.3.1.1.

– La vitesse angulaire du câble ˙θ1 et ˙θ2 (duquel ˙β1 est déduit) : Ceux-ci sont

obtenus via la dérivée de l’angle du câble (ici obtenue avec un filtre de Kalman). Un capteur de vitesse (comme un gyroscope) pourraient aussi être placé sur les arbres du capteur d’angle.

– Longueur du câble Lc : Obtenu avec un capteur de position sur l’arbre du moteur (ici un potentiomètre et un encodeur incrémental sont fusionnés). La position de la charge, Lp, est obtenue avec :

Lp = Lc+ δcm (3.60)

où Lc est la longueur du câble, δcm est une approximation de la distance entre l’attache de la charge et son centre de masse tel que montré à la figure 3.13. – L’accélération de la longueur du câble ¨Lp : Comme il sera expliqué, elle est

du câble. Un seul de ces signaux pourrait aussi être utilisé directement bien que le résultat ne serait pas d’aussi bonne qualité. Un accéléromètre de rotation ou un gyroscope (dont on prendrait la dérivée) pourraient aussi être placés sur l’arbre du moteur. Il est ensuite facile d’obtenir l’accélération verticale du câble à partir de cette estimation.

– Accélération du chariot ¨XC et ¨YC : Comme il sera expliqué, elle est obtenue en fusionnant l’accélération désirée et la seconde dérivée de la position du chariot. Un seul de ces signaux pourrait aussi être utilisé directement bien que le résultat ne serait pas d’aussi bonne qualité. Un accéléromètre de rotation ou un gyroscope (dont on prendrait la dérivée) pourraient aussi être placés sur l’arbre du moteur et des accéléromètres linéaires pourraient aussi être placés sur le chariot.

L’estimation de l’accélération est ensuite obtenue en entrant toutes ces mesures et estimations dans l’équation (3.58).

Fusion pour l’estimation de l’accélération

Comme il a été mentionné, l’accélération verticale du câble ¨Lp et l’accélération du cha- riot ¨XC et ¨YC sont obtenues en fusionnant l’accélération désirée avec la seconde dérivée de la mesure de position. Si l’accélération désirée était utilisée seule, le signal serait de bonne qualité mais il pourrait y avoir un biais car le robot ne suit pas nécessairement parfaitement la référence. Utiliser la seconde dérivée de la mesure de la position mène- rait à un signal près de la réalité mais extrêmement bruité. L’idée est ici de fusionner les deux signaux afin de retenir l’avantage de chacun et la technique est inspirée deKostic et collab. (2004a) avec l’aide d’un filtre de Kalman (Belanger et collab.,1998). L’erreur est définie tel que :

ei = qdi− qi (3.61)

où qi est la mesure de la position articulaire pour l’articulation i et qdi est la position désirée. Un filtre de Kalman avec un modèle d’accélération de troisième ordre (Belanger et collab., 1998) est utilisé afin d’estimer les états ˆxi(k) :

ˆ xi(k) =

h

ˆ

ei(k) ˆ˙ei(k) ˆei(k)¨ iT. (3.62) L’estimation de l’accélération est ensuite reconstruite avec :

ˆ qi = qdi− ˆei (3.63) ˆ˙ qi = ˙qdi− ˆ˙ei ˆ ¨ qi = ¨qdi− ˆe¨i

où ˆqi, ˆ˙qi et ˆq¨i sont respectivement l’estimation finale de la position, la vitesse et l’accé- lération.

Ceci mène à une meilleure estimation que si le filtre de Kalman avait été appliqué directement sur le signal qi. En effet, le signal d’erreur a moins d’amplitude et de largeur de bande que le signal de position et il est en général plus facile d’obtenir un signal de qualité tout en réduisant les désavantages d’un filtre comme le délai. Par exemple, si les paramètres du filtre sont réglés à des valeurs très élevées, l’estimation sera près de la valeur désirée du mouvement au lieu d’être près de zéro comme ce serait le cas si le filtre avait été appliqué directement sur le signal de position.

Pour l’accélération du chariot, l’idée est similaire mais est un peu plus complexe. En effet, avec notre prototype, pour la coopération horizontale, la vitesse et l’accéléra- tion désirée sont connues mais la position désirée ne l’est pas. Il n’est pas souhaitable d’intégrer la vitesse désirée afin d’obtenir la position désirée car ceci pourrait dériver avec le temps. L’erreur est donc définie par

ei = ˙qdi− ˙qi. (3.64)

et filtrée avec un filtre de Kalman avec un modèle de vitesse de second ordre (Belanger et collab., 1998). La vitesse ˙qi peut y être entrée directement ou après avoir été légè- rement filtrée, par exemple avec un filtre de Kalman avec un modèle d’accélération de troisième ordre. L’accélération des articulations est alors aussi reconstruite de manière similaire.