Modèle de Shafii et al

De la même manière que dans le modèle de Dobson, une seconde approche basée sur la résolution d’un système classique d’équations de conservation mais dans un cas plus général correspondant à un système contenant plusieurs bulles de vapeur et bouchons de liquide a été proposée par Shafii et al. [50]. Ce modèle dont la structure est plus complexe que celle du mo- dèle de Dobson a été développé afin de pouvoir traiter les deux configurations possibles d’un caloduc oscillant à savoir : boucle ouverte ou boucle fermée.

Les schémas des deux systèmes faisant l’objet de ce modèle mathématique sont présentés sur la figure 3.16. Il faut noter que leur géométrie a été simplifiée et l’effet que peut induire la présence de coudes a été négligé. Par conséquent, un tube droit composé uniquement de zones d’évaporation et de condensation, qui se succèdent, a été modélisé. Les températures de paroi Te et Tc ont été fixées et constituent les conditions aux limites de ce modèle. Les hypothèses formulées pour la résolution du système d’équations établi sont [50] :

– Les coefficients d’échange thermique à l’évaporateur et au condenseur sont supposés constants ;

– Le liquide est incompressible et la vapeur se comporte comme un gaz parfait ;

– Les pertes de charges dans les différents coudes ont été négligées en raison du faible nombre de boucles (ici deux) constituant le système.

Le système d’équations considéré a été établi à partir d’un volume de contrôle élémentaire présenté sur la figure 3.17. Ce système est composé de [50] :

FIG. 3.16 – Schéma du système modélisé par Shafii et al. [50]

– L’équation de conservation de la quantité de mouvement du ième bouchon liquide ; d (mliq,ivliq,i)

dt = Pvap,i− Pvap,(i+1)
A − πDiLliq,iτ − (−1) n

mliq,ig (3.22) Où τ exprime le frottement entre le ième bouchon liquide et la paroi du tube. Ce terme est donné par la relation suivante :

τ = 1 2f ρliqv 2 liq (3.23) Avec : f = 16 Re si Re ≤ 1180 f = 0, 078Re−0,2 si Re > 1180

Dans l’équation 3.22, le caloduc oscillant considéré est supposé fonctionner en position verticale défavorable (évaporateur au dessus du condenseur). L’effet de la force de gra- vité peut assister ou s’opposer au mouvement du ième bouchon liquide en fonction de sa direction d’écoulement.

Cet effet est pris en compte dans l’équation 3.22 à l’aide du terme (−1)n

mliq,ig. Dans ce dernier, n désigne le numéro du tube dans lequel se trouve le bouchon liquide considéré. De ce choix découle l’hypothèse d’une direction unique de circulation du fluide, du tube n˚1 vers le tube n˚4. Lorsque les deux extrémités de ce tube sont disjointes (configuration en boucle ouverte) cette hypothèse ne peut pas être vérifiée.

– L’équation de continuité exprimant, d’une part, la conservation de la masse liquide et, d’autre part, la conservation de la masse vapeur ;

dmliq,i dt = ˙mliq,i,in− ˙mliq,i,out= 1 2  dmvap,i dt + dm_vap,(i+1) dt  (3.24) Dans cette équation Shafii et al. supposent que la variation de la masse du ime _bouchon liquide est engendrée à part égale par les variations des masses des deux bulles de vapeur voisines. dmvap,i dt = hvap,eπDiLe,i (Tvap,i− Te) hlv − hvap,c πDiLc,i (Tc− Tvap,i) hlv (3.25) Où hvap,e et hvap,c sont des coefficients d’échange de chaleur relatifs respectivement à l’évaporation et à la condensation. Le,i et Lc,i sont les longueurs de vapeur en contact respectivement avec la zone chauffée et la zone refroidie.

– L’équation de conservation de l’énergie interne de la vapeur ;

mvap,icv,vap dTvap,i

dt = ( ˙mvap,i,in− ˙mvap,i,out) (hlv+ cp,vapTvap,i) − Pvap,i dVvap,i

– L’équation d’état des gaz parfait ;

Pvap,iVvap,i= mvap,iRTvap,i (3.27) L’un des principaux résultats de ce modèle, présenté sur la figure 3.18, concerne l’évolution de la répartition initiale du fluide au sein du système considéré au cours du temps lorsque les conditions aux limites en terme de chauffage et de refroidissement sont appliquées. En effet, des simulations, réalisées avec différentes valeurs initiales du nombre de bulles de vapeur, ont conduit à constater que les deux phases liquide et vapeur se réorganisent pour aboutir à une situation finale identique. Cette dernière est caractérisée par la présence du liquide uniquement dans la zone refroidie et de la vapeur uniquement dans la zone chauffée.

FIG. 3.18 – Evolution du nombre des bulles de vapeur en fonction du temps [50]

Ce résultat a été pris en considération dans la suite des simulations réalisées par Shafii et

al.. Ainsi, un système composé de quatre branches comprenant trois bulles de vapeur et deux bouchons de liquide a été modélisé comme le présente la figure 3.19 [50].

La détermination des paramètres caractéristiques de la vapeur dans cette nouvelle confi- guration a permis de tracer les graphiques de la figure 3.20. Ces courbes décrivent l’évolution temporelle de la température, de la pression et de la position d’une extrémité de la bulle n˚1. Des résultats similaires ont été obtenus pour les deux autres bulles.

FIG. 3.19 – Répartition du fluide considérée par Shafii et al. [50]

Remarque : Si l’on retrouve un caractère oscillant de la pression, de la température et du front

liquide-vapeur, ceci reste insuffisant pour se rapporter aux phénomènes observés expérimen- talement. Le regroupement des phases tel que simulé avec une oscillation locale pourrait n’être qu’un cas très particulier de fonctionnement. Par ailleurs, aucune simulation n’a été effectuée pour prendre en compte l’effet du nombre de boucles. En effet, le premier résultat portant sur l’évolution de la répartition du fluide n’a pas été confirmé dans le cas d’un système composé d’un nombre plus important de boucles.

Finalement,ces premières tentatives de modélisation ne semblent pas concluantes pour re- produire le comportement mécanique observé expérimentalement dans un caloduc oscillant. La difficulté de modéliser le comportement thermohydraulique d’un tel système résulte de sa dépendance à un nombre important de paramètres dont les effets ont été plus ou moins identifiés mais pas complètement maîtrisés. En outre, les tentatives de modélisation réalisées montrent que considérer le système dans sa globalité est une tâche dont la réalisation s’avère très compliquée. Ainsi, en partant du système apparemment le plus simple (une seule bulle de vapeur et un seul bouchon de liquide) comme l’a pratiqué Dobson, nous allons mener une série d’analyses à l’aide d’un modèle numérique associé à ce volume élémentaire.