Etude numérique - Equations de conservation

3.7 Equations de conservation

3.7.3 Etude numérique

La démarche selon laquelle ce système élémentaire a été traité dans le cadre de cette thèse est explicitée dans la suite de ce paragraphe. Compte tenu du temps consacré au dévelop- pement des bancs expérimentaux et leur exploitation, cette étude numérique constitue une ébauche d’un travail de modélisation.

L’objectif principal recherché à travers ce calcul a été de mettre en évidence le fait que dans le cas d’un système simple, comme celui considéré ici, sans sollicitations mécaniques extérieures et uniquement sous un effet thermique (flux de chaleur) un mouvement «oscil- latoire» peut apparaître et les oscillations engendrées peuvent être entretenues.

3.7.3.1 Structure du modèle

Les premiers calculs ont consisté à essayer de reproduire les résultats obtenus par Dobson [32] en utilisant exactement le même système d’équations différentielles et des données initiales et des conditions aux limites identiques. Cette première tentative a été sans succès, les résultats obtenus font apparaître aux premiers pas de calcul des oscillations qui finissent par s’amortir et disparaître. En effet, le retour du liquide du condenseur à l’évaporateur assurant le mouillage de la paroi intérieure du tube et par conséquent l’alimentation du système en vapeur ne se produit pas. Seul le premier jeu d’oscillations de la figure 3.15 est reproduit.

Des modifications, issues d’une analyse réalisée par Vadim Nicolayev, ont été alors appor- tées au système d’équations précédent, notamment en ce qui concerne la prise en compte de l’effet dû à la présence d’un film liquide sur les échanges thermiques. Ce modèle modifié a été développé en considérant le système décrit par le schéma de la figure 3.21.

000000000000000000000

111111111111111111111

x x = 0 Tvap Pvap vliq Pext δlf Le Lc La Te Tc xf Llf

FIG. 3.21 – Schéma du système modélisé

3.7.3.2 Hypothèses considérées

– Un film liquide mince tapissant la paroi de l’évaporateur sur une longueur donnée Llf est supposé exister et son épaisseur est considérée constante (δlf = 30 µm). La longueur de ce film liquide évolue en fonction, d’une part, de la position du front liquide-vapeur et, d’autre part, de la perte de masse évaporée qui définit la position de son extrémité ; – Le liquide est supposé incompressible et la vapeur est assimilée à un gaz parfait ; – La variation de la quantité de mouvement de la vapeur est supposée négligeable ; – Les coefficients d’échange thermique à l’évaporateur (Ue) et au condenseur (Uc) sont sup-

posés constants.

3.7.3.3 Système d’équations final

Le système d’équations retenu pour la modélisation mathématique du volume élémentaire présenté ci-dessus ainsi que ses paramètres de contrôle, qui sont déterminés à chaque pas de temps, sont résumés dans le tableau 3.5.

Equation Variable associée

Quantité de mouvement du liquide (3.28) La vitesse du bouchon liquide vliq

Définition de la vitesse du liquide (3.36) La position instantanée du front liquide-vapeur x Conservation de la masse vapeur (3.29) La masse de la bulle de vapeur mvap

Conservation de l’énergie de la vapeur (3.34) La température de la bulle de vapeur Tvap Equation d’état des gaz parfaits (3.35) La pression de la bulle de vapeur Pvap Conservation de la masse du film liquide (3.33) La position de l’extrémité du film xf

TAB. 3.5 – Système d’équations et variables associées

La variation de la quantité de mouvement du liquide résulte d’un bilan de toutes les forces exercées sur ce dernier. Elle est donnée par l’équation ci-dessous qui différe de l’équation 3.14 par la prise en compte de la variation de la masse liquide :

d (mliqvliq)

dt = Fp− Fτ± Fg− Fσ (3.28)

Les expressions des différentes forces mises en jeu dans le bilan de l’équation précédente sont identiques à celles considérées dans le modèle de Dobson.

La conservation de la masse vapeur est exprimée par l’équation de continuité (3.29). dmvap

dt = ˙mvap,in− ˙mvap,out− ˙mvap∗ (3.29) De la même manière que dans le modèle de Dobson, dans l’équation précédente, les dif- férents termes ˙m désignent soit la production de la vapeur soit sa disparition. Ces débits de matière sont : ˙ mvap,in = UeπDiLlf (Te− Tvap) hlv (3.30) Où Ueest le coefficient d’échange thermique global à l’évaporateur.

mvap,out = UcπDiLvap,c

(Tvap− Tc) hlv

(3.31) Où Ucest le coefficient d’échange thermique global au condenseur.

mvap∗= UcompπDiLe

(Tvap− Te) hlv

Si Tvap> Te (3.32) La conservation de la masse du film liquide mlf donnée par la relation suivante :

ρliqπDiδlf dxf

dt = ˙mvap,in− ˙mvap∗ (3.33)

Les longueurs utilisées dans l’estimation des différents débits précédents sont définies comme suit :

– Llf représente la longueur du film liquide dans l’évaporateur. Cette longueur est définie en fonction de la position du front liquide vapeur x et de la position de la ligne triple notée xf : Llf =    x − xf si x < Le Le− xf si x > Leet xf < Le 0 sinon

– Lvap,ccorrespond à la longueur de la vapeur dans le condenseur. Cette longueur est don- née par la relation suivante :

Lvap,c=    0 si x < Le+ La x − (Le+ La) si Le+ La< x < Ltotale Lc sinon

La dernière équation de conservation du système porte sur l’énergie interne de la vapeur et différe de l’équation 3.19 par la prise en compte de la variation de la masse vapeur dans le terme de droite de la relation suivante :

cv,vap

dmvapTvap

dt =

dmvap

dt (hlv+ cp,vapTvap) − PvapA dx

dt (3.34)

L’hypothèse d’une vapeur agissant comme un gaz parfait, permet d’écrire l’équation d’état suivante : Pvap = mvapR (Tvap+ 273, 15) πDi2 4 x (3.35) Enfin, la détermination de la position instantanée de l’interface entre le liquide et la vapeur est effectuée grâce à l’équation 3.36.

vliq = dx

dt (3.36)

Lors de son écoulement, le fluide présent à l’intérieur du tube échange de la chaleur avec le milieu extérieur à travers sa paroi en raison des conditions aux limites thermiques considérées. Dans le cas présent, les températures des zones froides et chaudes sont imposées et le transfert de chaleur ne concerne que la phase vapeur et le film liquide.

L’ensemble des caractéristiques qui ont été considérées lors des différentes simulations réa- lisées sont identiques aux données de Dobson présentées dans le tableau 3.4.

3.7.4 Résultats et conclusions

Le nouveau système d’équations différentielles a été codé sous Visual C et résolu en utilisant un schéma de Runge Kutta d’ordre 4.

3.7.4.1 Effet du film liquide

Etant donné que la modification majeure apportée au modèle de Dobson a concerné la prise en considération de l’évolution du film liquide mince enveloppant la bulle de vapeur dans les échanges thermiques, les premiers calculs ont donc été consacrés à mettre en évidence l’effet engendré par ce film liquide.

La figure 3.22 présente le déplacement de l’interface entre les deux phases liquide et vapeur au cours du temps en considérant que le film liquide occupe initialement toute la longueur de la zone évaporateur. Le résultat obtenu montre qu’au bout de quelques pas de temps, le front liquide-vapeur se trouve en dehors du tube considéré (x > Ltotale). Il faut noter que le mo- dèle numérique ne gère pas cette situation. Ce résultat s’explique pas l’augmentation rapide et continue de la pression vapeur qui pousse le liquide vers l’extremité ouverte du tube.

FIG. 3.22 – Evolution du front liquide-vapeur en fonction du temps (Llf,0 = Le = 0,2 m, La= 0,02 m, Lc= 0,28 m )

Le retour du liquide vers l’évaporateur ne peut avoir lieu que si le signe de la force de pression (FP = (Pvap− Pext) A) s’inverse en raison d’une chute de la pression vapeur dûe à la condensation. Dans le cas présent, le taux de condensation ne permet pas de vérifier cette condition.

Ainsi, la variation des paramètres relatifs à la condensation ont permis de tracer les graphiques des figures 3.23 et 3.24. Le premier graphique présente les résultats obtenus avec un coefficient d’échange thermique de condensation Uc égal à 4Ue en maintenant tous les autres paramètres inchangés. Cette modification a permis de faire apparaître des oscillations non amorties de l’interface entre le liquide et la vapeur. Ce front se déplace entre la zone chauf- fée et la zone refroidie permettant à chaque passage dans l’évaporateur de réalimenter le film liquide et entretenir ainsi les oscillations observées.

De la même manière, si l’on considère les coefficients d’échange thermique initiaux (Ueet Uc) mais on augmente la longueur simulant la zone de condensation (Lc = 2,5 Le), on obtient le comportement présenté sur le graphique 3.24 qui est caractérisé par l’apparition des oscillations de l’interface liquide-vapeur. On constate qu’après une phase de démarrage et lorsque le bouchon liquide atteint la zone d’évaporation (t = 4 s environ) le front liquide-vapeur oscille ensuite de manière quasi-périodique avec une amplitude stable.

FIG. 3.23 – Evolution du front liquide vapeur en fonction du temps (Uc = 4Ue= 4000 Wm−2K−1, Le= 0,2 m, La= 0,02 m, Lc = 0,28 m)

FIG. 3.24 – Evolution du front liquide vapeur en fonction du temps (Lc = 2,5 Le= 0,5 m, La= 0,02 m)

On remarque également qu’à partir de cet instant (t > 4 s) le film liquide couvre une longueur assez réduite, qui est quasiment constante, de la zone évaporateur. Cela signifie qu’un échange par chaleur sensible peut avoir lieu au niveau de la bulle de vapeur sur la longueur restante de l’évaporateur.

Ainsi, dans le calcul suivant, la longueur initiale du film liquide a été prise égale à 0,02 m et une puissance thermique exprimant l’échange par chaleur sensible entre la paroi du tube et la vapeur a été introduite dans l’équation de conservation de l’énergie interne de la bulle de vapeur. Cette puissance thermique est donnée par la relation suivante :

Qsen= UsenπDi (xf(Te− Tvap) + Lvap,c(Tc− Tvap)) (3.37) Usencorrespond à un coefficient d’échange thermique exprimé en Wm−2K−1. Dans les calculs suivants ce paramètre est pris égal à 20 Wm−2

K−1. L’équation 3.34 devient alors :

cv,vap

dmvapTvap

dt =

dmvap

dt (hlv+ cp,vapTvap) + Qsen− PvapA dx

dt (3.38)

FIG. 3.25 – Evolution du front liquide-vapeur en fonction du temps, gauche : Usen = 0 Wm−2

K−1, droite : U

sen= 20 Wm−2K−1

Les graphiques de la figure 3.25 présentent les résultats obtenus avec les conditions initiales et aux limites du tableau 3.4 en considérant que le film liquide occupe une partie de la surface évaporateur (Llf = 0,02 m). Le paramètre variable a été le coefficient Usen. Les courbes tracées permettent de voir que la modification de l’équation d’énergie en introduisant un échange par chaleur sensible entre la paroi du tube et la vapeur conduit à une configuration stable carac- térisée par l’apparition et l’entretien des oscillations de l’interface entre le liquide et la vapeur. L’effet de ce terme semble favoriser le retour du front liquide-vapeur vers l’évaporateur. On constate également qu’un régime établi quasi périodique est atteint après environ 2 s.

Il est intéressant maintenant de vérifier si la réponse de ce système simple à une perturba- tion «thermique» est stable. Des simulations concernant la sensibilité du modèle aux conditions aux limites ont été donc effectuées.

3.7.4.2 Sensibilité aux conditions aux limites

Compte tenu des conditions considérées (Tvap= 25 ˚C et Pvap= 100000 Pa), pour une tempé- rature de paroi de l’évaporateur inférieure à 100 ˚C, le phénomène d’évaporation ne peut pas avoir lieu et le liquide envahit par conséquent la zone évaporateur. En revanche, pour une tem- pérature supérieure à 100 ˚C, un échange thermique par chaleur latente se produit et le front entre les deux phases liquide et vapeur se déplace entre l’évaporateur et le condenseur.

Les simulations réalisées permettent de distinguer plusieurs situations en fonction de la température de la paroi de l’évaporateur. Les résultats obtenus sont présentés sur les figures 3.26 et 3.27.

FIG. 3.26 – Evolution du front liquide vapeur en fonction du temps (gauche : Te= 100 ˚C, droite : Te= 111 ˚C)

Ces graphiques décrivent l’évolution temporelle de la position de l’interface liquide-vapeur. Pour une plage de température de paroi de l’évaporateur 100 ˚C < Te< 111 ˚C, des oscillations caractéristiques de ce mouvement apparaissent aux premiers pas de temps. Cependant, un amortissement de ces oscillations intervient au bout de quelques secondes et le mouvement s’arrête. On constate que dans cette gamme de température le front liquide-vapeur s’établit dans le condenseur et ne retourne plus à l’évaporateur. Ce résultat permet de déterminer un seuil d’instabilité en température au dessus duquel un régime établi peut apparaître.

FIG. 3.27 – Evolution du front liquide vapeur en fonction du temps (gauche : Te= 124 ˚C, droite : Te= 127 ˚C)

Ainsi, pour des températures appartenant à l’intervalle ]111 ˚C, 127 ˚C[, un régime stable est obtenu. Ce dernier est caractérisé par un retour du front liquide à l’évaporateur permettant d’entretenir les oscillations. Ce régime stable est remis en cause ici lorsque la température de la paroi de l’évaporateur est supérieure à 127 ˚C. En effet, sous cette condition la pression au sein de la bulle de vapeur augmente progressivement jusqu’à atteindre un niveau qui provoque la sortie du bouchon liquide en dehors du tube considéré. Si la longueur du tube était plus im- portante alors cette température limite serait bien sûr différente.

On constate après ces premières simulations que l’on peut assez aisément retrouver un signal (pression, température, position d’interface) périodique établi. En imposant arbitraire- ment la pression extrieure Pext et des conditions thermiques indépendantes alors le système cherche une position d’équilibre entre une solution mécanique et une solution thermique qui ne coïncident pas. Si pour certaines situations le front liquide-vapeur sort du tube, en ajustant certains paramètres (voire un seul) on retrouverait ce comportement établi.

Pour aller plus loin dans ces analyses, il serait nécessaire d’ajouter des conditions diffé- rentes sur Pextvoire modéliser la contribution de bulles de vapeur et de bouchons de liquide complémentaires. Pour autant, dans ce modèle la connaissance des effets de paramètres tels que ceux liés au film liquide, aux coefficients d’échanges, ... restent à améliorer.

3.8 Conclusion

Dans ce chapitre, une synthèse des différentes tentatives de modélisation du fonctionnement du caloduc oscillant a été présentée. Malgré la diversité des approches adoptées aucun modèle existant n’a pu réellement reproduire le mouvement oscillatoire observé au sein d’un caloduc oscillant en fonctionnement ou prédire ses performances. Ce constat témoigne en par-

ticulier de la difficulté d’identifier les paramètres influents et l’importance de leurs effets res- pectifs dans la physique régissant le fonctionnement de ce système.

Compte tenu du comportement intrinsèquement complexe du caloduc oscillant, l’analyse des phénomènes physiques au niveau d’un volume élémentaire de fluide est riche d’enseigne- ments et semble être une meilleure approche pour aborder ce problème de modélisation. Ainsi, la réflexion théorique initiée dans le cadre de ce travail et basée sur cette démarche a permis de mettre en évidence l’existence d’oscillations d’un front liquide-vapeur engendrées uniquement sous l’effet de sollicitations thermiques. L’entretien de ces oscillations dépend fortement des conditions imposées. Cette première étape de modélisation peut être complétée en intégrant au système d’équations l’effet de la variation de la force de tension de surface sur la courbure du ménisque, les échanges thermiques entre la paroi du tube et la phase liquide et une meilleure connaissance générale du comportement du film liquide. Puis, ce modèle élémentaire pourrait être étendu à un cas réél d’une branche d’un caloduc oscillant comportant plusieurs bulles de vapeur et bouchons de liquide.

Dispositifs expérimentaux

4.1 Introduction

Dans le cadre de ce travail, deux bancs expérimentaux ont successivement été dévelop- pés. Le premier caloduc oscillant est identique au démonstrateur fabriqué auparavent lors de l’étude réalisée au CEA. Toutefois, des modifications lui ont été apportées notamment au niveau de son instrumentation (raccords utilisés, intégration du système de chauffage à l’éva- porateur, équipement du dispositif en composants mécaniques permettant sa rotation, ...). Le développement du second dispositif exprimental est intervenu après une première phase d’exploitation du premier banc d’essais. Des choix différents ont été adoptés lors de la réalisation de ce deuxième caloduc oscillant dictés en partie par les problèmes techniques rencontrés sur le premier dispositif. Les développements menant à la mise en place des deux caloducs oscillants sont présentés de manière détaillée dans la suite de ce chapitre.

Dans le document Contribution à l'analyse du comportement de caloducs oscillants à finalité spatiale par voies expérimentale et numérique (Page 96-109)