5.2 Étalonnage de l’efficacité de collection de lumière
6.1.4 Modèle semi-analytique
La méthode d’analyse par modèle semi-analytique, qui fut à l’origine développée pour l’ana-lyse des données de l’expérience CAT (Le Bohec et collab., 1998) et qui est également appelée analyse Model, repose sur la comparaison pixel par pixel de l’image de la gerbe observée à des
F. 6.6 – Exemples d’images de gerbes, dans le référentiel d’une caméra (les unités des axes
sont en degrés), pré-calculées par modèle semi-analytique. Ces images ont étés calculées pour un photon de 1 TeV et un paramètre d’impact de 100m (à gauche) et de 250m (à droite). Les axes verticaux n’ont pas la même échelle. Cette figure est adaptée de de Naurois et Rolland (2009).
images pré-calculées, ces dernières étant issues de la prédiction par un modèle semi-analytique de développement des gerbes. C’est la méthode d’analyse principalement utilisée dans ce ma-nuscrit. Une description détaillée de cette méthode peut être trouvée dans de Naurois et Rolland (2009). Le modèle prédit notamment la dépendance du nombre d’électrons et de positrons en fonction de la profondeur atmosphérique, leur spectre en énergie, leurs distributions longitudi-nales, latérales et angulaires. Les distributions de ces différents paramètres sont obtenues à partir de simulations Monte-Carlo et ajustées pour en tirer une paramétrisation analytique. Les carac-téristiques de l’atmosphère et du détecteur sont également prises en compte et le modèle prédit au final la quantité de lumière Cherenkov atteignant chaque pixel de la caméra. Les images pré-calculées sont générées pour des valeurs discrètes de l’angle zénithal, de la distance d’impact au télescope, de l’énergie du photon γ primaire et de la profondeur de première interaction. Des images générées par ce modèle sont présentées sur la figure 6.6.
Une fois les gabarits produits, une procédure de minimisation est ensuite mise en place pour trouver la direction, l’énergie et le paramètre d’impact du photon γ primaire. La fonction de vraisemblance logarithmique utilisée, le télescope log-likelihood, est la somme sur tous les pixels du pixel log-likelihood qui s’exprime ainsi :
ln L =−2 ln Pi(si|µ, σp, σ1pe) (6.4)
où Pi(si|µ, σp, σ1pe) est la probabilité d’obtenir un signal s dans le pixel i avec une amplitude
µ, une fluctuation du piédestal σpet une fluctuation sur la valeur du photoélectron unique σ1pe. Elle s’exprime de la manière suivante :
P(s|µ, σp, σ1pe) =X n µne−µ n!q2π(σ2 p+ nσ2 1pe) exp− (s− n) 2 2(σ2 p+ nσ21pe) (6.5)
la région du ciel observée. Pour un télescope, la fonction de vraisemblance logarithmique est la suivante :
ln Ltel = −2 X
pixelsi
ln Pi(si|µ, σp, σ1pe) (6.6)
Par ailleurs, les pixels non opérationnels ne sont pas pris en compte, ils n’apportent de ce fait aucune contrainte et n’introduisent pas de biais dans la reconstruction.
La procédure de minimisation renvoie les meilleurs ajustements obtenus pour la direction et le paramètre d’impact de la gerbe, la profondeur de première interaction et l’énergie de la particule ayant initié la gerbe.
Il est alors possible de construire une variable, évaluant la qualité de l’ajustement (goodness
of fit) et qui permet de discriminer entre les gerbes initiées par des hadrons et celles initiées par
des photons γ. Cette variable discriminante est définie comme la somme, normalisée sur tous
les pixels, de la différence entre la valeur de la fonction de vraisemblance obtenue ln L(s|µ) et la
valeur attenduehln Li|µ :
G = P pixels i h ln L(si|µi)− hln Li|µi i p2 × Ndo f (6.7)
où Ndo f est le nombre de degrés de liberté (soit le nombre de pixels - 6). Cette variable est
calibrée pour prendre en compte l’influence du bruit de fond de ciel. Afin d’exploiter au mieux les différences entre les gerbes hadroniques et électromagnétiques, les images des gerbes dans les caméras sont séparées en deux régions à l’issue de la procédure de minimisation :
– le cœur de gerbe qui regroupe les pixels dont l’amplitude prédite est supérieure à 0.01 photoélectrons tout comme les trois rangées de pixels autour. Ces pixels sont regroupés pour construire la variable ShowerGoodness (SG),
– le reste de l’image permet de former la variable BackgroundGoodness (BG) qui est sen-sible aux images des sous-gerbes hadroniques, à la lumière Cherenkov diffuse émise lors du développement des gerbes hadroniques et à toute autre irrégularité.
Lors de l’observation avec plusieurs télescopes, les variables ainsi définies, sont moyennées sur les télescopes ayant participé à l’événement, pour construire, notamment la Mean Scaled
Shower Goodness (MSSG) et la Mean Scaled Background Goodness (MSBG) dont les
distri-butions améliorent la discrimination par rapport à la variable Goodness (la méthode d’analyse utilisant ces variables est appelée Model++).
La propriété discriminante de la variable Shower Goodness est illustrée sur la figure 6.7. La distribution de cette variable est représentée pour des données réelles ne contenant que du fond (en gris), que des photons γ provenant du blazar PKS 2155-304 (en bleu) et pour des photons γ simulés. On peut observer qu’une coupure sur cette variable conduit au rejet d’un grand nombre de hadrons tout en conservant un maximum de photons.
Comme illustré sur la figure 6.8, l’efficacité de sélection des photons γ par la variable Shower
F. 6.7 – Distribution des valeurs de la variable ShowerGoodness pour des photons
obser-vés en direction du blazar PKS 2155-304 (en bleu), pour des photons simulés (en rouge) et pour des événements sans source (soit des protons - en gris). Cette figure est tirée de de Naurois et Rolland (2009).
F. 6.8 – Efficacité de sélection des photons γ en fonction du facteur de rejet des événements
de fond, pour la méthode par modèle semi-analytique (en rouge) utilisant la variable Shower
Goodness et pour la méthode de Hillas (en noir) utilisant les variables Mean Scaled Width et Mean Scaled Length. Ces deux courbes ont été produites pour le même seuil en charge (60
photoélectrons). Cette figure est tirée de de Naurois et Rolland (2009).
variables Mean Scaled Width et Mean Scaled Length. Une coupure sur la variable SG ≤ 0.6
permet de garder 70% de photons γ et de rejeter plus de 95% des événements de fond.
diffé-analytique : Standard, Faint Source (optimisée pour les sources plus faible que quelques pour-cents du Crabe) et Loose Cuts (optimisée pour maximiser l’acceptance au γ au détriment de la réjection hadronique).
Les paramètres utilisés sont les suivants :
– Le seuil de l’amplitude de l’image reconstruite par télescope ; il est fixé à 60 p.e. en
Standard, 120 p.e. en Faint et 40 p.e. en Loose.
– La distance maximale entre le centre de l’image de la gerbe et le centre de la caméra qui
est fixé à 2◦ pour les trois configurations. Cette coupure élimine les images qui arrivent
en bordure de caméra, qui sont tronquées et qui entraînent une mauvaise reconstruction de la direction de la gerbe.
– Les images d’au moins deux télescopes doivent passer les coupures précédentes.
– La variable ShowerGoodness ; une valeur maximum de 0,6 est requise en Standard, 0,4 en Faint et 0,9 en Loose.
– La profondeur de première interaction ; elle doit être comprise entre -1 et 4 X01 en
Stan-dard et en Faint.
– Pour une source ponctuelle, la distance angulaire élevée au carré θ2 entre la position
reconstruite sur le ciel et la position théorique de la source ; elle doit être inférieure à
0.01 deg2 en Standard, 0.005 deg2 en Faint et 0.0125 deg2 en Loose. Pour une source
étendue, cette valeur est fixée à la taille de la source.
Cette méthode d’analyse permet d’obtenir une résolution en énergie de l’ordre de 8 à 12%
et une résolution angulaire de l’ordre de 0.06◦ (de Naurois et Rolland, 2009), voir également
les sections 6.4 et 6.3. La comparaison des performances de cette méthode avec la méthode de Hillas en terme de résolution en énergie et de résolution angulaire peut être observée sur la figure 6.9.