Méthode des moments de Hillas

La méthode des moments réduits est une des méthodes historiques d’analyse des images de gerbes. Elle a été proposée par Hillas (1985) et a été appliquée à l’analyse des événements observés par le télescope Whipple.

Pour cette méthode, l’image de la gerbe détectée est assimilée à une ellipse, avec une dis-tribution transverse et longitudinale gaussienne de l’intensité. Un nettoyage des images doit être effectué pour ne conserver que les pixels concernés par l’émission Cherenkov de la gerbe. L’image nettoyée est alors ajustée par une ellipse et les moments géométriques de l’image sont extraits. On appelle ces paramètres les paramètres de Hillas et ils sont les suivants (voir aussi la figure 6.2) :

– l’écart type de l’image selon le petit et le grand axe de l’ellipse w (pour width) et l (pour

length),

– le barycentre de l’image,

– la distance angulaire D entre le barycentre de l’image et la position théorique de la source, – l’amplitude de l’image,

– les moments d’ordre supérieur, qui donnent notamment des informations sur l’asymétrie de l’image.

Pour des observations en mode stéréoscopique, on peut combiner les informations re-cueillies par les différents télescopes afin de reconstruire :

– la direction de la particule primaire dans le champ de vue,

– l’angle θ entre la direction reconstruite et la direction théorique de la source, – le paramètre d’impact.

Les paramètres de Hillas ainsi définis permettent de reconstruire la direction et l’énergie de la particule incidente. Pour des observations stéréoscopiques, la direction de la source est re-construite en faisant l’intersection des grands axes des ellipses dans le champ de vue (voir figure 6.2). En outre, l’intersection des grands axes des ellipses projetés au sol permet de reconstruire le paramètre d’impact de la gerbe (voir figure 6.3).

L’énergie des particules est déterminée par comparaison avec des images simulées en utili-sant le paramètre d’impact et la charge totale (l’amplitude) contenue dans l’ellipse de Hillas.

Un grand nombre de gerbes, initiées par des photons γ, est simulé pour différentes valeurs d’énergie, de paramètre d’impact, d’angle zénithal, d’angle hors-axe et d’efficacité optique.

F. 6.2 – Schéma de l’image d’une gerbe recueillie dans trois télescopes et réunie dans un

même référentiel. Sur l’image recueillie par le télescope numéro 1, les paramètres de Hillas sont définis : grand axe l, petit axe w, θ est l’angle entre la direction reconstruite et la direction supposée de la source et D est la distance entre le barycentre de l’image et la direction supposée. La direction reconstruite du photon γ s’obtient en faisant l’intersection des grands axes des ellipses. Cette figure est tirée de Charbonnier (2010).

F. 6.3 – Schéma d’une gerbe et de son image au foyer des quatre télescopes représentée dans

le cercle au sol, à gauche de chaque télescope. Le paramètre d’impact P est l’intersection des directions des grands axes des images des gerbes. Cette figure est tirée de Dubois (2009).

F. 6.4 – Exemple d’entrées d’une table utilisée pour reconstruire l’énergie par la méthode

de Hillas. La figure de gauche donne l’énergie moyenne, celle de droite donne l’écart type, en fonction des paramètres reconstruits de la gerbe : la charge et le paramètre d’impact. L’exemple présenté ici est généré pour un angle zénithal et un angle hors-axe nuls et pour une efficacité optique de 100%.

Ces photons simulés sont reconstruits par le même algorithme que pour les données réelles et des tables de correspondances sont remplies avec, pour chaque entrée, la valeur des différents paramètres d’entrée ainsi que les paramètres de Hillas et l’amplitude de l’image reconstruits. Lorsque les paramètres de Hillas sont ajustés, l’énergie est obtenue par interpolation dans ces tables. Un exemple est donné sur la figure 6.4 permettant de remonter à la valeur moyenne et l’écart-type de l’énergie en fonction de l’amplitude de l’image et du paramètre d’impact, reconstruit de façon géométrique.

Pour des observations avec plusieurs télescopes, l’énergie reconstruite de l’événement est la moyenne des énergies reconstruites dans chaque télescope concerné. Cette méthode d’analyse permet d’obtenir une résolution en énergie de l’ordre de 12 à 15% en fonction de l’énergie (de Naurois et Rolland, 2009).

L’ajustement des paramètres de Hillas permet également de différencier entre photons γ et hadrons. Pour ce faire, la longueur et la larguer de l’ellipse (l et w) sont utilisées. Afin de tenir compte des fluctuations intrinsèques lors du développement des gerbes, des variable normali-sées sont construites (Scaled Width et Scaled Length). Celles-ci sont calculée en comparant l et

w aux valeurs moyennes et en divisant par l’écart-type pour un paramètre d’impact et une

inten-sité donnée. Ces valeurs (moyenne et écart-type) sont obtenues par simulations pour différents paramètres d’impact et amplitudes :

S W = w − hwi σw

et S L = ^l− hli

σ_l ^(6.1)

Pour des observations en mode stéréoscopique, les valeurs de ces variables obtenues pour chaque télescope sont combinées pour obtenir des variables moyennées (la Mean Scaled Width

F. 6.5 – Distributions de la variable MeanScaledWidth pour des photons γ simulés (en gris),

pour des protons simulés (trait noir) et pour les données observées en l’absence de sources (points noirs). Cette figure est tirée de Aharonian et collab. (2006f).

et la Mean Scaled Length) :

MS W = P NtelsS W N_tels ^{et MS L =} P NtelsS L N_tels ^(6.2)

où N_tels correspond au nombre de télescopes concernés par l’événement.

Les distributions de ces variables sont très différentes selon que la particule primaire est un photon ou un hadron. En effet l’hypothèse d’une forme elliptique de gerbe n’est vraie que pour les γ, ainsi les distributions sont des gaussiennes centrées en 0 et de largeur 1 pour ces événements tandis que pour des hadrons, les distributions sont nettement moins symétriques et ne sont pas centrées. Il est alors possible de rejeter un grand nombre de hadrons en effectuant une coupure bien choisie sur ces variables. Les coupures standards pour l’analyse de H.E.S.S sont les suivantes :

− 2 ≤ MS W ≤ 0.9 et − 2 ≤ MS L ≤ 2 (6.3)

Ces valeurs de coupures ont été optimisées pour une source émettant des photons γ avec un

spectre en loi de puissance d’indice Γ = −2.0 (Aharonian et collab., 2006f).

La propriété discriminante de ces variables est illustrée sur la figure 6.5 sur laquelle la dis-tribution des MS W est représentée pour des γ simulés (en gris), pour des protons simulés (trait noir) et pour les données observées en l’absence de sources (points noirs).