CHAPITRE 1 : REVUE DE LA LITTÉRATURE
2.6. Modèle fretting
Le fretting se produit généralement lorsque deux corps en contact subissent des tractions oscillantes et de petites amplitudes de glissement relatif généralement comprises entre 5 et 100 μm (McColl et al., 2003).
2.6.1. Formulation de solution analytique
La configuration à cylindre sur plan est largement utilisée dans l'étude des contacts (figure
3-22), car la solution des champs de contraintes initiaux est bien connue analytiquement. Un
petit aperçu de la théorie de Hertz pour résoudre un contact typique est présenté dans cette section.
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Figure 3-22 : Contact de Hertz cylindre/plan
La pression de contact p(x) est donnée par la solution hertzienne, avec x est la direction de la longueur du contact (McColl et al., 2003):
𝑝(𝑥) = 𝑝𝑚𝑎𝑥√1 −𝑥2 𝑎2
La demi-largeur de contact a et la pression de contact maximale p0 sont données par :
𝑎 = √4𝑃𝑅 𝜋𝐸∗
𝑝𝑚𝑎𝑥= √𝑃𝐸∗ 𝜋𝑅
P est la force normale sur la zone de contact, E1 : Module d'Young du matériau 1 à 20°C
[MPa], E2 : Module d'Young du matériau 2 à 20°C [MPa], ν1 : coefficient de poisson du
matériau 1 , ν2 : coefficient de poisson du matériau 2, R1 : Rayon du solide 1 [mm], R2 :
Rayon du solide 2 [mm], R représente le rayon de courbure principal et E* le module de Young équivalent : 𝐸∗ = (1 − 𝑣12 𝐸1 + 1 − 𝑣22 𝐸2 ) −1 𝑅 = (1 𝑅1+ 1 𝑅2) −1
Les distributions des différentes contraintes σ1, σ2 et σ3 en sous surface de contact tout au
67 𝜎1 = −𝑝𝑚𝑎𝑥
𝑎 ((𝑎2+ 2𝑦2)(𝑎2+𝑦2)−12− 2𝑦) 𝜎2 = −𝑝𝑚𝑎𝑥
𝑎 ((𝑎2+𝑦2)−12)
Sous les hypothèses de déformation plane, la contrainte σ3 est définie par : 𝜎3 = 𝑣(𝜎1+ 𝜎2)
2.6.2. Modélisation en éléments finis : un contact cylindre/plan
Comme déjà précisé dans les sections précédentes, le code d'éléments finis Abaqus sera utilisé pour tous nos modèles numériques. Le modèle aux éléments finis illustré sur la figure 3-23 suit parfaitement l'approche proposée par (McColl et al., 2003). Le rayon du cylindre est de 6 mm et le plan a une longueur de 12mm. Dans les deux échantillons, le maillage utilise des éléments linéaires à quatre nœuds de type CPE4. On utilise généralement ces éléments en cas de problèmes d'état de déformation plane. La zone de contact est très fine (environ 10 μm) pour capturer les variations complexes des contraintes de surface et du glissement relatif (Annexe 5). Dans cette étude, la surface cylindrique a été choisie comme surface de contact esclave. Le modèle de frottement de Coulomb de base, implémenté en utilisant le frottement isotrope est utilisé avec les conditions de contact de frottement introduites via l'approche du multiplicateur de Lagrange, pour le chargement normal et tangentiel. Cela impose des contraintes de liaison exactes (glissement nul) entre les corps lorsque la contrainte de cisaillement équivalente est inférieure à la contrainte de cisaillement critique. Le coefficient de frottement est presque égal à 0,4 selon les travaux expérimentaux de Charon-Drolet (2018). Le module d'élasticité et le coefficient de Poisson du cylindre sont respectivement de 200 GPa et 0,3 pour l’acier E = 70 GPa et 0,3 pour l’aluminium. La force est appliquée à l'aide d'un point de référence (MPC) lié à la surface supérieure du cylindre
(figure 3-23). Cette connexion utilise des équations linéaires pour assurer une répartition
égale de la force entre tous les nœuds de la surface. Pour simuler le contact de Hertz, seule la force sera prise en considération, et pour simuler le fretting, on ajoute le déplacement périodique s(t) dans la direction x (figure 3-24). L’amplitude du déplacement ainsi que la force normale appliquée seront déduites de la zone de contact boulon/platelage du modèle typique du pont de la section précédente. Le bas du plan est empêché de tout mouvement
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dans les directions x et y, et pour le MPC au-dessus de la surface supérieure du cylindre, seule la rotation le long de l'axe z est empêchée.
Figure 3-23 : Modèle de calcul contact de Hertz et fretting
69 2.6.3. Méthode de simulation d'usure
Selon (McColl et al., 2003), il a été assumé que l’évaluation de l’usure par fretting pourra être réalisée en utilisant l’équation d’Archard aux conditions de contact locales. Cette équation d’usure est exprimée comme :
𝑉 𝑆
= 𝐾
𝑃
𝐻 (Eq : 2.6) Avec :
K : est le coefficient d'usure sans dimension, déterminé par expérimentalement. H : est la dureté du matériau (MPa) ;
S : le déplacement total accumulé (mm); V : le volume d'usure total (mm3) ;
P : la charge normale appliquée (N).
Toujours selon (McColl et al., 2003), l’équation (2.6) peut être modifiée, afin de l'adapter à nos fins de calcul. Pour une surface de contact apparente infiniment petite dA, l'incrément de profondeur d'usure dh, associé à un incrément de distance de glissement,dS, est déterminé. Ceci peut être obtenu en appliquant Eq. (2.6) localement à la zone dA et pour l'incrément de distance de glissement dS.
𝑑𝑉 𝑑𝑆 = 𝐾
𝑑𝑃
𝐻 (Eq: 2.7)
Ensuite, en divisant les deux côtés par dA, l'équation suivante est obtenue :
𝑑𝑉 𝑑𝐴 𝑑𝑆= 𝐾
𝑑𝑃
𝐻 𝑑𝐴 (Eq: 2.8)
Le terme dP/dA est la pression de contact locale, p(x), tandis que dV/dA est l'incrément requis de la profondeur d'usure locale dh, notons que h est fonction à la fois de la position horizontale x et de la distance de glissement locale totale S. L'équation suivante est ainsi obtenue pour la prédiction de l'incrément de la profondeur d'usure locale :
𝑑ℎ
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où la quantité K/H est ici remplacée par kl, le coefficient d'usure local. Malheureusement, les
chercheurs ne connaissent aucune méthode existante pour estimer kl. Par conséquent, la
meilleure alternative disponible est de mesurer une valeur moyenne sur toute la largeur de contact. Comme ce qui a été fait par (McColl et al., 2003), On suppose que kl ≈ k.
En se basant sur l'équation (2.9) qui prédit l'usure, un outil de simulation d'usure automatique et incrémentale peut être développé. La figure 3-25 montre un organigramme de la procédure numérique qui forme la base de l'outil de simulation proposé par (McColl et al., 2003). Une fois que le modèle d'éléments finis non-usé est généré, le programme peut être exécuté pendant un nombre spécifié de cycles d'usure pour prédire les profils de surface usés correspondants et l'évolution des variables au niveau du contact. L'outil de simulation consiste en une interaction entre un programme spécial Fortran (subroutine utilisateur) (Annexe 7) et Abaqus, dans lequel le modèle par éléments finis est mis à jour progressivement par remaillage adaptatif, en fonction des profondeurs d'usure calculées (figure 3-25), de la pression de contact locale et du glissement local dans chaque étape de simulation. Cette étape nécessite obligatoirement la mise en place d'un maillage adaptatif qui remaille automatiquement les zones de contact au fur et à mesure de la simulation. Dans (Cardoso et al., 2019) a proposé des organigrammes bien détaillés pour implémenter cette procédure, en utilisant deux méthodes différentes à savoir le maillage adaptatif ou le remaillage local. Pour le nombre d'étapes de la simulation, celui-ci dépend du nombre de cycles d'usure et le saut des cycles ΔN, pour un calcul de 90 000 cycles d'usure et un saut de cycle ΔN égal à 100, nécessite 900 pas de calcul. (McColl et al., 2003) a démontré que le choix des sauts de cycle ΔN affecte grandement la précision des résultats et régit quelques fois la convergence de la simulation, le seul moyen pour trouver la bonne valeur de ΔN c’est d’effectuer des itérations.
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Figure 3-25 : Organigramme de la méthode numérique de modélisation de l'usure par fretting, proposé par McColl et al. (2003)
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