Modèle de Fisher appliqué après DWT de l’image SLC

La méthode de compression WECUPQ proposée dans le cadre de ce chapitre consiste à réaliser une transformée en ondelettes sur les parties réelle et imaginaire de l’image SLC. Les coefficients ainsi obtenus sont de nature complexe, ce qui implique qu’il est possible de les représenter sous forme polaire avec un module et un argument.

Afin de construire un quantificateur polaire adapté aux sous-bandes de la DWT, il est important dans un premier temps de fournir un modèle de distribution fiable sur le module et la phase des coefficients d’ondelettes. La figure 3.12 montre ainsi le module des coefficients d’ondelettes de l’image d’Istres suivant la représentation pyramidale.

Fig.3.12 – Ensemble des sous-bandes représentant le module des coefficients d’ondelettes

issus d’une DWT sur 4 niveaux d’échelles de l’image SLC d’Istres c ONERA. (Ondelette

bi-orthogonale 9/7 [5]).

Afin de caractériser les distributions du module des sous-bandes, nous suggérons d’uti- liser les propriétés de modélisation de loi de Fisher. Les figures 3.13 et 3.14 montrent en particulier que le modèle de distribution de Fisher semble caractériser fidèlement la distri- bution du module des coefficients des sous-bandes issues d’une transformée par ondelettes biorthogonales 9/7. On retrouve aussi le fait que la phase des coefficients d’ondelettes est uniformément distribuée entre [0 : 2π].

La figure 3.15 montre en particulier la distribution des coefficients issus d’une transformée orthogonale et symétrique par une ondelette de Daubechies à valeurs complexes SDW4 (voir chapitre 2). Une fois encore, le modèle de Fisher semble être bien adapté à la carac- térisation statistique du module des coefficients. On remarquera que la phase est toujours uniformément répartie sur [0, 2π]. Conformément aux conclusions énoncées par Ives [43], l’utilisation d’ondelettes de nature complexe sur les données SLC ne semble pas apporter de différence notable, du moins en terme de comportement statistique.

D’autre part, une transformée en ondelettes homomorphique de l’image d’amplitude per- met de considérer le bruit multiplicatif associé au chatoiement comme un bruit additif. Quelques méthodes de réduction de chatoiement basées sur un seuillage des coefficents on- delettes s’appuient sur ce modèle [3] [116] [70]. C. Valade et J.M Nicolas ont ainsi montré que la loi de Fisher correspondait à la caractérisation des coefficients d’ondelettes associés aux sous-bandes de l’image RSO d’amplitude [104]. Citons également les travaux récents

de L. Guillemot et al [40] qui modélisent de façon efficace la distribution du module des coefficients d’ondelettes à l’aide d’une mixture de lois Gamma.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Partie réelle Partie imaginaire 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0 5 10 15 20 25 30 35 Histogramme Distribution de Fisher estimée

0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 13 (a) (b) (c)

Fig. _{3.13 – (a) Distribution dans le plan complexe des coefficients d’ondelettes apparte-}

nant à la sous-bande HH1 (image SLC extraite de la ville d’Istres). (b) Histogramme du

module des coefficients d’ondelettes et estimation de la distribution par la loi de Fisher. Paramètres : µ = 0.023, L = 2.444, M = 9.407. (c) Histogramme de la phase des coeffi- cients d’ondelettes. Transformée biorthogonale 9/7.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Partie Réelle Partie Imaginaire 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 1 2 3 4 5 6 7 5 Histogramme Distribution de Fisher estimee

0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 5 (a) (b) (c)

Fig. 3.14 – (a) Distribution dans le plan complexe des coefficients d’ondelettes apparte-

nant à la sous-bande HL3 (image SLC extraite de la ville d’Istres). (b) Histogramme du

module des coefficients d’ondelettes et estimation de la distribution par la loi de Fisher. Paramètres : µ = 0.112, L = 2.225, M = 7.077. (c) Histogramme de la phase des coeffi- cients d’ondelettes. Transformée biorthogonale 9/7.

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 Real Part Imaginary Part 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 1 2 3 4 5 6 7 Histogramme Distribution de Fisher estimée

0 1 2 3 4 5 6 7 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 (a) (b) (c)

Fig. _{3.15 – (a) Distribution dans le plan complexe des coefficients d’ondelettes appar-}

tenant à la sous-bande HL3 (image SLC d’Istres). (b) Histogramme du module des co-

efficients d’ondelettes et estimation de la distribution par la loi de Fisher. Paramètres : µ = 0.118, L = 2.225, M = 7.865. (c) Histogramme de la phase des coefficients d’onde- lettes. Transformée orthogonale SDW4 (ondelette complexe).

3.4

Conclusion

Ce chapitre nous a permis de faire la synthèse entre les propriétés des images complexes RSO et les méthodes de compression que l’on souhaite mettre en oeuvre. La compression d’images complexes à partir de techniques basées sur la transformée en ondelettes re- quiert une représentation adéquate des données dans l’espace image et/ou dans l’espace tranformé. Nous avons ainsi proposé quatre approches différentes basées sur une représen- tation cartésienne ou polaire des données dans l’espace "image" ou "transformé". Nous proposons entre autres, d’étudier les performances des algorithmes SPIHT de Said et Pearlman et TCE de C. Tian et S.S Hemami sur la compression d’images RSO SLC. Les algorithmes TCEAC-CPQ et WECUPQ s’appuient respectivement sur une connais- sance des distributions associées aux pixels de l’image d’amplitude et aux coefficients d’on- delettes complexes. A cet effet, la dernière partie de ce chapitre fut consacrée à l’étude des propriétés de caractérisation des lois de Fisher et Fisher Généralisée à travers l’utilisation des statistiques de seconde espèce.

A partir de la démarche observée au cours de ce chapitre, nous consacrons le chapitre suivant à la description détaillée des méthodes de compression proposées.

Compression d’images RSO complexes

basée sur la transformée en ondelettes

Ce chapitre s’inscrit directement dans la continuité du chapitre 3. Nous y avons pro- posé plusieurs algorithmes dépendants de la représentation des données des images RSO SLC dans le plan de complexe. Ces techniques ont en commun de faire appel à la transfor- mée en ondelettes discrètes. Au cours de ce chapitre nous étudierons plus précisemment : – La quantification des coefficients d’ondelettes appliquée sur la partie réelle et imagi- naire de l’image SLC transformée : TCE-IQC (TCE and In Phase and Quadrature Coding).

– La quantification polaire à contrainte entropique des coefficients d’ondelettes com- plexes : WECUPQ ( Wavelet Entropy Constrained Unrestricted Polar Quantization). – La compression de l’image d’amplitude par l’algorithme TCE de C. Tian et S. Her- nani [98] couplée à la quantification scalaire de l’image de phase conditionnellement à l’amplitude : TCEAC-CSPQ (TCE Amplitude Coding and Conditionnal Scalar Phase Quantization).

– La compression de l’image d’amplitude par l’algorithme TCE associé à la quantifi- cation vectorielle de l’image de phase : TCEAC-IPQ (TCE Amplitude Coding and Independant Phase Quantization).

4.1

Compression de l’image SLC par la méthode TCE-

IQC

Cette section est consacrée à la description détaillée de l’algorithme de quantification de coefficients d’ondelettes TCE de C. Tian et S. Hemami [98]. Dans le cadre de la compression de données d’images SLC par la méthode TCE-IQC présentée au chapitre 3, l’algorithme TCE sera appliqué respectivement sur la partie réelle et imaginaire de l’image transformée.