3.2 Représentation des données SLC et méthodologies d’approches pour la
3.2.1 Approche 1 : Représentation cartésienne avant et après transformée
transformée
Il s’agit de considérer l’image RSO complexe Z comme formée d’une partie réelle et imaginaire Z = I + jQ. Il est alors naturellement possible de définir une transformée en
ondelettes sur les pixels complexes z = i + jq ∈ C. Le signal étant complexe, on se peut
naturellement se poser la question suivante : y aurait-il un avantage particulier à utiliser une transformée en ondelettes complexes pour analyser des données de nature complexe ? Pour répondre à cette question, nous avons vu (§ 2.5.2) que Ives et al ont étudié les différences de qualité de l’algorithme de quantification par arbre de zéros EZW [82] appliqué séquentiellement sur partie réelle et imaginaire [43]. La comparaison portait sur l’utilisation d’une famille d’ondelettes symétriques complexes de Daubechies à 6 et 10 coefficients et d’ondelettes orthogonales de Zang et al [114]. La conclusion de cette étude montre que la transformée en ondelettes à valeurs complexe n’apporte pas de gain en terme de qualité de reconstruction pour des taux de compression de 12 :1 à 4 :1. On notera par
ailleurs que l’utilisation d’ondelettes complexes augmente sensiblement la complexité de calcul de la transformée à cause des termes croisés. De par les propriétés de linéarité de
la transformée en ondelettes et si les coefficients des filtres {g0[n]} ∈ R et {g1[n]} ∈ R
respectivement représentatifs des fonctions d’échelle et ondelettes sont à valeurs réelles, on a de manière évidente :
DW T (I + jQ) ⇐⇒ DW T (I) + j.DW T (Q) = IDW T + j.QDW T
où IDW T et QDW T correspondent à l’ensemble des coefficients d’ondelettes issus respecti-
vement de la DWT de la partie réelle et imaginaire de l’image originale.
Nous obtenons donc deux images transformées. La première méthode de compression que nous proposons concerne la quantification progressive des coefficients des images de partie réelle et imaginaire suivant une approche similaire de celle proposée par Ives [43]. Les différences majeures entre les approches de quantification des coefficients d’ondelettes par plan de bits reposent sur la capacité à prédire ou à estimer au mieux le comporte- ment local des coefficients. Citons par exemple les algorithmes par arbres de zéros qui exploitent la corrélation des coefficients inter-échelles (du type EZW [82] de Shapiro ou SPIHT de Said et Pearlman [81]). En fonction du comportement des coefficients voisins, d’autres méthodes consistent à introduire un codage contextuel des coefficients d’onde- lettes (ECECOW de X. Wu [110] ou EBCOT de D. Taubman [92]).
Ordentlich et al [22] ont introduit une classification des coefficients basée sur le prin- cipe qu’il faut transmettre en priorité les coefficients offrant le meilleur compromis débit- distorsion (c’est à dire les coefficients qui apportent la plus forte décroissance de distor- sion moyennant un coût de codage le plus faible possible). En fonction des plans de bits considérés, l’algorithme TCE (Tarp-filter-based system and Classification of coefficients to achieve Embedding) de C. Tian and S. S. Hemami [98] s’inspire de cette approche en introduisant une classification des coefficients d’ondelettes suivant leur "potentiel" à de- venir significatif par rapport au plan de bit considéré.
Avec l’algorithme SPIHT, nous avons sélectionné l’algorithme TCE pour son efficacité comparable à JPEG2000 [93] et sa faible complexité. Une description plus détaillée de l’algorithme TCE sera faite au chapitre 4.
Indépendamment de toute stratégie de quantification, la transformée en ondelettes a pour particularité de concentrer l’énergie des coefficients dans les sous-bandes basses fréquences. Il est donc important que le spectre de l’image SLC à compresser soit centré autour de la fréquence nulle f = 0. Or, nous avons vu qu’au chapitre 1 un dépointage de l’antenne du capteur entraîne un décalage fréquentiel du spectre de l’image complexe dans le sens azimutal ("Doppler Centroïd"). Il convient donc de recentrer le spectre de ces images en estimant le décalage fréquentiel sur le spectre de l’image obtenue après transfor- mée de Fourier Discrète (DFT). Une fois le spectre rencentré, la transformée de Fourier Discrète Inverse (IDFT) permettra ensuite de revenir dans l’espace image. Le recalage fréquentiel du "Doppler Centroïd" sera bien entendu réappliqué après décompression de l’image.
La figure 3.1 illustre ainsi le synoptique de la chaîne de traitement proposée et que l’on notera TCE-IQC ou SPIHT-IQC (IQC pour In Phase and In Quadrature Coding) en fonction de l’algorithme de quantification choisi.
FFT
Estimation du Doppler Centroid Translation de spectre
IFFT FFT
IFFT
Image SLC Image SLCreconstruite
Translation de spectre Inverse
DWT DWT IDWT IDWT
Quantification Quantification
Fichier binaire Fichier binaire
Canal de transmission
Decodage Entropique Decodage Entropique
SPIHT, TCE SPIHT, TCE SPIHT, TCE SPIHT, TCE
et codage cntropique et codage cntropique et dequantification et dequantification
I Q I˜ Q˜
Fig.3.1 – TCE-IQC : principe de la compression d’une image SLC basée sur transformée
en ondelettes de la partie réelle et imaginaire. Les coefficients issus des images de partie réelle et imaginaire sont codés de manière indépendante par une méthode basée sur les arbres de zéros (SPIHT [81]) ou par classification des coefficients (TCE [98]).
3.2.2
Approche 2 : Représentation cartésienne avant transformée
et polaire après transformée
Comme nous l’avons vu précédemment, la transformée en ondelettes d’une image com- plexe appliquée séquentiellement sur la partie réelle et imaginaire permet une représenta- tion des coefficients dans le plan complexe. Chaque coefficient est ainsi obtenu au départ
sous sa représentation cartésienne c = x + j.y, {x, y} ∈ R2. Représenté sous sa forme po-
laire, un coefficient d’ondelette est noté suivant l’expression :
c = a.ejθ a∈ [0; +∞] θ ∈ [0; 2π]
où a et θ correspondent respectivement au module et à la phase du coefficient c.
La représentation polaire des coefficients d’ondelettes permet d’envisager une quanti- fication polaire adaptée à ce type de représentation. Citons notamment la technique UPQ (Unrestricted Polar Quantization) [108] où les données complexes sont quantifiées suivant leur module et leur phase. La particularité de cette méthode (qui peut être vue comme une quantification vectorielle de dimension 2) est d’attribuer un pas de quantification aux données de phase différent suivant le niveau d’amplitude correspondant. Si l’on se fixe une contrainte de débit, la quantification polaire optimale consiste à trouver le meilleur compromis débit-distorsion au sens du minimum de l’erreur quadratique moyenne. En introduisant une contrainte entropique sur les index de quantification, nous proposons d’utiliser une Quantification Polaire Non-restreinte à Contrainte Entropique (ECUPQ : Entropy Constrained Unrestricted Polar Quantization [103]) appliquée aux sous-bandes de l’image transformée.
Comme nous le verrons au chapitre 4, la construction d’un quantificateur polaire optimal nécessite de connaître la distribution du module et de la phase des coefficients d’onde- lettes complexes. En conséquence, il conviendra dans un premier temps de chercher à caractériser ces densités à partir de modèles de distribution adaptés aux statistiques des coefficients. Cette étape sera abordée à la section 3 de ce chapitre.
La figure 3.2 illustre ainsi le principe de cet algorithme que l’on notera WECUPQ (Wa- velet and Entropy Constrained Unrestricted Polar Quantization).
FFT
Estimation du Doppler Centroid
Translation de spectre
IFFT FFT
IFFT
Image SLC Image SLCreconstruite
Translation de spectre Inverse
DWT DWT
Fichier binaire Canal de transmission IDWT Fichier binaire IDWT I Q IDW T QDW T ADW T ΘDW T ECUP Q ECUP Q−1 ˆ ADW T ΘˆDW T ˜ IDW T Q˜DW T ˜ I Q˜
Fig. 3.2 – Méthode WECUPQ : principe de la compression d’une image SLC basée sur
DWT à partir de la représentation module/phase des coefficients d’ondelette et quantifi- cation polaire par la méthode ECUPQ.