Chapitre III Modèles de l’électron de Bohr, Broglie et Schrödinger
III.3 Modèle de l’électron de Bohr dans l’atome d’hydrogène
En 1913, Niels Bohr publie un article intitulé De la constitution des atomes et des molécules où il réunit trois domaines à priori différents de la physique. Il reprend d’abord le modèle planétaire de Rutherford. Il utilise ensuite la constante ℎ de Planck et son lien avec le moment cinétique proposé par Max Planck en 1900. Enfin, il retrouve la constante de Rydberg 𝑅 et explique (en partie) les mystérieuses raies spectrales de l’hydrogène.
III.3.1 Expliquer l’état stable de l’électron en s’inspirant du modèle planétaire et de la gravitation newtonienne
Dans son article, N. Bohr cherche à comprendre pourquoi l’électron se trouve dans un état stable (ou permanent pour reprendre son terme). Pourquoi dans le modèle de Rutherford ne tombe-t-il pas sur le proton ? Pour y répondre, il s’inspire comme E. Rutherford du modèle planétaire, ainsi que de la gravitation newtonienne.
Prenons l’exemple de la Lune. Celle-ci ne tombe pas sur la Terre car la force gravitationnelle attractive est compensée par l’effet centrifuge du mouvement de rotation de la Lune autour de la Terre.
Dans le cas du modèle d’électron proposé par N. Bohr, l’effet centripète de la force attractive électrostatique du proton sur l’électron est compensé par l’effet centrifuge dû au mouvement de rotation de l’électron autour du proton.
La force électrostatique attractive est donnée par la loi de Coulomb : 𝐹 = − 𝑒
4𝜋𝜀 𝑟
Dans le cas d’un mouvement circulaire de l’électron autour du proton, on a : 𝑣⃗ = 𝛺⃗ ∧ 𝑟⃗
En dérivant, on obtient l’accélération qui a une composante normale par rapport à la vitesse : 𝜕𝑣
𝜕𝑡 = − 𝑣
𝑟
L’effet centrifuge du mouvement de rotation est donné par : 𝑚𝜕𝑣
𝜕𝑡 = −𝑚 𝑣
𝑟
L’application du principe fondamental de la dynamique dans le référentiel galiléen 𝑅 à un électron en rotation autour du proton et soumis à une force électrostatique, s’écrit :
𝑚𝜕𝑣 𝜕𝑡 = 𝐹 On obtient : 𝑚𝑣 𝑟 = 𝑒 4𝜋𝜀 𝑟
Figure 2 : électron « stabilisé » par une force électrostatique et par un mouvement de rotation autour du proton (l’indice 𝑟 pour 𝐹⃗ indique que la force électrostatique est radiale dans le modèle). III.3.2 Energie mécanique dans 𝑹𝟎
On a l’énergie potentielle électrique dans 𝑅 :
𝐸𝑝(𝐹 ) = − 𝑒 4𝜋𝜀 𝑟
En utilisant 𝑚 = , on obtient pour l’énergie cinétique dans 𝑅 : 𝐸𝑐 =1 2𝑚𝑣 = 1 2 𝑒 4𝜋𝜀 𝑟= − 1 2𝐸𝑝(𝐹 )
On a l’énergie mécanique 𝐸 dans 𝑅 :
𝐸 = 𝐸𝑐 + 𝐸𝑝(𝐹 ) = −𝐸𝑐 = −1 2𝑚𝑣 = 1 2𝐸𝑝(𝐹 ) = − 1 2 𝑒 4𝜋𝜀 𝑟
III.3.3 Force d’inertie centrifuge dans 𝑹𝜴
Dans la théorie newtonienne et dans le modèle de Bohr, la Lune et l’électron sont respectivement « stabilisés » par une force attractive et par leur mouvement de rotation. Montrons qu’ils peuvent aussi être considérés immobiles et stabilisés par une force attractive et une force d’inertie centrifuge.
On se place dans le référentiel non galiléen 𝑅 où le mouvement de l’électron est annulé. Dans 𝑅 , on a toujours la même force attractive :
𝐹 = − 𝑒 4𝜋𝜀 𝑟
On a une force d’inertie centrifuge :
𝐹 = 𝑚𝑣 𝑟
Dans 𝑅 , l’électron est immobile, on applique le principe d’inertie : 0 = 𝐹 + 𝐹
p
r EsF
élecv
e
On retrouve la même équation :
𝑚𝑣 𝑟 =
𝑒 4𝜋𝜀 𝑟
Figure 3 : électron « stabilisé » par une force électrostatique et par une force d’inertie centrifuge III.3.4 Energie mécanique dans 𝑹𝜴
On a l’énergie potentielle électrique dans 𝑅 :
𝐸𝑝(𝐹 ) = − 𝑒 4𝜋𝜀 𝑟
On a l’énergie potentielle de la force d’inertie centrifuge dans 𝑅 (comptée ici positivement lorsque la force est répulsive) :
𝐸𝑝(𝐹 ) =1 2𝑚𝑣 On a la même énergie mécanique dans 𝑅 :
𝐸 = 𝐸𝑝(𝐹 ) + 𝐸𝑝(𝐹 ) = −1 2𝑚𝑣
Nota 1 sur le côté à priori artificiel d’introduire une force d’inertie
Le fait d’introduire une force d’inertie centrifuge peut sembler artificiel. Cependant, cela présente l’avantage de se placer dans un référentiel 𝑅 plus naturel pour l’électron : c’est celui où il est immobile et où il ne rayonne pas.
Cela aura toute son importance dans le modèle de l’électron de L. de Broglie où ce dernier modélise l’électron par une onde stationnaire (onde immobile dans l’Espace).
Nota 2, pourquoi associer force électrostatique et force d’inertie centrifuge ?
Ce qui reste inexpliqué, c’est pourquoi l’association dans le modèle de l’électron de Bohr de ces deux forces : force électrostatique et force d’inertie centrifuge ?
On a la même interrogation avec le modèle planétaire de Kepler-Newton, pourquoi l’association de ces deux forces : force gravitationnelle et force d’inertie centrifuge ?
p
r EsF
r CentF
eIII.3.5 Quantification du moment cinétique
On rappelle le moment cinétique d’une particule de masse 𝑚 : 𝜎⃗ = 𝑟⃗ ∧ 𝑚𝑣⃗
Dans son article, N. Bohr s’inspire des idées de M. Planck et d’A. Einstein sur la quantification de l’énergie et de l’action 𝑆 à l’aide de ℏ. Il émet l’hypothèse que le moment cinétique 𝜎 de l’électron tournant autour du proton est quantifié, et qu’il est un multiple entier de ℏ :
𝜎 = 𝑟 𝑚𝑣 = 𝑛ℏ
Le nombre entier 𝑛 correspond aux orbites possibles de l’électron, 𝑛 = 1 correspond à la plus basse et la plus stable des orbites, 𝑛 = 2 correspond à une orbite un peu plus haute et un peu moins stable, et ainsi de suite.
III.3.6 Vitesses de l’électron, vitesse de Bohr
A partir des équations 𝑚𝑣 = et 𝑟 𝑚𝑣 = 𝑛ℏ, on en déduit les différentes vitesses de l’électron, suivant son orbite et indépendamment de sa masse.
On a : 𝑚𝑟 𝑣 × 𝑣 = 𝑒 4𝜋𝜀 𝑛ℏ × 𝑣 = 𝑒 4𝜋𝜀 On obtient : 𝑣 = 𝑒 4𝜋𝜀 𝑛ℏ
Pour 𝑛 = 1, on a la vitesse la plus élevée de l’électron (appelée aussi vitesse de Bohr) : 𝑣 = 𝑣 ℎ =
𝑒 4𝜋𝜀 ℏ
Nota
On pose souvent :
𝑣 ℎ = ℏ= 𝛼 𝑐 avec 𝛼 = ℏ la constante de structure fine, appelée également constante
de couplage électromagnétique.
La constante de structure fine 𝛼 ≈ est proposée en 1916 par Arnold Sommerfeld afin d’expliquer des écarts fins entre les raies spectrales de l’hydrogène. Elle relie la vitesse de la lumière à la vitesse de l’électron dans son orbite la plus stable. On verra dans le 4ème mémoire que la constante de structure fine est fréquemment utilisée dans l’Electrodynamique quantique relativiste et dans le Modèle standard.
III.3.7 Rayons de l’atome d’hydrogène, rayon de Bohr
𝑟 = 𝑛ℏ 𝑚𝑣 En remplaçant 𝑣 par 𝑣 = ℏ, on obtient : 𝑟 =4𝜋𝜀 ℏ 𝑚𝑒 𝑛
Pour 𝑛 = 1, on a le plus petit rayon. On l’appelle le rayon de Bohr : 𝑟 = 𝑟 ℎ =
4𝜋𝜀 ℏ 𝑚𝑒
On le fait correspondre au rayon de l’atome d’hydrogène. Numériquement, on a : 𝑟 ℎ ≈ 0,529𝐴
III.3.8 Les niveaux d’énergie, retrouver la constante 𝑹𝑯
A partir des rayons 𝑟 , c’est-à-dire des différentes orbites possibles pour l’électron, N. Bohr définit des niveaux d’énergie : 𝐸 = −1 2 𝑒 4𝜋𝜀 𝑟 Avec : 𝑟 =4𝜋𝜀 ℏ 𝑚𝑒 𝑛 𝐸 = −1 2 𝑚𝑒 (4𝜋𝜀 ℏ) 1 𝑛
N. Bohr applique l’hypothèse des quanta de M. Planck au passage d’un niveau d’énergie à un autre : 𝐸 − 𝐸 = ℎ𝜈 =ℏ2𝜋𝑐 𝜆 Il obtient : 1 𝜆= 𝐸 − 𝐸 ℏ2𝜋𝑐 = 𝑚𝑒 (4𝜋) 𝜀 (ℏ) 𝑐( 1 𝑛 − 1 𝑚 )
On avait la relation de Balmer Rydberg Ritz : 1 𝜆= 𝑅 ( 1 𝑛 − 1 𝑚 )
N. Bohr obtient pour la constante 𝑅 :
𝑅 = 𝑚𝑒
(4𝜋) 𝜀 (ℏ) 𝑐
𝑅 ≈ 109,678𝑐𝑚
Grâce à sa simplicité explicative et à ses résultats confirmés par l’expérience, le succès du modèle de l’électron de Bohr est rapide et considérable. Il va inspirer de nombreux physiciens comme Arnold Sommerfeld avec sa constante de structure fine dans la recherche d’un modèle relativiste. Cependant, c’est avec les idées de L. de Broglie et d’E. Schrödinger qu’il trouvera son véritable prolongement.