Equation de Maxwell Faraday transcrite de l’électromagnétisme à la gravitation

VII.2.1 D’un champ électromoteur intégré sur un contour fermé à une différence de potentiels Dans Maxwell Faraday sous forme intégrale, on peut distinguer deux parties.

Une première partie qui fait le lien entre la 𝑓. 𝑒. 𝑚. induite et le champ électromoteur 𝐸⃗𝑚 , c’est-à- dire :

𝑓. 𝑒. 𝑚. = 𝐸⃗𝑚 ⋅ 𝑑𝑥⃗ = (𝑣⃗ ∧ 𝐵⃗ / + 𝑢⃗ ∧𝜕𝐴⃗

𝜕𝑡 ) ⋅ 𝑑𝑥⃗

Une seconde partie qui fait le lien entre le champ électromoteur 𝐸⃗𝑚 et la partie magnétique, avec la variation du flux magnétique, c’est-à-dire :

𝐸⃗𝑚 ⋅ 𝑑𝑥⃗ = −𝜕𝐵⃗ / 𝜕𝑡 ⋅ 𝑑𝑆⃗ = − 𝑑𝛷 𝑑𝑡 Nota 1

L’intégration sur un contour fermé 𝛤 traduit le passage d’un champ électromoteur à une différence de potentiels électriques.

Si on multiplie par une charge 𝑞 , l’intégration sur un contour fermé 𝛤 traduit le passage d’une force électrique à une énergie électrique.

Nota 2

Notons qu’un champ électrostatique de Coulomb du type (𝑢⃗ ∧ 𝐸⃗𝑠 / ) ne peut induire une 𝑓. 𝑒. 𝑚. dans un contour fermé. On a en effet :

𝑓. 𝑒. 𝑚. = (𝑢⃗ ∧ 𝐸⃗𝑠 / ) ⋅ 𝑑𝑥⃗ = (𝑢⃗ ∧𝜕𝐴⃗

𝜕𝑥) ⋅ 𝑑𝑥⃗ = 𝑢⃗ ∧ (𝐴⃗ (𝑀) − 𝐴⃗ (𝑀)) = 0

Seuls les termes (𝑣⃗ ∧ 𝐵⃑ / ) et (𝑢⃗ ∧ ( ⃗ ) ) peuvent induire une 𝑓. 𝑒. 𝑚. dans un contour fermé.

Pour un champ électrique 𝐸⃗𝑙 / = ⃗ − ⃗, on a donc : 𝑓. 𝑒. 𝑚. = (𝑢⃗ ∧ 𝐸⃗𝑙 / ) ⋅ 𝑑𝑥⃗ = (𝑢⃗ ∧ (𝜕𝐴⃗ 𝜕𝑡 − 𝜕𝐴⃗ 𝜕𝑥)) ⋅ 𝑑𝑥⃗ = (𝑢⃗ ∧ 𝜕𝐴⃗ 𝜕𝑡 ) ⋅ 𝑑𝑥⃗

Le potentiel électrique 𝐴⃗ n’intervient donc pas, seul est pris en compte le potentiel magnétique 𝐴⃗ . VII.2.2 Analogie l’électromagnétisme et gravitation

On a l’accélération de Coriolis :

𝑎⃗ = −(𝑣⃗ ∧ 2𝛺⃗ / )

De même, on a l’accélération einsteinienne (accélération annulée lors d’un changement de référentiels) :

𝑎⃗ = (𝑢⃗ ∧𝜕𝑉⃗ 𝜕𝑡 ) avec 𝑢⃗ vecteur unitaire dirigé dans le Temps.

Nota sur ⃗

Dans l’équation source champ Gauss gravitation, on a fait apparaître un terme supplémentaire : ⃗ par rapport à l’équation Gauss gravitation « usuelle ». On a présenté ce terme supplémentaire ⃗ comme

une accélération annulée lors du changement de référentiels de 𝑅 à 𝑅 . On note qu’il est également analogue, pour l’électromagnétisme, au champ électrique d’induction 𝐸⃗𝑖 = ( ) .

On a Maxwell Faraday sous forme intégrale :

𝐸⃗𝑚 ⋅ 𝑑𝑥⃗ = ((𝑣⃗ ∧ 𝐵⃗ / ) + (𝑢⃗ ∧𝜕𝐴⃗ 𝜕𝑡 ) ) ⋅ 𝑑𝑥⃗ = −𝜕𝐵⃗ / 𝜕𝑡 ⋅ 𝑑𝑆⃗ = −𝑑𝛷 𝑑𝑡

avec 𝛷 le flux de champ magnétique. Son analogue pour la gravitation est :

(−𝑎⃗ + 𝑎⃗ ) ⋅ 𝑑𝑥⃗ = ((𝑣⃗ ∧ 2𝛺⃗ / ) + (𝑢⃗ ∧𝜕𝑉⃗ 𝜕𝑡 ) ) ⋅ 𝑑𝑥⃗ = 𝜕2𝛺⃗ / 𝜕𝑡 ⋅ 𝑑𝑆⃗ =2𝑑𝛷 𝑑𝑡

avec 𝛷 le flux de champ pulsation. Nota 1

On ne fait pas ici intervenir de signe − dans . On va voir pourquoi dans le prochain paragraphe. Nota 2

En intégrant sur un contour fermé 𝛤 , on a le passage d’une accélération à une différence de potentiels newtoniens :

𝛥𝑉 = (−𝑎⃗ + 𝑎⃗ ) ⋅ 𝑑𝑥⃗ = ((𝑣⃗ ∧ 2𝛺⃗ / ) + (𝑢⃗ ∧𝜕𝑉⃗

𝜕𝑡 ) ) ⋅ 𝑑𝑥⃗

Si on multiplie par une masse 𝑚 l’équation ci-dessus, l’intégration sur un contour fermé 𝛤 traduit le passage d’une force de type gravitationnelle à une énergie gravitationnelle.

Nota 3

Notons que la force gravitationnelle newtonienne 𝐹⃗ = 𝑚⃗ ∧ ( ) ne peut produire une différence de potentiels newtoniens dans un contour fermé. On a en effet :

𝛥𝑉 = (𝑢⃗ ∧𝜕𝑉⃗

𝜕𝑥) ⋅ 𝑑𝑥⃗ = 𝑢⃗ ∧ (𝑉 (𝑀) − 𝑉 (𝑀)) = 0

Seuls les termes (𝑣⃗ ∧ 2𝛺⃗ / ) et (𝑢⃗ ∧ ⃗ ) peuvent produire une différence de potentiels newtoniens dans un contour fermé.

Pour un champ vecteur d’onde 𝐾⃗ / = ⃗ − ⃗ , on a : 𝛥𝑉 = (𝑢⃗ ∧ 𝐾⃗ / ) ⋅ 𝑑𝑥⃗ = (𝑢⃗ ∧ (𝜕𝑉⃗ 𝜕𝑡 − 𝜕𝑉⃗ 𝜕𝑥)) ⋅ 𝑑𝑥⃗ = (𝑢⃗ ∧ 𝜕𝑉⃗ 𝜕𝑡 ) ⋅ 𝑑𝑥⃗

VII.2.3 Changements de référentiels, comprendre Faraday gravitation

On reconnait dans 𝑎⃗ − 𝑎⃗ des termes de l’accélération lors d’un changement de référentiels de 𝑅 à 𝑅 .

On rappelle la décomposition d’une accélération : [𝑎⃗] = 𝑑𝑣⃗

𝑑𝑡 +

𝜕𝛺⃗

𝜕𝑡 ∧ 𝑂⃗𝑀 + 𝛺⃗ ∧ (𝛺⃗ ∧ 𝑂⃗𝑀) + 2𝛺⃗ ∧ 𝑣⃗

avec 𝛺⃗ ∧ (𝛺⃗ ∧ 𝑂⃗𝑀) l’accélération d’inertie centrifuge et 2𝛺⃗ ∧ 𝑣⃗ l’accélération de Coriolis.

L’accélération einsteinienne correspond à l’accélération annulée lors du changement de référentiels de 𝑅 à 𝑅 , c’est-à-dire à la différence entre l’accélération initiale [𝑎⃗] et l’accélération restante

⃗

. On a :

𝑎⃗ = [𝑎⃗] − 𝑑𝑣⃗ 𝑑𝑡

Sans l’expliquer physiquement, on constate qu’il faut aussi considérer l’accélération d’inertie centrifuge 𝛺⃗ ∧ (𝛺⃗ ∧ 𝑂⃗𝑀) comme une accélération restante. On obtient :

𝑎⃗ = [𝑎⃗] − 𝑑𝑣⃗

𝑑𝑡 − 𝛺⃗ ∧ (𝛺⃗ ∧ 𝑂⃗𝑀)

Nota

On saisit un peu mieux pourquoi il n’y a pas d’équivalent explicite à l’accélération d’inertie centrifuge 𝛺⃗ ∧ (𝛺⃗ ∧ 𝑂⃗𝑀) en électromagnétisme. Cet équivalent doit être implicitement inclus dans le champ électrique d’induction 𝐸⃗𝑖 = ( ) , comme il est ici inclus dans l’accélération einsteinienne. On a donc :

𝑎⃗ = 𝑎⃗ +𝜕𝛺⃗ 𝜕𝑡 ∧ 𝑂⃗𝑀

𝑎⃗ − 𝑎⃗ =𝜕𝛺⃗ 𝜕𝑡 ∧ 𝑂⃗𝑀

On a le vecteur potentiel vitesse défini à partir du champ pulsation : 𝑉⃗ = 𝛺⃗ ∧ 𝑂⃗𝑀

On a :

2𝛺⃗ = 𝑟𝑜⃗𝑡𝑉⃗ = 𝑟𝑜⃗𝑡(𝛺⃗ ∧ 𝑂⃗𝑀)

En dérivant par rapport au temps :

𝜕2𝛺⃗ 𝜕𝑡 =

𝜕𝑟𝑜⃗𝑡(𝛺⃗ ∧ 𝑂⃗𝑀) 𝜕𝑡

𝜕2𝛺⃗

𝜕𝑡 = 𝑟𝑜⃗𝑡( 𝜕𝛺⃗

𝜕𝑡 ∧ 𝑂⃗𝑀)

D’après le théorème de Stockes le long d’un chemin fermé 𝛤 délimitant une surface 𝑆 , on a : (𝜕𝛺⃗ 𝜕𝑡 ∧ 𝑂⃗𝑀) ⋅ 𝑑𝑥⃗ = 𝑟𝑜⃗𝑡( 𝜕𝛺⃗ 𝜕𝑡 ∧ 𝑂⃗𝑀) ⋅ 𝑑𝑆⃗ = 𝜕2𝛺⃗ 𝜕𝑡 ⋅ 𝑑𝑆⃗ = 2𝑑𝛷 𝑑𝑡 On retrouve donc : 𝛥𝑉 = (𝑎⃗ − 𝑎⃗ ) ⋅ 𝑑𝑥⃗ = (𝜕𝛺⃗ 𝜕𝑡 ∧ 𝑂⃗𝑀) ⋅ 𝑑𝑥⃗ = 𝜕2𝛺⃗ 𝜕𝑡 ⋅ 𝑑𝑆⃗ = 2𝑑𝛷 𝑑𝑡

On a l’analogue de Maxwell Faraday pour la gravitation :

𝛥𝑉 = (𝑎⃗ − 𝑎⃗ ) ⋅ 𝑑𝑥⃗ =2𝑑𝛷 𝑑𝑡

On appellera cette dernière équation Faraday gravitation. Nota 1

Pour une bonne analogie entre gravitation et électromagnétisme, il faut également que 𝛺⃗ soit à flux conservatif comme 𝐵⃗ .

Nota 2, chercher des exemples de Faraday gravitation : où peut-il y avoir un potentiel newtonien supérieur à l’attendu ?

On peut présenter Maxwell Faraday comme la génération d’une différence de potentiels électriques à partir d’une variation du flux du champ magnétique. On peut interpréter Maxwell Faraday comme l’obtention d’un potentiel électrique coulombien supplémentaire, sans avoir à passer par Maxwell Gauss électrostatique.

Suivant une analogie gravitation et électromagnétisme, cherchons des exemples où Faraday gravitation pourrait intervenir, c’est-à-dire des cas où on aurait un potentiel newtonien supérieur à l’attendu si on utilisait simplement Gauss gravitation ?

Nota 3, « masse lumineuse » et « masse dynamique », l’énigme de la matière noire

En 1933, l’astronome Fritz Zwicky étudie un petit groupe de 7 galaxies dans l'amas de la Chevelure de Bérénice. Ces galaxies sont comparables à de vastes tourbillons composés de spirales ou de bras d’étoiles qui tournent autour d’un centre particulièrement dense formé d’étoiles.

Pour chaque galaxie, F. Zwicky mesure les distances des étoiles depuis le centre galactique, leurs périodes de rotation autour du centre galactique, ainsi que leurs vitesses moyennes. A partir d’une formule s’inspirant de la 3ème _{loi de Kepler = avec 𝜆 = 1 + , avec en gros 𝑀 la masse du} centre galactique et 𝑚 la masse de l’étoile en rotation (𝑚 << 𝑀), l’astronome en déduit la « masse dynamique » de la Galaxie.

F. Zwicky mesure également la luminosité 𝐿 émise par les 7 galaxies, et à travers la relation de proportionnalité 𝐿 ∝ 𝑀 , il obtient pour chaque galaxie une « masse lumineuse ».

L’astronome constate alors que la vitesse des étoiles dans les bras de galaxies est bien plus élevée qu’on s’y attendrait. En effet, la masse dynamique est 400 fois plus grande que la masse lumineuse.

Dans les années 1970, l’astronome américaine Vera Rubin reprend les travaux de F. Zwicky à l’aide d’instruments d’observation dotés d’une plus grande précision. Elle calcule la vitesse de rotation de bras de galaxie en fonction de la distance au centre galactique. La vitesse de rotation d'une galaxie spirale est censée décroître en s’écartant du centre, cela en suivant une décroissance képlérienne. Or, à l’instar des observations de F. Zwicky, V. Rubin constate que les étoiles situées à la périphérie tournent bien trop vite. Par exemple, pour la galaxie d'Andromède, les vitesses restent pratiquement constantes au fur et à mesure que l'on s'éloigne du centre.

Pour expliquer ces vitesses en périphéries bien supérieures à la décroissance képlérienne, il faut postuler un potentiel newtonien supérieur à l’attendu. En effet, une vitesse de rotation supérieure implique une force d’inertie centrifuge supérieure, et donc une force attractive gravitationnelle newtonienne supérieure pour équilibrer la force d’inertie centrifuge, et donc un potentiel newtonien supérieur.

Si on utilise Gauss gravitation « usuelle » (sans le terme ⃗ ), un potentiel newtonien supplémentaire implique une masse supplémentaire pour générer ce potentiel newtonien.

Ainsi, suite aux travaux de F. Zwicky et de V. Rubin, il est proposé l’hypothèse d’une matière noire, un halo de matière non visible entourant les galaxies, un halo qui représenterait jusqu'à 90% de la masse de la galaxie. Cette matière noire génèrerait le potentiel newtonien supplémentaire, qui expliquerait les vitesses des étoiles supérieures à l’attendu képlérien.

Une autre piste pour obtenir un potentiel newtonien supplémentaire serait d’utiliser Faraday gravitation, et notamment le terme ⃗ que l’on propose également d’ajouter à Gauss gravitation. On peut voir le vecteur rotation (ou champ pulsation) 𝛺⃗ d’une galaxie comme l’analogue du champ magnétique 𝐵⃗, les bras d’étoiles d’une galaxie comme l’analogue d’un circuit électrique délimitant une surface fermée.

Dans ce cas, la variation de formes des bras d’étoiles produirait une variation du flux du champ pulsation 𝛺⃗ à travers la surface fermée délimitée par les bras et induirait l’apparition d’une différence de potentiels newtoniens supplémentaire en périphérie de la galaxie (comme il apparait une différence de potentiels électriques coulombiens supplémentaire dans les circuits électriques lors des phénomènes d’induction). Piste à suivre.