Objet du chapitre
On évoque l’idée originelle du présent mémoire : une vitesse de la charge électrique assimilable à une vitesse de groupe. On effectue ensuite un rappel historique sur les équations de Maxwell, puis sur les ondes gravitationnelles.
I.1
Idée originelle du mémoire, une vitesse de la charge électrique assimilable à une
vitesse de groupe ?
En 1924, L. De Broglie soutient une thèse où il propose que le corpuscule électron s’apparente également à une onde électron. Selon lui, la vitesse du corpuscule électron en orbite autour du noyau de l’atome (dans le modèle de l’électron de Bohr), correspond à la vitesse de groupe 𝑣 = de l’onde électron. Ainsi, avec beaucoup d’audace pour son époque, il associe la notion de vitesse développée en mécanique newtonienne à celle de vitesse de groupe développée en mécanique ondulatoire.
Dans ce mémoire, on va voir qu’en effectuant le rapport des deux équations de Maxwell sources champs (celle de Gauss et celle d’Ampère), on peut retrouver une quantité physique, rapport de la densité volumique de courant : 𝑗 = 𝜌𝑣 (unité : ou
×) et de la densité volumique de charge : 𝜌
(unité : ), faisant intervenir les champs magnétique 𝐵 et électrique 𝐸𝑙 : 𝜇 𝜀 𝑗
𝜌 = 𝜇 𝜀 𝑣 = 𝜕𝐵 𝜕𝐸𝑙
Cette dernière équation s’apparente formellement à celle de la vitesse de groupe, surtout si on rapproche le champ magnétique 𝐵 d’un champ pulsation 𝛺, et le champ électrique 𝐸𝑙 d’un champ vecteur d’onde 𝐾.
Partant de ces constatations, l’idée développée dans les prochains chapitres, c’est qu’à l’instar des équations sources champs de Maxwell faisant intervenir les champs 𝐵 et 𝐸𝑙, et s’appliquant à l’électromagnétisme, il existe des équations sources champs faisant intervenir le champ pulsation 𝛺 et le champ vecteur d’onde 𝐾, et s’appliquant à la gravitation.
Les sources de ces équations ne seront plus les densités volumique de charge 𝜌 et de courants électriques 𝑗, mais des densités volumique de masse 𝜌 (unité : ), ainsi que des masses 𝑚 et des impulsions 𝑝. En faisant le rapport de ces équations sources champs appliquées à la gravitation, il devra être possible de retrouver la vitesse de groupe 𝑣 = de l’onde d’une particule massique. L’une des interrogations, sera de déterminer les constantes qui interviennent dans les équations sources champs de la gravitation. Dans les équations sources champs de Maxwell, on utilise les constantes 𝜇 et 𝜀 , liées par la relation :
𝑐 = 1 𝜇 𝜀
On note que ces constantes apparaissent dans 𝜇 𝜀 𝑣 = , alors qu’il n’existe pas de constante pour la vitesse de groupe 𝑣 = . Au minimum, on s’attend à retrouver dans les équations sources champs de la gravitation la constante gravitationnelle G.
I.2
Rappels historiques, équations de Maxwell sources champs
Au cours des années 1860, J. C. Maxwell fait paraitre un volumineux traité de plus de 1 000 pages sur l’électricité et le magnétisme. Dans ce traité intitulé D’électricité et de magnétisme, le physicien s’inspire des travaux de Michael Faraday sur le champ magnétique, ainsi que de ceux de William Thomson (lord Kelvin) ou d’André-Marie Ampère. Il propose la mathématisation de ces travaux, inspiré par les outils de la mécanique des fluides.
J. C. Maxwell s’oppose à la conception newtonienne de forces avec une action à distance. Il reprend la conception de M. Faraday d’un milieu continu support des transformations d’un champ à travers l’Espace, transformations d’un champ qui permet ainsi de propager la force.
Dans son traité, J. C. Maxwell propose huit équations qu’on regroupe aujourd’hui sous le nom d’équations de Maxwell. En 1884, ces huit équations sont retranscrites par O. Heaviside et W. Gibbs en quatre équations et réécrites à l’aide de dérivées partielles.
On s’intéresse ici aux deux premières, celles qu’on appelle sources champs et désignées par Maxwell Gauss : 𝜌 𝜀 = 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗𝑙 et Maxwell Ampère : 𝜇 𝚥⃗ = 𝑟𝑜𝑡𝐵⃗ − 𝜇 𝜀 𝜕𝐸⃗𝑙 𝜕𝑡
Comme leur nom l’indique, ces deux équations relient les champs électriques et magnétiques aux sources densité de charge et de courants électriques. Elles se différentient des équations homogènes de Maxwell Thomson :
𝑑𝑖𝑣𝐵⃗ = 0 et Maxwell Faraday :
𝑟𝑜𝑡𝐸⃗𝑙 = −𝜕𝐵⃗ 𝜕𝑡
qui elles ne font intervenir que les champs électriques et magnétiques.
Avant le traité de J. C. Maxwell, les équations de Maxwell Gauss et de Maxwell Ampère avaient déjà été proposées sous différentes formes. La principale innovation de J. C. Maxwell est d’ajouter dans l’équation de Maxwell Ampère un courant de déplacement :
𝚥⃗ = 𝜀 𝜕𝐸⃗𝑙 𝜕𝑡
qui sur le modèle de la conservation de la masse, permet la conservation de la charge électrique. Les principes de conservation de la masse ou de la charge, se traduisent ainsi par la même équation :
𝜕𝜌
𝜕𝑡+ 𝑑𝑖𝑣(𝜌𝑣⃗) = 0
avec 𝜌 la densité volumique de masse ou de charge électrique et 𝑣⃗ la vitesse des particules de masse ou de charge électrique.
I.3
S’inspirer des ondes gravitationnelles
En 1916, dans le cadre de la Relativité générale, A. Einstein propose la notion d’ondes gravitationnelles qu’il interprète comme une oscillation de la courbure de l’Espace-Temps. Il s’appuie également sur une analogie avec les ondes électromagnétiques.
Selon le principe de l’antenne émettrice, une charge électrique en mouvement accéléré dans une antenne (par exemple un courant électrique alternatif sinusoïdal dans une antenne) rayonne une onde électromagnétique se propageant à la vitesse de la lumière dans le vide. De même, une masse accélérée pourrait rayonner une onde gravitationnelle se propageant à la vitesse de la lumière dans le vide.
Selon le principe de l’antenne réceptrice, une onde électromagnétique génère une accélération des charges électriques présentes dans une antenne (par exemple un courant alternatif). De même, une onde gravitationnelle génèrerait une accélération des masses présentes dans une antenne.
Etudions le cas d’une antenne radioélectrique dite demi-onde de longueur 𝑙 = parcourue par un courant électrique sinusoïdal :
𝐼(𝑧, 𝑡) = 𝐼 𝑒
L’antenne rayonne un champ électromagnétique. On donne ci-dessous la partie champ électrique en coordonnées polaires (𝑟, 𝜃) : 𝐸⃗𝑙 (𝑀, 𝑡) ≈ 𝑖𝐼 2𝜋𝜀 𝑐𝑟 𝑐𝑜𝑠(𝜋2𝑐𝑜𝑠 𝜃) 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑒 ( )𝑢⃗
L’antenne demi-onde et le champ électrique peuvent être symbolisés par la figure suivante :
Figure 1 : antenne radioélectrique demi-onde
Le principe de l’antenne émettrice et réceptrice découle en particulier de l’équation source champ de Maxwell Ampère :
𝜇 𝚥⃗ = 𝑟𝑜𝑡𝐵⃗ − 𝜇 𝜀 𝜕𝐸⃗𝑙 𝜕𝑡
Cette équation traduit qu’un courant (une charge électrique en mouvement) produit un champ magnétique 𝐵⃗ et un champ électrique 𝐸⃗𝑙. Inversement, ces deux champs se comportent dans le vide comme une onde électromagnétique, qui génère un courant dans une antenne.
Nota, passage des équations de Maxwell aux équations d’onde d’Alembert
A partir de Maxwell Faraday, compte tenu de Maxwell Gauss et de Maxwell Ampère, on trouve 𝛥𝐸⃗𝑙 − 𝜇 𝜀 𝜕 𝜕𝑡 𝐸⃗𝑙 = 𝛻⃗( 𝜌 𝜀 )
2
l
t ie
I
I
0 r
)
,
(M
t
l
E
avec
𝑐 = 1 𝜇 𝜀 Dans le vide, on obtient :
𝛥𝐸⃗𝑙 − 1 𝑐
𝜕 𝐸⃗𝑙 𝜕𝑡 = 0
A partir de Maxwell Ampère, compte tenu de Maxwell Thomson et de Maxwell Faraday, on trouve : 𝛥𝐵⃗ − 𝜇 𝜀 𝜕
𝜕𝑡 𝐵⃗ = 𝛻⃗ × (𝜇 𝚥⃗) Dans le vide, on obtient :
𝛥𝐵⃗ − 1 𝑐
𝜕 𝐵⃗ 𝜕𝑡 = 0
Ces 2 équations traduisent que les champs électriques et magnétiques suivent l’équation d’onde d’Alembert dans le vide.
En 2015, l’hypothèse d’A. Einstein d’une onde gravitationnelle apparait comme confirmée. Des détecteurs appelés LIGO (Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory), l’un situé en Louisiane, l’autre dans l’état de Washington enregistrent les signaux attendus. Sans entrer ici dans le détail du fonctionnement complexe de ces détecteurs, ils reposent sur un principe d’antennes réceptrices, avec des masses mises en mouvement accélérée lors de la présence d’ondes gravitationnelles.
Puisqu’il existe en électromagnétisme des équations sources champs (Maxwell Ampère et Maxwell Gauss) décrivant le lien entre les antennes (c’est-à-dire la source : charge en mouvement accéléré) et l’onde électromagnétique (c’est-à-dire les champs 𝐸⃗𝑙 et 𝐵⃗ se propageant à la vitesse 𝑐 dans le vide), on conjecture pour la gravitation des équations sources champs analogues, décrivant le lien entre les antennes (c’est-à-dire la source : masse en mouvement accéléré) et l’onde gravitationnelle.
Dans le 2ème mémoire, on a souligné les analogies entre les champs 𝐵⃗, 𝐸⃗𝑙 et 𝛺⃗ et 𝐾⃗. On souhaiterait donc des équations sources champs s’appliquant à la gravitation et faisant intervenir les champs 𝛺⃗ et 𝐾⃗. Ce sont ces équations sources champs que nous allons rechercher et proposer dans ce 3ème mémoire. Nota
On conjecture ici des ondes gravitationnelles construites à partir des champs 𝛺⃗ et 𝐾⃗ plutôt qu’à partir simplement du champ gravitationnel newtonien 𝐺𝑟 = − comme le fait la Relativité générale. On reviendra sur ce point délicat à la fin de ce mémoire, et également dans le 6ème mémoire lorsqu’on évoquera l’équation source potentiel de Poisson :
4𝜋𝐺𝜌 = 𝛥𝑉 une équation sur laquelle se fonde la Relativité générale.
I.4
Conclusion du chapitre
Suivant une analogie gravitation électromagnétisme, on conjecture l’existence d’équation sources champs s’appliquant à la gravitation, et faisant intervenir les champs 𝛺⃗ et 𝐾⃗.
Cette conjecture provient en particulier d’une vitesse de la charge électrique assimilable à une vitesse de groupe et obtenue à partir des équations sources champs de Maxwell. Elle s’inspire également des ondes gravitationnelles.