Analogies entre vecteur rotation

Dans les paragraphes qui suivent, on rappelle les principales analogies entre un vecteur rotation 𝛺⃗ et un champ magnétique 𝐵⃗.

II.3.1 Relation de Larmor

A la fin des années 1890, Joseph Larmor constate que pour des valeurs de champ magnétique usuellement réalisables, si on place l’électron sur un manège qui tourne à la vitesse de rotation :

𝛺⃗ = 𝑒 2𝑚 𝐵⃗

avec e la charge électrique (en valeur absolue) de l’électron et 𝑚 sa masse, alors le mouvement de l’électron est comme si l’électron ne tournait pas et si le champ magnétique 𝐵⃗ n’existait pas. Il y a compensation entre les effets du champ magnétique et les effets du manège.

D’un point de vue changement de référentiels, la relation de Larmor peut s’interpréter : 𝑅 = 𝑅

avec 𝑅 un référentiel galiléen.

II.3.2 Analogie potentiel vitesse 𝑽⃗ et potentiel magnétique 𝑨⃗ Le champ magnétique 𝐵⃗ dérive d’un potentiel magnétique 𝐴⃗ :

𝐵⃗ = 𝑟𝑜⃗𝑡𝐴⃗

Dans trois dimensions, x, y, t, on a :

𝐵 / =𝜕𝐴 𝜕𝑥 −

𝜕𝐴 𝜕𝑦

De même, le vecteur rotation 𝛺⃗ dérive d’un potentiel vitesse 𝑉⃗ : 2𝛺⃗ = 𝑟𝑜⃗𝑡𝑉⃗

Dans trois dimensions, x, y, t, on a :

2𝛺 / =𝜕𝑉 𝜕𝑥 −

𝜕𝑉 𝜕𝑦

Nota 1

La notation 𝛺 / indique que la rotation s’effectue dans le plan x, y. Dans trois dimensions, x, y, t, 𝛺 / est orienté suivant le Temps et s’exprime en 𝑟𝑎𝑑 × 𝑠 .

Par analogie, on pose pour 𝐵 / la même notation, même si l’unité du champ magnétique est le tesla et non la 𝑠 .

Nota 2

On reviendra ultérieurement sur cette notion de potentiel vitesse 𝑉⃗. L’idée à retenir c’est qu’un potentiel vitesse correspond à une vitesse annulée après un changement de référentiels.

II.3.3 Analogie potentiel vitesse d’un mouvement circulaire uniforme et potentiel magnétique d’un champ magnétique uniforme

On a la relation entre la vitesse linéaire (sous la forme ici d’un potentiel vitesse 𝑉⃗ ) et le vecteur rotation 𝛺⃗ / _{d’un mouvement circulaire uniforme et le rayon 𝑟⃗ (r, s, t repère à trois dimensions}

orthogonales) :

𝑉⃗ = 𝛺⃗ / ∧ 𝑟⃗

De même, on la relation entre le potentiel vecteur magnétique, le champ magnétique uniforme et le rayon 𝑟⃗ :

𝐴⃗ =1 2𝐵⃗

II.3.4 Rappel moment magnétique orbital d’un dipôle magnétique

En magnétisme, on définit le moment magnétique orbital 𝜇⃗ d’un dipôle magnétique qui peut s’interpréter comme un petit aimant.

Dans le cas d’une particule chargée 𝑞 en rotation, on a le moment magnétique orbital (perpendiculaire au plan de rotation de la particule chargée) :

𝜇⃗ =1

2𝑟⃗ ∧ 𝑞𝑣⃗

En forme intégrale sur un contour fermé 𝐶, on obtient si 𝑟⃗ toujours perpendiculaire à 𝑞𝑣⃗ : 𝜇⃗ = ( 1

2𝑟𝑞𝑣⃗ ⋅ 𝑑𝑙⃗)𝑛⃗ avec 𝑛⃗ vecteur unitaire perpendiculaire au plan de rotation.

On définit également le moment magnétique orbital 𝜇⃗ d’un dipôle magnétique sous la forme : 𝜇⃗ = 𝐼𝑑𝑠⃗ = 𝐼𝑆⃗

Avec I le courant électrique

𝑆⃗ et 𝑑𝑠⃗ perpendiculaires aux surface 𝑆 et 𝑑𝑠,

𝑛⃗𝑑𝑠 = 𝑑𝑠⃗ vecteur unitaire perpendiculaire à la surface 𝑑𝑠.

Nota 1

On veut montrer l’identité des 2 définitions du moment magnétique orbital 𝜇⃗. 1

2𝑟𝑞𝑣⃗ ⋅ 𝑑𝑙⃗ = 𝐼𝑑𝑠 ?

Si 𝐶 est un contour de périmètre 2𝜋𝑟 et 𝑆 un disque de surface 𝜋𝑟 , on obtient les relations : 1 2𝑟𝑞𝑣⃗ ⋅ 𝑑𝑙⃗ = 𝐼 𝑑𝑠? 1 2𝑟𝑞𝑣 × 2𝜋𝑟 = 𝐼 × 𝜋𝑟 ? On a le courant : 𝑞𝑣 = 𝐼 On retrouve bien : 𝜇⃗ = ( 1 2𝑟𝑞𝑣⃗ ⋅ 𝑑𝑙⃗)𝑛⃗ = 𝐼𝑑𝑠⃗ = 𝐼𝑆⃗ Nota 2

Le passage de ∮ 𝑟𝑞𝑣⃗. 𝑑𝑙⃗ à ∬ 𝐼𝑑𝑠 se fait via le théorème de Stockes. Sous forme locale, on a :

1

2𝑟𝑜⃗𝑡(𝑟𝑞𝑣⃗) = 𝐼𝑛⃗

1

2𝑟𝑞𝑣⃗. 𝑑𝑙⃗ = 1

2𝑟𝑜⃗𝑡(𝑟𝑞𝑣⃗). 𝑑𝑠⃗ = 𝐼𝑑𝑠

II.3.5 Analogie moment cinétique orbital et moment magnétique orbital On rappelle le moment cinétique orbital d’une particule de masse 𝑚 :

𝜎⃗ = 𝑟⃗ ∧ 𝑚𝑣⃗

On a la relation entre le moment magnétique orbital 𝜇⃗ d’une particule de charge 𝑞, de masse 𝑚 et le moment cinétique orbital 𝜎⃗de cette particule (un signe − s’introduit) :

𝜇⃗ = − 𝑞 2𝑚𝜎⃗

On pose souvent 𝜇⃗ = 𝛾𝜎⃗ avec 𝛾 = − le rapport gyromagnétique.

On a la relation entre le moment magnétique orbital 𝜇⃗ _ℎ d’un électron de charge −𝑒, de masse 𝑚 et son moment cinétique orbital 𝜎⃗ :

𝜇⃗ ℎ =

𝑒 2𝑚 𝜎⃗

(relation dite de Bohr-Procopiu avec 𝜇⃗ ℎ appelé le magnéton de Bohr).

Suivant le modèle de l’électron de Bohr, le moment cinétique 𝜎⃗ est quantifié : 𝜎⃗ = 𝑛ℏ𝑧⃗

On obtient le moment magnétique de l’électron dans son état le plus stable (𝑛 = 1) : 𝜇⃗ ℎ =

𝑒ℏ 2𝑚 𝑧⃗

Nota

On a une analogie comparable entre le moment cinétique de spin 𝑆⃗ et le moment magnétique de spin 𝜇⃗ :

𝜇⃗ = 𝑔 𝑞 2𝑚𝑆⃗

avec le moment cinétique de spin 𝑆⃗ = ± ℏ𝑧⃗ et 𝑔 le facteur de Landé. Pour l’électron, on a le facteur de Landé 𝑔 ≈ −2.

II.3.6 Energie potentielle d’un dipôle magnétique en fonction de 𝑩⃗ et de 𝜴⃗

On a l’énergie potentielle d’un dipôle magnétique 𝜇⃗ dans un champ magnétique extérieur 𝐵⃗ : 𝐸𝑝 = −𝜇⃗ ⋅ 𝐵⃗

Nota

On peut aussi interpréter 𝐸𝑝 comme une énergie d’interaction entre un dipôle magnétique et un champ magnétique 𝐵⃗ extérieur.

Dans les mémoires 4 et 5, lorsqu’on s’intéressera aux particules élémentaire, le dipôle magnétique sera rapproché des fermions et le champ magnétique extérieur des photons.

On a la relation de Larmor pour l’électron :

𝐵⃗ =2𝑚 𝑒 𝛺⃗

On a le magnéton de Bohr-Procopiu pour l’électron : 𝜇⃗ = 𝑒

2𝑚 𝜎⃗

On a alors l’énergie potentielle d’un dipôle magnétique électron dans un champ magnétique extérieur 𝐵⃗ de la forme : 𝐸𝑝 = − 𝑒 2𝑚 𝜎⃗ ⋅ 2𝑚 𝑒 𝛺⃗ 𝐸𝑝 = −𝜎⃗ ⋅ 𝛺⃗ Avec 𝜎⃗ = ℏ𝑧⃗, on obtient : 𝐸𝑝 = −ℏ𝛺 Nota 1

On retrouve une relation proche de l’énergie d’un photon proposée par A. Einstein : 𝐸 = ℎ𝜈 = ℎ

2𝜋2𝜋𝜈 = ℏ𝛺

Au début de sa thèse, L. de Broglie généralise la relation d’Einstein appliquée aux photons, aux particules massiques comme l’électron. Pour cela, il réunit deux célèbres équations proposées par A. Einstein. Il égalise les énergies d’une onde stationnaire de pulsation 𝛺 = 2𝜋𝜈 et celle d’un corpuscule de masse 𝑚 au repos :

𝐸 = ℎ𝜈 = ℏ𝛺 = 𝑚 𝑐

On reviendra sur ces équations dans le mémoire 3 sur les équations sources champs. Nota 2

Le photon et l’électron possèdent tous les deux un moment cinétique de spin 𝑆⃗. Par contre, l’électron est le seul à posséder une charge et une masse, et donc un moment magnétique de spin 𝜇⃗ = 𝑔 𝑆⃗. Si un photon ne subit pas les effets d’un champ magnétique 𝐵⃗, un électron considéré comme un petite aimant de moment magnétique de spin 𝜇⃗ , s’oriente suivant 𝐵⃗ pour une minimisation du moment de force 𝑀⃗ = 𝜇⃗ ∧ 𝐵⃗.

II.3.7 Analogie force de Coriolis et force magnétique de Lorentz On a la force de Coriolis :

𝐹⃗ = 𝑚𝑣⃗ ∧ 2𝛺⃗ et la force magnétique de Lorentz :

𝐹⃗ = 𝑞𝑣⃗ ∧ 𝐵⃗

- à une impulsion 𝑝⃗ = 𝑚𝑣⃗ ou à un courant 𝚥⃗ = 𝑞𝑣⃗, - à un vecteur rotation 𝛺⃗ ou à un champ magnétique 𝐵⃗. II.3.8 Energie et impulsion potentielles

Pour la gravitation et l’électrostatique, on définit une énergie potentielle qui dérivée (par rapport à l’Espace) permet de retrouver respectivement la force gravitationnelle de Newton et le force électrostatique de Coulomb. 𝐹⃗ = −𝜕𝐸𝑝 (𝑟⃗, 𝑣⃗, 𝑡) 𝜕𝑟⃗ = − 𝜕𝑚 𝑉 𝜕𝑟⃗ 𝐹⃗ = −𝜕𝐸𝑝 (𝑟⃗, 𝑣⃗, 𝑡) 𝜕𝑟⃗ = − 𝜕𝑞 𝐴 𝜕𝑟⃗

Nota sur l’énergie 𝐸𝑝

L’énergie 𝐸𝑝 est ici considérée comme une composante vectorielle orientée dans le Temps.

En magnétisme, la force magnétique de Lorentz ne travaille pas. Son énergie potentielle est constante, et on ne peut retrouver la force magnétique en la dérivant.

Il en est de même en mécanique avec la force de Coriolis, analogue de la force magnétique de Lorentz, qui ne travaille pas. Son énergie potentielle est constante, et on ne peut retrouver la force de Coriolis en la dérivant.

Néanmoins, en Electromagnétisme, on définit un potentiel généralisé qui permet de retrouver via l’équation d’Euler Lagrange la force électromagnétique de Lorentz (incluant la force magnétique de Lorentz). On le détaillera dans le prochain paragraphe.

En outre, à partir du potentiel vecteur magnétique 𝐴 (𝜇 = 𝑥, 𝑦, 𝑧) et de la charge 𝑞 , on définit une impulsion potentielle magnétique. On peut faire de même pour la mécanique newtonienne où on définit une impulsion potentielle gravitationnelle à partir du potentiel vitesse 𝑉 (𝜇 = 𝑥, 𝑦, 𝑧) et de la masse 𝑚 . On a le tableau suivant : Gravitation Electromagnétisme Energie potentielle 𝐸𝑝 = 𝑚 𝑉 𝐸𝑝 = 𝑞 𝐴 (électrostatique) Impulsion potentielle suivant x 𝑝 = 𝑚 𝑉 𝑝 = 𝑞 𝐴 Impulsion potentielle suivant y 𝑝 = 𝑚 𝑉 𝑝 = 𝑞 𝐴 Impulsion potentielle suivant z 𝑝 = 𝑚 𝑉 𝑝 = 𝑞 𝐴

Nota : on constate que 𝑞 et 𝑚 sont tous deux orientés dans le Temps. On y reviendra abondamment.