Chapitre II : Modèles de transferts de masse et de chaleur au sein d’un lit poreu
2. Vapeur pure
2.2 Modèle 1D ‘volume to point’ (vapeur pure)
Le modèle présenté dans cette partie à été initialement développé par Azoumah pour l’optimisation géométrique d’un réacteur solide/gaz par l’approche constructale (Azoumah 2005). En effet, le dimensionnement des réacteurs solide/gaz est proche du problème de ‘l’écoulement du volume au point’ proposé par A. Bejan (Bejan, 2000), problème pour lequel la démarche constructale était proposée pour la première fois. Cependant les critères d’optimisation utilisés (minimisation de l’écart thermique ou de la perte de charge dans les problèmes de A. Bejan) ne porte que sur un mode de transfert unique, et n’est donc pas directement applicable au cas des transferts couplés. Azoumah (Azoumah 2005) a proposé comme critère d’optimisation la minimisation de la production totale d’entropie. L’utilisation de lois phénoménologiques issues de la thermodynamique des processus irréversibles (Progogine, 1968) permet d’expliciter simplement cette production d’entropie. C’est là la différence majeure entre le modèle décrit ici et ceux présentés précédemment. Ces travaux ont été étendus récemment (Neveu, et al., 2012) à une géométrie plus réaliste que celle étudiée par Azoumah, qui considérait des diffuseurs de gaz et des collecteurs de chaleur intégrés : la vapeur et la puissance thermique transitaient par un même et unique volume. Nous rappelons ci-dessous la méthode utilisée qui sera appliquée au Chapitre IV pour déterminer la forme optimale d’un réacteur fonctionnant en vapeur pure. Soulignons que ce modèle n’a pas pour objectif de décrire finement les phénomènes, mais doit permettre d’approcher une géométrie optimale qui peut ensuite être affinée par le modèle 2D décrit précédemment.
2.2.1 Hypothèses du modèle et géométrie Les hypothèses principales du modèle sont les suivantes :
Les flux de masse et/ou de chaleur sont unidirectionnels dans chaque sous domaine. Cependant, on considère que la propagation de la masse se fait selon l’axe (O, x) dans le diffuseur de gaz et selon l’axe (O, z) dans le sel réactif. De même, la propagation de la chaleur se fait selon l’axe (O, z) dans le sel réactif et selon l’axe (O, x) dans le collecteur de chaleur (voir figure 4).
Le régime est stationnaire.
Le transfert de masse suit la loi de Darcy. Le transfert de chaleur suit la loi de Fourier.
Les sources et puits de chaleur et de masse, liées à la réaction, sont considérés uniformes et constants dans le volume du sel réactif. L’équilibre thermodynamique de la réaction solide/gaz n’est donc pas pris en compte.
La profondeur de l’élément de base (W) est très grande devant ses deux autres dimensions. Le modèle peut donc être décrit uniquement dans le plan (O, x, z) de la Figure II.4.
La surface totale A = H.L de l’élément de base est fixée, ainsi que la fraction d’inerte (rapport entre la surface de l’ensemble collecteur + diffuseur (Ap = D.L +D’.L) et la surface
totale), tel que :
(II.51)
Figure II.4 : Schéma d'un demi-élément de base en cours d'hydratation. Le plan formé par la paroi basse du collecteur de chaleur (O, x, y) est un plan de symétrie.
La géométrie du réacteur modélisé (Figure II.4) est similaire à celle utilisée pour le modèle 2D sous vapeur pure (Figure II.3). Elle est composée de trois domaines superposés, de longueur L : le collecteur de chaleur, le sel réactif et le diffuseur de gaz, d’épaisseurs respectives D/2, Zs = (H-D-
D’)/2 et D’/2. Cette géométrie correspond à un demi-réacteur. En effet le plan (O, x, y) correspond
à un plan de symétrie (voir Figure II.4). La hauteur, la longueur, la profondeur et le volume du réacteur thermochimique, sont donc respectivement : H, L, W et Vt = W H L.
2.2.2 Expression du modèle
i. Conservation de la masse et de l’énergie
Compte tenu des hypothèses précédentes, les équations de conservation de la masse et de l’énergie (équations (II.8) et (II.2) dans leur forme la plus générale) se simplifient en :
(II.52)
(II.53)
Le couplage entre la source de chaleur
et le puits de masse
est donné par la relation suivante :
(II.54) La production d’entropie locale (en W.K-1.m-2) de l’élément de base déduite du second principe de
la thermodynamique s’écrit :
(II
.
55)Avec vv le volume molaire de la vapeur d’eau, en m3.mol-1.
L’utilisation des lois phénoménologiques issues de la thermodynamique de processus irréversibles permet d’expliciter simplement la production d’entropie, en supposant des flux dépendant linéairement des forces thermodynamiques définies par (II
.
55) :(II.56)
(II.57)
Avec Lv et Lq les coefficients phénoménologiques. Ceux-ci peuvent être exprimés en fonction de la
perméabilité et de la conductivité thermique en comparant les lois phénoménologiques aux lois de Darcy et de Fourier. On obtient :
ii. Calcul de la forme optimale du réacteur
Dans la suite, nous allons déterminer la forme optimale (définie par un facteur de forme f) de l’élément de base qui minimise sa production d’entropie. Ce facteur de forme est défini de la manière suivante :
(II.59)
Calcul de la production d’entropie
L’entropie totale créée dans l’élément de base est égale à la somme des entropies crées dans chacun de ses composants (sel réactif, diffuseur de gaz et collecteur de chaleur). Ce qui donne (les calculs de la production d’entropie dans chaque composant sont détaillés dans l’Annexe 5) :
(II.60) Avec les rapports entre l’épaisseur du collecteur de chaleur (respectivement le diffuseur de gaz) et la hauteur de l’élément de base définis par :
et
(II.61)
Nous avons de plus :
,
etles nombres adimensionnels
et
(II.62)
avec λeff la conductivité thermique effective du lit réactif et klit la perméabilité équivalente du lit de
sel.
Minimisation de la production d’entropie
Afin de déterminer la forme optimale du réacteur, il est nécessaire de trouver f, ξ et ξ’ qui permettent de minimiser la production d’entropie dans l’élément de base. Notons que la fraction d’inerte de l’élément de base est fixée et donc constante quelque soit le facteur de forme de celui- ci. Elle peut s’écrire de la manière suivante :
(II.63)
Déterminer la forme optimale du réacteur revient donc à minimiser la production d’entropie dans l’élément de base, sous la contrainte suivante :
Pour cela, la méthode du multiplicateur de Lagrange est utilisée. On pose alors le Lagrangien
’
, tel que :’ ’
(II.65)
Afin d’obtenir la condition d’optimalité, on cherche à annuler le gradient du Lagrangien, on obtient donc (les calculs sont détaillés dans l’Annexe 5) :
et
(II.66)
Finalement, le facteur de forme optimal fopt s’écrit :
(II.67)
L’équation précédente montre que le facteur de forme optimal de l’élément de base constituant le réacteur thermochimique dépend fortement des caractéristiques (ki, λi) du lit réactif, du collecteur
de chaleur et du diffuseur de gaz, ainsi que de la fraction d’inerte ( ).