Chapitre II : Modèles de transferts de masse et de chaleur au sein d’un lit poreu
1. Air humide
1.1 Modèle 2D de lit poreux réactif, sous air humide
Un modèle 2D de la réaction solide/gaz et des transferts de masse et de chaleur au sein d’un lit poreux traversé par de l’air humide, est présenté dans ce paragraphe. Ce modèle dynamique, réalisé à partir du logiciel COMSOL®, est basé sur la résolution, par la méthode des éléments finis, des équations de conservation de la masse et de la chaleur, ainsi que d’une équation de vitesse de réaction, dans l’ensemble du volume du lit réactif.
1.1.1 Hypothèses
Les hypothèses principales de ce modèle sont les suivantes :
Le solide réactif et l’air humide ont une température identique (le milieu est considéré comme pseudo-homogène).
Le transfert de masse suit la loi de Darcy,
Les considérations supplémentaires de ce modèle sont : Le volume poreux du milieu réactif est pris en compte,
Les variations de chaleurs sensibles du sel réactif et de l’air humide sont prises en compte, L’air humide est considéré comme un mélange de gaz parfait (air sec + vapeur d’eau). Le développement du modèle est présenté dans la suite.
1.1.2 Géométrie
La géométrie modélisée est composée d’un domaine rectangulaire de longueur L et d’épaisseur Zs : le lit de sel réactif. L’air humide pénètre dans le sel par le bas du domaine, ce qui entraine une réaction d’hydratation (ou de déshydratation) du sel. La chaleur ainsi générée (absorbée) est transmise (captée) à l’ensemble sel + air humide, l’air humide est ensuite évacué vers l’extérieur, par la partie haute du domaine (voir Figure II.1).
Figure II.1 : Schématisation du réacteur thermochimique fonctionnant sous air humide, utilisé dans le modèle 2D. a) fonctionnement en hydratation, b) fonctionnement en déshydratation.
Entre parenthèses : limites du système et leur numérotation.
1.1.3 Expression du modèle
Les équations constitutives du modèle, à savoir les équations de conservation de la masse et de la chaleur, ainsi que l’équation de la vitesse de réaction sont décrites ci-dessous.
i. Conservation de la matière
Sur l’air humide, l’équation de conservation de la matière en base molaire s’écrit :
(II.1)
et
(en molv.m-3.s-1) le puits ou la source de matière, où est le nombre de moles d’eau qui réagissent par moles de sel et
la densité molaire de sel en mols.m-3.
Or, d’après les propriétés de l’air humide (voir l’annexe 1), il est possible de décomposer l’équation de conservation de la matière sur l’air humide (II.1) en deux équations de conservation de la matière, l’une sur la vapeur d’eau et l’autre sur l’air humide. Nous obtenons finalement le système d’équations ci-dessous :
(II.2)
(II.3)
Avec yv le titre molaire en eau dans l’air humide : (en molv/molh). Ce système d'équation peut aussi s’écrire en base massique :
(II.4) (II.5) Avec,
(en kg.m
-3.s-1) le puits ou la source de masse et x
v le titre massique en eau.
yv et xv sont reliés à la pression partielle d’eau grâce aux équations (A3.12) et (A3.13), voir
l’annexe 3.
ii. Conservation de l’énergie
Dans le milieu réactif, l’équation de conservation de l’énergie peut s’écrire de la manière suivante :
(II.6)
Avec
le flux conductif et et respectivement les flux d’énergie dus à la convection de la vapeur d’eau et de l’air humide.
D’après les propriétés thermodynamiques des réactions solide / gaz décrites dans l’annexe 2, nous pouvons réécrire l’équation (II.6) de la manière suivante :
(II.7)
Ce qui donne avec des grandeurs massiques :
Avec
(en W.m
-3), la source ou le puits de chaleur du à la réaction.
iii. Expression de la vitesse de réaction
Pour le type de réaction étudié, renversable et à solide consommable, la vitesse de réaction dépend de l'écart entre les conditions opératoires et l'équilibre thermodynamique, ainsi que de l'avancement de la réaction. Les études menées au laboratoire (Lu, et al., 1996), (Mazet, et al., 1991) ont montré que cette vitesse pouvait s'exprimer en hydratation selon :
(II.9)
Avec kcin la constante de cinétique de la réaction, X l’avancement de la réaction (X=0 lorsque
le sel est déshydraté et X=1 lorsqu’il est hydraté) et peqSG(T) la pression d’équilibre du sel réactif à
la température T, donnée par la relation de Clausius – Clapeyron (équation (I.2)). De même, en déshydratation la vitesse de réaction peut s’écrire :
(II.10)
1.1.4 Conditions aux limites et initiales
i. Conditions aux limites
La géométrie du modèle fait apparaître 4 limites (voir Figure II.1) sur lesquelles les conditions sont les suivantes :
Limite 1 : Entrée de l’air humide : deux protocoles de fonctionnement d’un réacteur thermochimique traversé par de l’air humide, ont été modélisés : l’un en imposant les pressions aux bornes du lit réactif et l’autre en imposant le débit d’air humide en entrée de ce lit et la pression à sa sortie.
- Le premier protocole (pressions aux bornes du lit réactif imposées), qui sera utilisé dans le Chapitre IV, nécessite les conditions limites suivantes : le titre molaire en eau (yvi)et la
pression totale en entrée (pti) humide sont imposés.
- Le deuxième protocole (débit d’air humide en entrée du lit et pression à sa sortie imposé), qui sera utilisé dans le Chapitre VI, nécessite les conditions limites suivantes : le titre molaire en eau (yvi)et le débit d’air humide en entrée (pti) sont imposés.
De plus, le modèle pseudo homogène étant incompatible avec les conditions aux limites du système réel (température du sel différentes de la température de l’air entrant dans celui-ci), un flux équivalent égale à la puissance nécessaire afin d’amener la température de l’air de sa température en entrée (Ti) à la température du sel (T) est imposé à la limite, soit :
Limite 2 : Sortie de l’air humide: La pression totale (ptj = pti + Δp) est fixée à la pression
atmosphérique patm.
De plus, on considère à la paroi un flux convectif de vapeur d’eau (
).
Enfin, la paroi est thermiquement isolée :
.
Limites 3 et 4 : Frontières externes du réacteur : le flux de masse est nul (
) et un flux thermique peut être imposé afin de représenter les pertes thermiques, soit :
(II.12)
Avec hech un coefficient d’échange (en W.m-1) et n le vecteur unitaire normal à la paroi.
ii. Conditions initiales et propriétés des réactifs
Initialement, la température (Tini) et l’avancement global du lit réactif (Xini) sont fixés. De plus,
celui-ci est à l’équilibre thermodynamique, la pression partielle d’eau de l’air humide contenue dans le lit réactif est donc égale à peqSG(Tini).
Les propriétés des réactifs utilisés (air humide et SrBr2, 1 et 6 H2O, dans notre cas) sont récapitulées dans l’annexe 3.
1.1.5 Maillage
Le domaine qui délimite le lit réactif est composé de mailles rectangulaires de tailles irrégulières. 20 mailles régulièrement espacées sont disposées sur la longueur L (parois 1 et 2) et, suivant les cas, entre 2 et 60 mailles irrégulièrement espacées sont disposées sur l’épaisseur du domaine (parois 3 et 4). Le maillage des parois 3 et 4 est plus fin proche des parois 1 et 2, avec un rapport d’aspect de 0,1 (rapport entre la taille de la plus petite maille et celle de la plus grande) et une méthode de distribution linéaire (le rapport de la taille de deux mailles qui se suivent est constant).