Mesure de la pression

Notre objectif est d’estimer la pression qu’exercent les disques au cours du temps sur la chaîne lorsqu’ils sont mis dans un seul compartiment. Puis, à partir de la mesure de la longueur de la membrane effective, il s’agit d’inférer la tension qui s’exerce sur celle-ci, et qui contrebalance la pression linéique le long de la chaîne.

6.3.1 Equilibre mécanique

Sur la figure (6.5-a) on représente un instantané de l’expérience sur lequel nous obser-vons des disques dans le container gauche délimité par la chaîne. Nous superposons sur celle-ci, la position de la membrane effective, de longueur L_eff, tirée en ses deux

2

[Fig.1(b)], akin to the one predicted theoretically for

Ac-tive Brownian Particles (ABP) against a flexible wall [23],

takes place. Altogether our results demonstrate that

set-ting up a thermodynamical frame for active particles

re-mains an important conceptual challenge, but also o↵ers

new design opportunities in adapting wall properties to

particles specificities.

The experimental system is made of vibrated disks

with a built-in polar asymmetry, which enables them

to move coherently [22]. The polar particles are

micro-machined copper-beryllium disks (diameter d = 4 mm,

area a = ⇡d

2

/4) with an o↵-center tip and a glued rubber

skate located at diametrically opposite positions (total

height h = 2 mm). These two “legs”, with di↵erent

me-chanical response, endow the particles with a polar axis.

Under proper vibration, the self propelled polar (spp)

disks perform a persistent random walk, the persistence

length of which is set by the vibration parameters. Here

we use a sinusoidal vibration of frequency f = 95 Hz

and amplitude A, with relative acceleration to gravity

= 2⇡A f

2

/g = 2.4. We also use plain

rotationally-invariant disks (same metal, diameter, and height),

here-after called the “isotropic” (iso) disks. A chain – the

type of chain used to attach bathtub drain stoppers – is

formed of J + 1 beads of diameter , connected by J rigid

links, with a center to center distance between two beads

`. The joint between a bead and a link is torque free, but

the angle between successive links can not exceed ⌘

_max

radians. The chain is fixed at its ends, dividing the arena

diametrically. The total length of the chain L0 = J` is

longer than the end-to-end distance of the chain, the

arena diameter D = 251.1 mm. In the following we use

two chains, the geometrical properties of which are

sum-marized in table 1. The instantaneous position of the

beads along the chain is captured using a CCD camera

at a frame rate of 1 Hz during 60 min, after an

equilibra-tion time of 30 min. In the following, the unit of time is

set to be the inverse frame rate and the unit length is the

particle diameter d.

The chain vibrates and explores all configurations

com-patible with the constraint on the angles between

suc-cessive links ⌘

j

 ⌘max. The positions of the successive

beads, averaged over 3600 samples, separated by 5700

vi-bration cycles, define a line of length L

_{e f f}

, which we shall

call the (e↵ective) membrane. In the absence of particles, it

aligns along the diameter of the arena and L

_{e f f}

= D. As

soon as a few hundred particles, whether isotropic or

po-lar, are introduced on one side of the chain, the symmetry

is broken. Apart from a boundary layer of one or two

J (mm) ` (mm) ⌘max L0(mm) chain-1 91 2.33 3.10 ⇡/8 282.10 chain-2 147 1.44 1.92 ⇡/8 282.24 TABLE I: Geometric parameters of the chains

(a) F R 2θ D L_eff F (c) 0.8 0.9 1 10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10² <L>/L 0 l F (b) D y x j j 2 node j link j = 1 J 1 J no de link 1 2 J J 1 0 2 1 2 J-1 J-1

FIG. 2: Membrane barometer. (a) Instantaneous configura-tions of chain-1 separating the system into two compartment, one filled with 640 isotropic particles, and the second left empty. The blue curve is the e↵ective membrane of length Le f f, which takes the form of an arc-circle of radius R. (b) Sketch of the simplified chain model: rigid links are connected by torque free joints. The angle between two successive links is bounded to ⌘max. (c) E↵ective elasticity : tension F = `F in a model chain as a function of its normalized averaged length hLi /L0

for chain-1 (blue) and chain-2 (red); the vertical dotted lines indicate D/L0

links at the extremities, the membrane takes the shape

of an arc-circle, with constant radius of curvature R and

length Le f f 2 [D L0]. The angles between the successive

links composing the membrane are all smaller than ⌘max

[Fig. 2(a)]. Hence the membrane does not support any

torque; the tension F in the membrane is constant; and

the mechanical pressure ⇧ is homogeneous. Mechanical

equilibrium then leads to:

⇧⇥ D = 2F sin Le f f

2R

!

, (1)

Together with the purely geometric relation:

D

2R ^{= sin}

L

_{e f f}

2R

!

, (2)

one finds that the the mechanical pressure obeys the

Laplace’s law, ⇧ = F/R, which describes the pressure

di↵erence across an interface between two fluids [24].

To proceed further, we compute the e↵ective elasticity

of the membrane, which relates its e↵ective length L

_{e f f}

to its tension F, assuming that it obeys an equilibrium

dynamics. To do so, we consider a model chain

com-posed of J beads, and compute its average end to end

distance hLi under an imposed tension F. We proceed

in two steps. First, one extremity being fixed, the other

Figure 6.5 – Chaîne effective. (a) : Membrane effective sous tension (F = k ~^{F k)} et soumise à la pression Π des disques. (b) : Schéma du polymère. Les positions des maillons sont repérées par les angles θ et l’orientation de deux maillons successifs est noté η. (c) : Loi de comportement. Tension adimensionnée βlF en fonction de la longueur moyenne de la chaîne hLi rapportée à sa longueur maximale L₀, pour les deux types de chaînes. Les traits en pointillés indiquent la valeur D/L₀ pour chacune des deux chaînes.

6.3. MESURE DE LA PRESSION 183 extrémités par une tension de module F . La membrane effective a une courbure unique et constante, caractérisée par son rayon de courbure R, et un angle 2θ. D’après le schéma de la figure (6.5-a), on suppose une pression linéique homogène Π et une tension radiale de norme constante F . L’équilibre mécanique donne :

Π × D = 2F sin

L_eff

2R



= 2F sin (θ) (6.5) avec D le diamètre de l’arène et L_eff la longueur de la membrane effective. Par ailleurs, un calcul de géométrie donne l’équation :

D

2R ^{= sin (θ) (6.6)} avec R, le rayon de courbure de la membrane effective et Ł_eff = 2Rθ. Ensemble, les équations (6.5 et 6.6) donnent :

Π = ^F

R ^(6.7)

La question qui se pose à présent est la valeur de la tension F . En estimant la loi de comportement mécanique de la chaîne, donc son élasticité, nous obtiendrons une relation directe entre la tension F et la longueur de la membrane effective. Par une lecture inverse, connaissant L_eff nous estimerons la valeur de la tension nécessaire pour obtenir une telle longueur.

6.3.2 Modèle de polymère à l’équilibre soumis à une force

On définit le polymère (voir figure( 6.5-b)) le plus fidèlement possible par rapport à la chaîne : son nombre de maillons, les distances et les orientations entre deux maillons successifs (on adaptera ses caractéristiques en fonction de la chaîne que l’on utilise) sont pris identiques aux chaînes de l’expérience. Le polymère est supposé être à l’équilibre thermodynamique plongé dans un bain à la température β⁻¹. L’une de ses extrémités est fixée, tandis que l’autre est soumise à une force dans la direction radiale de norme F . Via ce modèle, nous souhaitons estimer l’élasticité de la chaîne (Réf. [56, 41])

La longueur de la chaîne s’écrit :

L = l  ( J X j=1 cos (θ_j))²+ ( J X j=1 sin (θ_j))²   (6.8) avec θj =Pj

i=1ηi. A l’équilibre canonique on définit d’abord sa fonction de partition

Z(βlF, J ) Z₀(J ) ⁼

Z J

0

où J est constant, et Z₀(J ) = (2η_max)J est le nombre total de configurations lorsque

β → 0. La moyenne d’équilibre de sa longueur s’obtient par l’équation :

hLi = ¹

Z(βlF, J )

Z J

0

ρ(L, J )L exp (−βLF )dL (6.10)

ce qui peut s’écrire comme

hLi = ¹ β " ∂ ∂F^ln(Z) # J . (6.11) Finalement, nous obtenons une relation directe entre la longueur moyenne du poly-mère hLi et la norme F de la tension.

On souhaite calculer la fonction de partition Z = R

ρ(L) exp (−βlF )dL. Pour ce

faire, on évalue d’abord la densité d’état ρ(L) de chaîne de longueur L, attachée à une extrémité et à l’autre extrémité libre de fluctuer à la température T (soumise à aucune force). Le calcul de ρ(L) se fait en Monte-Carlo où l’on réalise 5.109

tirages de conformations de polymères dont une extrémité est fixe et l’autre est libre (semi-libre). Les angles fixant l’orientation entre deux monomères successifs sont pris uniformément distribués dans l’intervalle [−η_max, η_max], avec un bin de δη = 10⁻³ rad. Nous avons tiré autant de configurations pour augmenter la statistique

d’observations d’états où le tirage de polymères tendus est rare. En effet, la longueur effective de la membrane effective L_eff est comprise entre le diamètre D de l’arène et sa valeur maximale L_max. Ainsi les tailles que l’on espère tirer correspondent à des états où le polymère est assez tendu.

A l’issue de ces simulations on obtient la distribution ρ(L) de longueur de polymère semi-libre. On la multiplie ensuite par le poids de Boltzmann correspondant au cas où la chaîne serait tirée, puis on intègre sur L. En découle alors le calcul de la moyenne thermodynamique hLi (F ). On représente sur la figure (6.5-c) la loi de comportement mécanique βlF = βlF hLi

D

!

du polymère, soumis à une tension de norme F adimensionnée. L’inversion de cette loi de comportement nous permet de déterminer la tension adimensionnée βlF exercée dans la membrane effective de lon-gueur L_{ef f}. En découle la pression adimensionnée Π^∗, Π^∗ = βΠa = ^a

lRF (^Leff

D ^{), où} a = πd2/4 est l’aire d’une particule. Enfin remarquons que les lois de comportement

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