Figure 6.2 – Pression mécanique exercée par des particules actives sur une
membrane flexible. Vue d’artiste de l’expérience. Les disques polaires actifs sont
confinés dans un contenant dont l’une des parois est une membrane élastique. Nous mesurons la pression qu’exercent les disques sur la membrane élastique. Extrait de la réf. [2].
pour les ISO ou les SPP dépendent explicitement de la nature de la chaîne, alors nous pourrons en conclure que des effets de surface interviennent dans la pression mécanique qu’exercent les disques sur la chaîne et donc que la pression mécanique n’est pas une bonne variable d’état.
Nous commencerons par expliquer les principes des différentes expériences réalisées, puis nous détaillerons l’analyse d’images propres à ces expériences. Nous présente-rons ensuite le modèle pour inférer la pression, enfin nous passeprésente-rons à l’étude de nos résultats.
6.2 Méthode expérimentale
Nous avons travaillé avec la couronne en forme de fleur. Nous l’avons découpée en deux hémisphères égaux, avant de placer une chaîne entre ces deux hémisphères, pour les séparer en deux volumes égaux. Deux chaînes différentes par leur forme géométrique (même longueur, mais nombre de billes différent) ont été utilisées. Nous avons répété avec chacune les mêmes types d’expériences. Par ailleurs, pour l’ensemble des expériences, le système expérimental a été calibré en deux temps : d’abord en s’assurant de la répartition homogène des disques dans l’arène, puis en retirant les disques et en y faisant vibrer uniquement l’une ou l’autre chaîne en s’assurant qu’elles fluctuent autour du diamètre de l’arène.
Γ = 2.4 et à une fréquence de 95 Hz. Le temps de l’expérience a été choisi de façon à concilier un temps qui évite au vibreur de chauffer excessivement tout en nous permettant d’enregistrer suffisamment de configurations indépendantes pour échantillonner le plus largement possible l’espace des configurations de la chaîne. Concernant le vibreur, nous nous étions rendus compte qu’il avait pu atteindre des températures de l’ordre de 70 degrés Celcius avant d’entamer ces expériences. Une climatisation avait donc été positionnée à son niveau pour le maintenir à des tem-pératures raisonnables. La durée de l’expérience a été fixée à 1h30, soit 30 minutes d’équilibration suivie d’une heure d’enregistrement au rythme d’une image par se-conde. Nous disposions donc d’un ensemble de 3 600 images pour chaque expérience. Bien entendu, à cette fréquence d’acquisition, il n’est évidemment pas possible de suivre les particules.
6.2.1 Paramètres des expériences
Nous avons réalisé deux types d’expériences :
1. Le premier type d’expériences consiste à établir la courbe de la pression pour une chaîne donnée en fonction de la fraction surfacique Φ pour chacune des deux espèces de disques. Pour cela nous mettons un nombre fini de disques (N1, soit des ISO ou des SPP) dans le compartiment gauche tout en main-tenant vide le compartiment de droite (N2 = 0). Les nombres d’ISO et de SPP que nous avons pris pour établir ces courbes de pression pour chacune des deux chaînes sont résumés dans le tableau (6.1).
2. A partir des courbes de pression obtenues à l’issue des expériences précé-dentes, le deuxième type d’expériences consiste à vérifier, si dans le cas où nous mesurons la même valeur de pression pour chacun des deux types de disques (P (NISO) = P (NSP P), avec a priori NISO 6= NSP P) nous avons une chaîne qui fluctue peu autour du diamètre lorsque nous mettons un nombre
NISO à gauche et NSP P à droite. Autrement dit, la pression est-elle identique entre les deux compartiments ?
N1,ISO 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
N2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
N1,SP P 0 10 25 50 75 100 150 200 300 400
N2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Table 6.1 – Expériences de mesure de la pression mécanique. Haut : Nombre de disques ISO mis dans le compartiment de gauche. Bas : Nombre de disques SPP mis dans le compartiment de gauche.
6.2. MÉTHODE EXPÉRIMENTALE 179
6.2.2 Mécanique des chaînes utilisées
Les deux chaînes sont de même nature mécanique, et de manière triviale nous dirions qu’elles sont semblables à celles que l’on utilise pour accrocher les bouchons pour fermer des éviers (voir figure (6.3)). Les chaînes sont constituées d’une succession de billes et de tiges métalliques. La liaison entre une tige et une bille est une rotule que nous considérons parfaite. Elle ne transmet pas de moment et seule une tension se propage le long des tiges. Autrement dit, les chaînes peuvent uniquement s’étirer et ne peuvent pas se vriller. L’angle entre deux maillons successifs est limité, ce qui donne à la chaîne une limite de courbure maximale. Enfin, la distance entre deux billes n’est pas tout à fait constante. En effet, tout le monde peut en faire l’expérience, il est possible de rapprocher deux billes successives. Cependant, dans le cadre de notre étude, la chaîne étant presque toujours en tension, la distance entre les maillons est proche de la distance maximale dans toutes les configurations explorées et nous l’avons donc considérée constante.
Les caractéristiques géométriques des deux chaînes utilisées sont présentées dans le tableau (6.2).
Figure 6.3 – Photo des deux chaînes utilisées. A gauche : chaîne utilisée lors des premières expériences. A droite : lors de la seconde expérience.
J σ (mm) l (mm) ηmax L0 (mm) chaîne 1 91 2.33 3.10 π/8 282.10 chaîne 2 147 1.44 1.92 π/8 282.24
Table 6.2 – Caractéristiques des deux chaînes utilisées. J le nombre de maillons. l la longueur d’un maillon (distance centre à centre de deux billes consé-cutives). σ le diamètre des billes. L0 = J l la longueur totale (L0 6= D, avec D le diamètre de l’arène). ηmaxl’angle maximal en valeur absolue que font deux maillons successifs.
6.2.3 Analyses des images
Le but est de détecter la position des billes qui composent la chaîne dans l’image. La détection se fait en deux étapes :
1. La première étape consiste à détecter la position des billes. On distingue les deux billes positionnées aux deux extrémités par lesquelles la chaîne est attachée à la couronne, et les autres. La chaîne est fixée à deux sommets de l’arène diamétralement opposés que nous avons repérés par des triangles blancs pour une détection facile (voir figure (6.4)). Les autres billes sont détectées en utilisant la fonction imfindcirlces de Matlab. A l’issue de cette étape nous recueillons la position des billes des extrémités et une multitude de positions de points (voir figure (6.4-b)) qui ne correspondent pas tous à celles des billes recherchées. Ceci est dû au fait que nous ne sommes pas capables de trouver des paramètres suffisamment restrictifs dans la fonction
imfindcirlces pour ne détecter que les billes. Ainsi, la deuxième étape consiste
à trier les positions, à ordonner celles correspondantes aux billes les unes par rapport aux autres.
Par convention nous fixons le centre du point d’attache de la chaîne à son extrémité gauche en position 1 du vecteur chaîne construit au cours de ce processus. Le tri commence par ne considérer que les points dont l’abscisse est supérieure à celle de l’extrémité gauche. Nous parcourons ceux-ci à tra-vers une boucle.
2. A l’intérieur de la boucle, nous incrémentons les positions du vecteur chaîne en nous basant sur deux critères de distances et d’orientations que doivent respecter deux billes successives. Nous commençons par chercher la position du second maillon parmi la liste des points triés dans le sens de la gauche vers la droite de la chaîne. Le premier point de la liste qui vérifiera ces deux critères sera sélectionné comme le second maillon. Nous réitérons de la même manière pour construire le vecteur chaîne, en ajustant les valeurs des critères de distances et d’orientations car ces derniers ne sont pas les mêmes entre le
6.2. MÉTHODE EXPÉRIMENTALE 181 maillon d’attache et le second. A l’issue de cette boucle, nous obtenons le vec-teur chaîne auquel on ajoute à la position finale des coordonnées du maillon de son extrémité droite, en testant de nouveau si les critères de distances et d’orientations sont vérifiés entre les coordonnées des points du dernier vecteur et de l’extrémité droite. Dans la mesure où une multitude de points, autres que ceux correspondant aux disques sont détectés, nous conservons uniquement les vecteurs chaîne ayant une taille correspondant à la chaîne. En moyenne sur 3600 images par expérience et a posteriori la probabilité de détecter correctement l’ensemble des maillons de la chaîne est d’environ de 60%.
Nous disposons donc à chaque pas de temps des coordonnées de l’ensemble des maillons de la chaîne, c(t) = (xi(t), yi(t)). On définit la membrane effective des maillons qui occuperaient les positions moyennes en temps (hxi(t)it, hyi(t)it)
(a) (b)
Figure 6.4 – Analyse d’images. Les cercles rouges sont tous les cercles détectés avec la fonction imfindcircles. Les croix bleues correspondent aux positions des billes de la chaîne. (a) : Détection de la chaîne entière. (b) : zoom sur une des extrémités. Le maillon de l’extrémité droite correspond au centre du triangle blanc. On y voit en particulier une multitude de disques détectés.