Maxima Lines et lignes de Canny

D’abord, notons que si la continuit´e des ML de l’ondelette ∆Gest assur´ee th´eoriquement (comme cons´equence du principe du maximum), le r´esultat est moins ´evident pour les LC. La stabilit´e de la direction du gradient joue un rˆole cl´e : nous avons remarqu´e auparavant qu’`a mesure que l’´echelle augmente, le gradient ne reste pas n´ecessairement dans la mˆeme direction ; mais tend `a se stabiliser assez rapidement.

5.4 Synth`ese sur les lignes de maxima en 2D 81 20 40 60 80 100 120 20 40 60 80 100 120 20 40 60 80 100 120 20 40 60 80 100 120 20 40 60 80 100 120 20 40 60 80 100 120 (A) (B) (C) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 Echelle s Reponse 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 Echelle s Reponse (B’) (C’)

Fig.5.8 – (A) Image repr´esentant un carr´e ; (B) ML associ´ees (les ML partent toutes des bords du carr´e, certaines d´erivent vers l’int´erieur, d’autres vers l’ext´erieur) ; (C) LC associ´ees ; (B’) Evolution de la r´eponse le long d’une ML ; (C’) Evolution de la r´eponse le long d’une LC.

Du point de vue pratique, pour la construction des LC, il est ais´e de chaˆıner les MC d’une ´echelle `a une autre ; pour les ML, le chaˆınage des MM d’une ´echelle `a une autre est parfois plus d´elicat, ´etant donn´e qu’il peut exister une grande d´erive spatiale entre deux ´echelles successives. Par ailleurs, il est int´eressant de remarquer que dans le cas des ML, l’op´erateur est bas´e sur les d´eriv´ees secondes (ondelette ∆G) tandis que dans le cas des LC, il est bas´e sur des d´eriv´ees premi`eres (ondelette gradient). Ceci explique notamment que les ML et les LC ont des comportements assez diff´erents `a mesure que l’´echelle augmente.

Afin de mieux cerner cette diff´erence, nous comparons ces deux types de lignes sur l’exemple simple du carr´e (Fig. 5.8 (A)). Le fait que les LC soient stables spatialement s’explique par le fait que les contours les plus significatifs sont visibles `a toutes les ´echelles. Quant aux ML, leur d´erive peut ˆetre exploit´ee pour mettre en ´evidence la structure globale du carr´e. Plus pr´ecis´ement, aux fines ´echelles, les ML sont reli´ees aux bords du carr´e, puis d´erivent (vers l’ext´erieur ou l’int´erieur du carr´e). Nous remarquons alors qu’`a de plus grandes ´echelles, les ML d´erivant vers l’int´erieur sont reli´ees au carr´e : il y a jonction de ML. En outre, nous pou-vons comparer l’´evolution de la r´eponse associ´ee `a ces lignes en fonction de l’´echelle s(|W f| pour les ML,M f pour les LC).

En ce qui concerne les ML, les r´eponses associ´ees aux ML int´erieures correspondent toutes `

maxi-82 Construction des lignes de maxima 5.4

mum local. Nous relevons alors que la localisation associ´ee correspond au centre du carr´e, tandis que l’´echelle associ´ee est proportionnelle `a la taille de l’objet (ce qui est conforme `a la th´eorie de Scale-Space, ´etant donn´e que nous utilisons une TOC normalis´ee L¹, cf. chap.4). En ce qui concerne les LC associ´ees `a l’exemple du carr´e, la r´eponse le long d’une LC admet ´egalement un maximum local, et l’´echelle associ´ee est alors identique `a celle issue des ML (Fig. 5.8 (C’)). Ainsi, les LC se focalisent sur les contours de l’objet (bords du carr´e), tandis que les ML, par la jonction de ML int´erieures, mettent en ´evidence l’objet entier (le carr´e). De plus, certaines ´echelles apparaissent comme remarquables : celles pour lesquelles la r´eponse atteint un maximum local le long d’une ligne de maxima. Nous pr´ecisons cela maintenant.

Objets pr´esents dans l’image – Caract´eristiques associ´ees

Distinguons deux applications des lignes de maxima : d’une part la d´etection de certaines structures (1D ou 2D), et d’autre part leur caract´erisation (calcul de grandeurs caract´eristiques des structures). Nous avons vu en 5.4.3 que les lignes de maxima permettent de d´etecter de telles entit´es : des structures 1D (contours) par les LC (Fig. 5.8 (B)) et des structures 2D par les ML (Fig. 5.8 (C)). D’une part, les LC permettent de d´etecter des points de contours, le nombre d’´echelles travers´ees (persistance de la ligne) indiquant le caract`ere plus ou moins marqu´e du contour dans l’image. Une localisation pr´ecise de ceux-ci est donn´ee par les extr´emit´es des lignes (aux ´echelles fines), et les LC donnent une estimation de la r´egularit´e Lipschitzienne en ces points de contours. D’autre part, les ML permettent de d´etecter des objets (crit`ere de jonction) et d’extraire certaines caract´eristiques de l’objet : une localisation et une ´echelle qui correspondent `a sa taille (notion d’´echelle caract´eristique), ainsi que la r´egularit´e Lipschitzienne associ´ee aux extr´emit´es des ML, lesquelles sont situ´ees pr`es des fronti`eres de l’objet.

Il importe de remarquer que si une structure 2D peut ˆetre d´elimit´ee par des contours (comme pour le carr´e), ce n’est pas toujours le cas, comme par exemple pour une surface Gaussienne bidimensionnelle. Par ailleurs, ´etant donn´e une structure 1D, il n’est pas ´evident de d´efinir si elle appartient `a tel ou tel objet 2D, comme par exemple pour une ligne isol´ee. Cependant, dans le cas o`u les structures 2D sont d´elimit´ees (au moins partiellement) par des singularit´es, la notion de jonction de ML permet d’associer ces singularit´es `a des objets. De surcroˆıt, ces singularit´es peuvent ˆetre ´egalement d´etect´ees comme des points de contours par les LC. Une fois cette association effectu´ee entre singularit´es, objets et points de contours, nous pouvons alors comparer les grandeurs caract´eristiques associ´ees `a ces lignes.

Les ´echelles correspondant `a un maximum local de la r´eponse le long d’une ligne de maxima sont remarquables, au sens o`u elles correspondent `a la taille d’une certaine r´egion. Dans le cas des ML, une telle ´echelle est proportionnelle `a la taille d’un objet, tandis que dans le cas des LC, celle-ci correspond `a une certaine zone d’influence, o`u le contour associ´e pr´edomine dans l’image. Par exemple, dans le cas du carr´e, en notantlla longueur d’une arˆete,s_{M L}une ´echelle