(4.16)
4.2 Approche classique pour la d´etection de caract´eristiques
locales
Nous donnons ici des exemples de d´etecteurs de caract´eristiques locales propos´es par Lindeberg [77]. La d´emarche adopt´ee consiste g´en´eralement `a poser d’abord un op´erateur adapt´e `a la caract´eristique, puis `a ´ecrire sa versionγ-normalis´ee ; enfin un crit`ere d´etermine si telle caract´eristique est pr´esente en tel point du Scale-Space.
4.2.1 Op´erateurs en Vision par Ordinateur
Nous avons pr´esent´e auparavant (chap.3) comment d´etecter les maxima au sens de Canny, qui permettent de mettre en ´evidence des points de contours. Ce qui est pr´esent´e ici correspond `
a un raffinement, de mani`ere `a extraire des caract´eristiques plus pr´ecises (bord, ligne, coin) [76,
77]. Nous verrons ult´erieurement (chap.6) que ceci contraste avec l’approche multi´echelles de Canny (formul´ee par ondelettes), qui permet de d´etecter simultan´ement ces caract´eristiques, et ´egalement d’identifier pr´ecis´ement chaque type de caract´eristique (calcul de la r´egularit´e Lipschitzienne).
Dans ce qui suit, nous utilisons parfois comme bases locales : – (u, v), o`u v correspond `a la direction du gradient ;
– (p, q), correspondant aux directions associ´ees aux vecteurs propres de la matrice Hes-sienne (pcorrespondant `a la plus grande valeur propre).
Notons que (u, v) correspond `a des d´eriv´ees du premier ordre (gradient) tandis que (p, q) `a des d´eriv´ees du second ordre (courbure). Dans ces bases, les d´eriv´ees consid´er´ees sont prises par rapport `a ces coordonn´ees locales, ce qui conduit `a des expressions telles queLu=∂uL. D´etection de bords (edges) [77]
En un point correspondant `a un bord (Fig.4.2(B)), la magnitude du gradient est locale-ment maximale dans sa direction. Ceci conduit `a l’op´erateur
EL=L2v (4.17) dont la version γ-normalis´ee est : EnormL=tγE.
Un crit`ere permettant de d´eterminer si un point du Scale-Space correspond `a un bord est alors donn´e par :
(
∂t(EnormL)(x, y, t) = 0 et ∂tt(EnormL)(x, y, t)<0 Maximum local en ´echelle
4.2 Approche classique pour la d´etection de caract´eristiques locales 55 u(=p) v(=q) u v p q (A) (B)
Fig. 4.2 – Exemples de bases locales (u, v) (associ´ee au gradient) et (p, q) (associ´ee `a la matrice Hessienne) sur une image dont l’intensit´e est la somme d’un parabolo¨ıde et d’un bord pour (A), d’une ligne pour (B) (l´eg`erement liss´ee pour assurer l’existence des d´eriv´ees).
D´etection de lignes (ridges) [77]
En un point appartenant `a une ligne d’une image (ligne trac´ee dans une r´egion o`u le niveau de gris est une fonction r´eguli`ere, Fig. 4.2(B)), l’intensit´e admet un maximum local suivant la direction de courbure principale et un minimum local suivant la direction orthogonale. Ceci conduit `a l’op´erateur suivant :
RL= (Lpp−Lqq)2 (4.18) et l’op´erateur γ-normalis´e associ´e est : Rnorm =t2γR.
Afin de caract´eriser dans le Scale-Space, un tel point de ligne, il est alors possible d’utiliser le crit`ere suivant :
(
∂t(RnormL)(x, y, t) = 0 et ∂tt(RnormL)(x, y, t)<0 Maximum local en ´echelle
Lp(x, y, t) = 0 et Lpp(x, y, t)<0 Maximum dans la direction d´efinie parp
D´etection de coins (corners) [77]
Afin d’identifier les coins, il a ´et´e propos´e d’utiliser le produit de la courbure κ multipli´e par la magnitude du gradient Lv ´elev´e `a une certaine puissance (3 par exemple) [63]. Le premier terme κ correspond v´eritablement aux coins tandis que le deuxi`eme ´evite des coins peu marqu´es (il ne change pas la localisation des points, tout en am´eliorant la qualit´e du d´etecteur, puisqu’il ´evite des divisions, sources d’instabilit´es num´eriques). Ceci conduit alors `
a l’op´erateur suivant
e
κL=L3vκ=L2vLuu (4.19) Alors l’op´erateurγ-normalis´e correspondant est :eκnormL=t2γL2vLuu, et le crit`ere associ´e est (κenormL)2 localement maximum en espace et en ´echelle.
56 Th´eorie du Scale-Space 4.2
D´etection de structures type blob [77]
Les structures de type ”blob” sont d´efinies comme les lieux du Scale-Space o`u le module du Laplacien normalis´etγLest localement maximum (en ´echelle et en espace). Cet op´erateur s’´ecrit ´egalement comme
trace(Hnorm) = tγ(Lxx+Lyy) =tγ∇2L=tγ∆L (4.20)
Notons que ce n’est qu’a posteriori que le lien peut ˆetre fait entre un maximum dans le Scale-Space (x∗, y∗, s∗) et la r´egion d’int´erˆet associ´ee – disque centr´e en (x∗, y∗), de rayon (s∗). Ainsi, le termeblobest utilis´e comme d´enominateur pour un ensemble de structures telles qu’une surface Gaussienne (non n´ecessairement isotrope), une surface associ´ee `a la fonction indicatrice d’une ellipse, ou plus g´en´eralement un objet d´elimit´e par certaines singularit´es et ne pr´esentant pas de contours internes. Nous verrons plus loin que les Maxima Lines permettent de mieux appr´ehender la forme de cette structure [30].
Remarque: pour la d´etection de telsblobs, il est possible d’utiliser ´egalement l’op´erateur det(Hnorm) = t2γ(LxxLyy−L2xy). Cela se justifie de la mani`ere suivante : vu queHnorm est une matrice sym´etrique d´efinie positive, elle est diagonalisable dans une base orthonorm´ee, et ainsi :
Hnorm =P−1AP =PTAP , o`u A= α 0 0 β
!
(α, β >0)
de sorte que trace(Hnorm) = α+β et det(Hnorm) = αβ. Notons que si α et β sont forts en module, |trace(Hnorm)| et |det(Hnorm)| le sont simultan´ement (n´eanmoins, ce n’est pas toujours le cas, par exemple siα est fort etβ faible).
Ainsi, les structures de typeblobsont d´etect´ees par s´election des maxima de trace(Hnorm) ou det(Hnorm), en espace et en ´echelle. De plus, pour γ = 1, il y a invariance `a l’´echelle, au sens o`u si deux structures (type blob, au contenu identique) apparaissent `a des ´echelles diff´erentes, elles conduiront `a la mˆeme r´eponse de l’op´erateur.
Facteurs deγ-normalisation conduisant `a l’invariance `a l’´echelle
Les op´erateurs pr´ec´edemment d´efinis existent pour tout γ >0. Si maintenant nous sou-haitons obtenir l’invariance `a l’´echelle, i.e., que deux caract´eristiques – au contenu identique, apparaissant `a des ´echelles diff´erentes – soient trait´ees de la mˆeme mani`ere (mˆeme amplitude de la r´eponse de l’op´erateur), il importe de fixer une valeur appropri´ee `aγ, laquelle est variable suivant l’op´erateur utilis´e (cf. tableau4.1[76]). Cette valeur est calcul´ee d’apr`es le mod`ele de structure `a d´etecter (bord, ligne, blob, ...), comme nous l’avons vu pour la fonction sin(ω·) (section4.1.2).
4.2 Approche classique pour la d´etection de caract´eristiques locales 57
Tab.4.1 – Caract´eristiques `a extraire, exemple d’op´erateur adapt´e, et valeur deγpour laquelle il y a invariance `a l’´echelle.
Caract´eristique d´etect´ee Entit´e diff´erentielle γ-valeur Bord tγ/2Lv 1/2 Ligne t2γ(Lpp−Lqq)2 3/4 Coin t2γL2vLuu 1 Blob tγ(Lxx+Lyy) 1
4.2.2 Principe de s´election automatique d’´echelle
L’int´erˆet d’utiliser des op´erateurs multi´echelles est qu’ils permettent de mettre en valeur certaines ´echelles particuli`eres, et suivant l’approche utilis´ee, celles-ci peuvent ˆetre caract´eris-tiques de certaines structures de l’image. Nous pr´esentons ici l’approche classique de s´election d’´echelle, fond´ee sur des maxima dans le Scale-Space [77,99].
Etant donn´e un op´erateur Γ correctement normalis´e (au sens de l’invariance `a l’´echelle) et une repr´esentation espace-´echelle L, nous consid´erons les maxima locaux de |ΓL|, `a la fois en espace et en ´echelle [72,77] :
D´efinition 30. (Maxima dans le Scale-Space)
M axI={(x∗, y∗, s∗)/|ΓL|:R3 −→Rlocalement maximum.} (4.21)
Dans un cadre 2D discret, l’espace-´echelle est de dimension 3 et cela revient `a comparer chaque point avec ses 26 voisins. L’int´erˆet de ces maxima est qu’ils correspondent `a des struc-tures importantes dans l’image, et qu’ils sont robustes ou invariants par certaines transforma-tions sur l’image. Un maximum dans le Scale-Space est donn´e par (x∗, y∗, s∗,|ΓL(x∗, y∗, s∗)|) :
– (x∗, y∗) : position,
– s∗ : ´echelle caract´eristique, – |ΓL(x∗, y∗, s∗)|: r´eponse associ´ee.
Un tel maximum peut ˆetre associ´e `a une r´egion d’int´erˆet d´efinie comme le disque centr´e en (x∗, y∗) de rayon s∗. Cette notion de r´egion d’int´erˆet sera d´etaill´ee au chapitre7, o`u nous verrons en particulier que le lien entre l’existence d’un tel maximum et un objet (structure pr´esente dans l’image) soul`eve certaines difficult´es.
58 Th´eorie du Scale-Space 4.3