Interpolation de donn´ees dispers´ees
Rappelons que dans le cadre o`u des valeurs (zi)1≤i≤n `a interpoler sont associ´ees `a une grille r´eguli`ere (xi, yj)1≤i,j≤n, il est courant d’utiliser une interpolation en produit tensoriel. Ainsi, le probl`eme de dimension deux se ram`ene `a la dimension un, de sorte que le calcul correspondant peut ˆetre effectu´e rapidement. Dans le cadre de l’EMD, les extrema du signal bidimensionnel sont r´epartis de mani`ere quelconque, et ainsi le calcul des enveloppes rentre dans le cadre de l’interpolation de donn´ees dispers´ees (scattered data interpolation). Ceci conduit au probl`eme d’interpolation suivant :
(P)
Trouverf :R2−→R telle que∀k∈ {1...N}, f(xk, yk) =zk.C.3.1 Utilisation de fonctions `a base radiale
Les fonctions `a base radiale constituent un outil int´eressant pour le probl`eme d’interpola-tion de donn´ees dispers´ees [13,44,91,123]. Nous recherchons une fonctionf sous la forme :
f(x, y) =
N X i=1
wi ϕ(|(x, y)−(xi, yi)|2) (C.4) o`u (wi)1≤i≤N sont les poids (inconnues du probl`eme), et ϕ est une fonction d’une variable appel´ee fonction `a base radiale,Radial Basis Function (RBF). Diff´erents choix sont possibles pour la fonction ϕ, comme par exemple ϕ(r) = exp(−cr2), ϕ(r) = √
r2+c2, c > 0, ou celle
que nous utilisons ici :
C.3 Calcul des enveloppes 157
qui est l’´equivalent en dimension deux de la spline cubique. L’int´erˆet d’utiliser une telle RBF est qu’elle minimise une certaine ´energie, d´efinie comme
E(f) = Z R2 ∂x2f2 + 2 (∂x∂yf)2+ ∂y2f2 dxdy (C.6) Ce choix implique que la fonctionf donn´ee par (C.4) est aussi aplatie que possible tout en respectant la contrainte d’interpolation. Alors la r´esolution du probl`eme (P) s’effectue par inversion d’un syst`eme lin´eaire, qui permet d’obtenir les poids (wi)1≤i≤N. La solutionf peut alors ˆetre repr´esent´ee comme une surface bidimensionnellez=f(x, y) (Fig.C.3). Notons enfin que dans cette approche par RBF, il est possible de relaxer la contrainte d’interpolation, ce qui conduit `a rechercher une fonction f minimisant :
(1−λ) N X
i=1
(yi−f(xi))2+λE(f) (C.7) o`uλ∈[0,1] quantifie l’influence de ce terme d’´energie (λ= 0 : r´egression aux moindres carr´es,
λ= 1 : interpolation par TPS). 2 4 6 8 10 12 14 16 4 6 8 10 12 14 10 20 30 40 50 60 70 80 2 4 6 8 10 12 14 16 2 4 6 8 10 12 14 16 10 20 30 40 50 60 70 (A) (B)
Fig. C.3 – Surfaces obtenues par des m´ethodes d’interpolation de donn´ees dispers´ees : (A)
Thin-Plate Spline, (B) `a partir d’une triangulation.
C.3.2 Interpolation bas´ee sur une triangulation
Afin de simplifier le probl`eme d’interpolation, il est possible de le traiter en deux ´etapes : 1. Triangulation des points (xk, yk)1≤k≤N,
2. Interpolation sur chacun des triangles.
En ce qui concerne la triangulation, un choix usuel est celle de Delaunay, qui permet de d´ecomposer un domaine en un ensemble de triangles. Rappelons que cette triangulation est unique, et que la construction de cette triangulation est r´ealisable par la construction de son dual, le diagramme de Vorono¨ı (Fig. C.4). D’autres types de triangulations ont ´et´e propos´ees
158 Quelques aspects de l’EMD C.3
afin de prendre en compte la g´eom´etrie de l’image [37,38,51,71], mais nous privil´egions ici celle de Delaunay, laquelle peut ˆetre calcul´ee d’apr`es un algorithme rapide. Dans le cadre de l’EMD 2D, ceci est int´eressant vu le nombre d’enveloppes `a calculer.
En ce qui concerne la m´ethode d’interpolation, les fonctions s’appuyant sur les triangles pr´ec´edents sont g´en´eralement simples. L’interpolation utilis´ee ici est similaire `a unpchipen 1D : la surface obtenue estC2 `a l’int´erieur des triangles, les raccords soient C1 sur chaque arˆete de la triangulation (Fig.C.3). 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 (xk,yk) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 (xk,yk) (A) (B)
Fig. C.4 – (A) Diagramme de Vorono¨ı; (B) Triangulation de Delaunay.
(A) (B)
Fig. C.5 – (A) Sym´etrisation des points `a interpoler ; (B) Triangulation de Delaunay corres-pondante (le trac´e en pointill´es correspond au domaine initial).
C.3.3 Conditions aux bords
Dans l’optique de d´efinir des enveloppes satisfaisantes, il importe de g´erer les conditions aux bords de l’image. Ceci est valable autant dans le cadre d’une interpolation par RBF que pour une surface s’appuyant bas´ee sur une triangulation. Si aucune contrainte n’est impos´ee, cela conduit `a des enveloppes explosant au bord. Inversement, si les contraintes sont trop fortes, cela cr´ee artificiellement des structures au bord qui, du fait des propri´et´es de la m´ethode d’interpolation (raccordsC1 ou poids associ´es au RBF), se r´epercutent sur toute l’image. Ceci
C.3 Calcul des enveloppes 159
est valable si, par exemple, nous imposons certaines valeurs pr´ed´etermin´ees aux quatre coins de l’image ou le long du bord. Une premi`ere option consiste `a sym´etriser les donn´ees `a interpoler, par rapport `a chacun des bords et des coins : pour une image initiale de taille n1×n2, ceci conduit `a un domaine de taille 9n1×n2, d’o`u un surcoˆut algorithmique ´elev´e. Une deuxi`eme option que nous proposons consiste `a ne sym´etriser qu’une partie du domaine (Fig.C.5).
En notantDextr l’ensemble des points `a interpoler etBle bord de l’image, nous d´efinissons l’ensemble de points `a sym´etriser comme
Sextr = ( Ai∈ Dextr,min Bi∈B||Ai−Bi||2 ≤ s 1 |Dextr| ) (C.8) puis nous consid´erons le domaine Dextr ∪T(Sextr), o`u T est l’op´erateur de sym´etrie par rapport aux bord de l’image. Notons alors que l’enveloppe convexe de ce domaine (qui sert pour la triangulation de celui-ci) ne contient pas n´ecessairement le domaine de l’image D. Afin d’obtenir cette condition, nous ajoutons les quatre coins du domaine ´etendu, (auxquels est associ´e la valeur du point le plus proche). Ainsi le domaine `a interpoler est de taille (n1+ 2m)×(n2+ 2m), o`um est une marge qui correspond `a l’ajout d’une bande pour chaque bord de l’image. La largeur de cette bande est inversement proportionnelle `a la densit´e de points `a interpoler, celle-ci ´etant donn´ee par |DN2
extr|.
Dans le cadre de l’EMD, ce traitement des conditions de bord se r´ev`ele adapt´e. En effet, la densit´e du nombre d’extrema diminue fortement au fur et `a mesure du calcul des diff´erentes IMFs ; ainsi la bande est ´etroite pour les premi`eres IMFs et large pour les IMFs suivantes. De sorte que le surcoˆut li´e `a la gestion de probl`emes de bord est faible pour les premi`eres IMF, qui sont les plus coˆuteuses en temps de calcul. Globalement, cette technique permet de g´erer les conditions aux bords tout en n´ecessitant peu de calculs suppl´ementaires.
C.3.4 Calculs d’enveloppes
Nous consid´erons un bruit blanc Gaussien bidimensionnel (σ = 1), auquel nous appli-quons une it´eration de l’EMD (calcul de EnvM in et EnvM ax). Ceci permet de comparer, suivant la m´ethode utilis´ee, l’enveloppe moyennem(x, y) = 12(EnvM in+EnvM ax) ainsi que les d´etails d(x, y) = f(x, y)−m(x, y) (Fig. C.6). Dans l’EMD, l’extraction de la premi`ere IMF est fondamentale car elle conditionne les IMFs suivantes. En particulier, il importe que l’enveloppe moyenne (la tendance) pr´esente encore des oscillations, ce qui est v´erifi´e pour l’approche bas´ee sur une triangulation (Fig. C.6 (A’)) mais qui n’est pas tr`es marqu´e dans le cas d’utilisation de TPS. En outre, pour le mˆeme type de signal, nous comparons les deux m´ethodes en termes de coˆut algorithmique (Tab. C.3.4). Il apparaˆıt que celle utilisant des TPS est bien plus coˆuteuse que celle bas´ee sur une triangulation, en particulier pour des signaux pr´esentant de nombreux extrema, comme c’est le cas de bruits 2D. Ainsi l’approche bas´ee sur une triangulation, propos´ee dans [33], apparaˆıt comme plus pertinente que d’autres formulations utilisant des TPS [81].
160 Quelques aspects de l’EMD C.3 0 10 20 30 40 50 60 70 0 20 40 60 80 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 10 20 30 40 50 60 70 0 20 40 60 80 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 (A) (B) 0 10 20 30 40 50 60 70 0 20 40 60 80 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 0 10 20 30 40 50 60 70 0 20 40 60 80 −3 −2 −1 0 1 2 3 (A’) (B’)
Fig. C.6 – (A-B) Enveloppes moyennes ; (A’-B’) D´etails extraits ; (A–A’) par Thin-Plate Spline; (B–B’) `a partir d’une triangulation.
Tab.C.1 – Coˆut algorithmique de l’EMD en 2D, en fonction den(les donn´ees ´etant de taille
n×n) suivant que la m´ethode d’interpolation utilis´ee (PC : Piecewise Cubic, bas´ee sur une triangulation, TPS : Thin-Plate spline) et suivant le nombre d’it´erations (3 et 11) au cours du SP. 3 it´erations 11 it´erations n PC TPS PC TPS 16 1 2 3 7 32 2 6 5 22 64 4 57 14 1675 128 10 X 44 X 256 43 X 187 X 512 185 X 871 X