2.4 Applications
2.4.3 Etude dans un cadre bruit´e
Le SNR (Signal-to-Noise Ratio) est une grandeur mesurant le niveau de bruit. Plus il y a de bruit, plus cette valeur est faible.
D´efinition 16. Etant donn´e un signal auquel un bruit est ajout´e, en notant Asignal etAbruit
leurs amplitudes respectives, le SN R (mesur´e en dB) est d´efini comme
SN R= 20 logAsignal Abruit (2.12) 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Temps Amplitude 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20x 10 −3 Temps Amplitude 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 −1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Temps Regularite α (A) (B) (C)
Fig. 2.7 – Estimation de r´egularit´es avec l’ondelette d´eriv´ee de Gaussienne : (A) Cr´eneau bruit´e (SNR= 20dB) ; (B) Modules maxima `a l’´echelle la plus fine ; (C) R´egularit´es estim´ees le long de ML associ´ees.
Nous consid´erons un signal de type cr´eneau, auquel un bruit blanc Gaussien a ´et´e ajout´e (SNR=20 dB , Fig. 2.7 (A)). En utilisant l’ondelette d´eriv´ee de Gaussienne, nous pouvons calculer les MM et les r´egularit´es Lipschitziennes associ´ees (Fig. 2.7 (B–C)). En utilisant diff´erentes ondelettes, nous repr´esentons les TOC (normalis´eesL1) associ´ees au cr´eneau bruit´e (Fig. 2.8 (A–C)), ainsi que les squelettes des ML correspondants (Fig.2.8(A’–C’)).
En ce qui concerne les TOC, nous observons `a la fois les singularit´es marqu´ees et les fluc-tuations li´ees au bruit. A mesure que l’´echelle croˆıt, les singularit´es pr´edominent par rapport au bruit du fait de l’´elargissement des cˆones d’influence (et que les singularit´es correspondent `
a une r´eponse plus forte). Par ailleurs, en observant la structure h´et´erog`ene du squelette des ML, il se d´egage deux types de ML : celles li´ees au fluctuations li´ees au bruit – nombreuses et de faible r´eponse – et celles li´ees `a des singularit´es remarquables (ici les bords du cr´eneau). No-tons ´egalement que lorsque leurs cˆones d’influence se rencontrent, il y a une interaction entre les singularit´es, de sorte que les ML r´esultantes sont alors associ´ees `a plusieurs singularit´es.
Distinguons alors suivant l’ondelette utilis´ee :
– ondelette d´eriv´ee (premi`ere) de Gaussienne (Fig. 2.8 (A–A’)) : les ML d´erivent vers l’ext´erieur du cr´eneau ;
2.4 Applications 33 log2(s) 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 8 7 6 5 4 3 2 1 log2(s) 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 8 7 6 5 4 3 2 1 log2(s) 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 8 7 6 5 4 3 2 1 (A) (B) (C) 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (A’) (B’) (C’)
Fig.2.8 – Influence de l’ondelette utilis´ee (exemple du cr´eneau bruit´e) – Transform´ee en on-delette continue (A–C) et squelettes des Maxima Lines associ´es (A’–C’). (A, A’) Onon-delette d´eriv´ee de Gaussienne ; (B, B’) Ondelette ∆G; (C, C’) Ondelette de Morlet (cette derni`ere ´etant complexe, nous consid´erons le module de la TOC).
– ondelette ∆G, d´eriv´ee seconde de Gaussienne (Fig.2.8(B–B’)) : certaines ML d´erivent vers l’ext´erieur du cr´eneau, tandis que celles qui d´erivent vers l’int´erieur, et fusionnent `a une certaine ´echelle (jonction de ML). Cette ´echelle est dite caract´eristique du cr´eneau, en ce sens que les singularit´es qui le d´elimitent correspondent aux ML qui fusionnent ; – ondelette de Morlet (Fig.2.8(C–C’)) la structure est plus complexe, tout en pr´esentant
certaines similitudes avec le cas pr´ec´edent : le module de l’ondelette de Morlet est une fonction paire, d’o`u la similitude avec l’ondelette ∆G (rappelons n´eanmoins qu’ ici l’existence des lignes n’est pas assur´ee th´eoriquement).
Nous nous pla¸cons maintenant dans le cadre de l’ondelette ∆G. En compl´ement de l’as-pect spatial (d´erive des ML), il est alors int´eressant de comparer les r´eponses associ´ees aux diff´erentes ML. Notations :
Lext, Lint : lignes associ´ees `a des singularit´es marqu´ees,
Lext : d´erivant vers l’ext´erieur du cr´eneau,
Lint : d´erivant vers l’int´erieur.
Lb : ligne associ´ee `a du bruit
Notons d’abord queLb s’interrompt rapidement et que l’´evolution de la r´eponse est fluc-tuante (Fig. 2.9(C)), dans la mesure o`u elle interagit rapidement avec d’autres lignes ´egale-ment associ´ees `a du bruit, lesquelles peuvent autant la renforcer que l’att´enuer.
34 Extrema et Maxima Lines d’ondelettes (1D) 2.4 20 40 60 80 100 120 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.3 0.32 0.34 Echelle s Reponse |Wf| 20 40 60 80 100 120 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 Echelle s Reponse |Wf| s* 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 Echelle s Reponse |Wf| (A) (B) (C)
Fig.2.9 – Evolution de la r´eponse le long de diff´erentes ML (ondelette ∆G) : (A) ML associ´ee `
a une singularit´e, d´erivant vers l’ext´erieur du cr´eneau ; (B) ML associ´ee `a une singularit´e, d´erivant vers l’int´erieur du cr´eneau ; (C) ML correspondant `a du bruit.
Ensuite, en comparantLext etLint, nous relevons les ´el´ements suivants :
– aux ´echelles fines, l’´evolution est conditionn´ee par la r´egularit´e Lipschitzienne (et la normalisation de la TOC, ici L1) ; ainsi, si Lext (ou Lint) correspond `a une singularit´e type Heavyside (α= 0), la r´eponse associ´ee est croissante ;
– `a des ´echelles plus grandes, la r´eponse suivant Lext s’att´enue rapidement (ligne isol´ee) tandis que celle suivant Lint augmente jusqu’`a atteindre un pic (interaction avec une autre ligne qui la renforce). Ce pic de ML est atteint `a une ´echelles∗dite caract´eristique, et nous relevons que s∗ correspond approximativement `a la taille du cr´eneau (nous verrons cela en d´etail au chapitre4).
– lorsques−→+∞, les r´eponses (suivant Lext etLint) tendent vers z´ero (conform´ement aux r´esultats vus en 1.3.2, pour une TOC normalis´eeL1 etf ∈L∞).
En conclusion, l’approche par ML permet de distinguer les singularit´es les plus marqu´ees dans le signal de celles li´ees aux bruit, et nous pouvons relever diff´erents ´el´ements :
– Amplitude de la r´eponse :LextetLint sont associ´ees `a des r´eponses plus fortes queLb; – D´erive spatiale :Lext etLint seront plus stables spatialement (ceci est li´e `a l’amplitude
des r´eponses associ´ees) alors queLb tend `a ˆetre influenc´ee par d’autres lignes ;
– Persistance des lignes : aux grandes ´echelles,LextetLint perdurent alors que Lb dispa-raˆıt ;
– Evolution de la r´eponse en fonction de l’´echelle s: tandis que le comportement suivant
Lb n’est pas tr`es significatif, les comportements se distinguent suivant Lext (Fig. 2.9
(A)) ou Lint (Fig.2.9 (B)).
– Interaction avec d’autres lignes : globalement, des lignes correspondant `a du bruit tendent `a se neutraliser alors que des lignes associ´ees `a des singularit´es peuvent se renforcer mutuellement dans certains cas, et aboutir `a une certaine ´echelle caract´eris-tique, correspondant `a la taille d’un objet pr´esent dans le signal, ici le cr´eneau (nous verrons ult´erieurement comment cela se g´en´eralise en 2D).
2.4 Applications 35
Conclusion
Dans un cadre monodimensionnel, nous avons vu que les d´ecompositions en ondelettes per-mettent d’extraire certains ´el´ements remarquables du signal grˆace aux ML. Ceux-ci peuvent ˆetre des singularit´es ponctuelles, ou des objets plus complexes d´elimit´es par des singularit´es, comme la structure associ´ee au cr´eneau dans l’exemple pr´ec´edent. Nous soulignons que l’ap-proche multi´echelles est ici pleinement utilis´ee, autant pour la d´erive spatiale d’une ML, qu’en ce qui concerne l’´evolution de la r´eponse suivant cette ML en fonction de l’´echelle. L’approche par ML permet de mesurer la d´erive spatiale des ML `a mesure que l’´echelle croˆıt, et ´egalement de voir si certaines ML perdurent ou disparaissent. Un ´el´ement int´eressant de cette approche est qu’une fois les ML construites, il est possible de parcourir cette ML vers les ´echelles les plus fines, et d’identifier la singularit´e associ´ee. Nous verrons plus loin l’int´erˆet de ces propri´e-t´es, dans un cadre bidimensionnel, o`u nous tenterons de mettre en correspondance des objets pr´esents dans l’image et des singularit´es associ´ees `a certaines ML (chap.6 et7). Notons enfin que les caract´eristiques mises en ´evidence ne sont pas n´ecessairement ponctuelles, puisqu’elles peuvent correspondre `a certaines structures pr´esentes dans le signal.
3.1 37
Chapitre 3