Estimation g´eom´etrique

L’approche par ML permet de d´etecter un certain nombre d’objets. Chacun de ces ob-jets est associ´e `a un ensemble de ML (L<sub>i</sub>)<sub>i∈I</sub> se rejoignant en un certain point de jonction (x<sup>∗</sup>, y<sup>∗</sup>, s<sup>∗</sup>). Une premi`ere estimation de la forme de l’objet est donn´ee par la r´egion d’int´erˆet (circulaire) centr´ee en (x^∗, y^∗), et d’un certain rayon. Celui-ci peut ˆetre choisi proportionnel `

a l’´echelle caract´eristique classique s∗, mais nous pr´ef´erons le choisir comme ´egal `a S∗ : ceci se justifie par le faitS^∗ est une grandeur g´eom´etrique.

Il est alors possible de pr´eciser cette forme, notamment grˆace aux extr´emit´es des ML. Si de nombreuses ML sont impliqu´ees dans la jonction et que leurs extr´emit´es sont r´eparties relativement uniform´ement sur le bord de l’objet, alors l’enveloppe convexe de ces points donne une bonne approximation de la forme de l’objet ; g´en´eralement, celle-ci est situ´ee `a l’int´erieur de l’objet, vu que les extr´emit´es des ML sont localis´ees l´eg`erement `a l’int´erieur de l’objet, pr`es du bord. Notons au passage que l’enveloppe convexe des extr´emit´es (x⁰_i, y_i⁰)_i∈I est donn´ee par le polygone passant par certains points (x0

k, y0

k)_k∈K, K ⊂I (en nombre fini). Une forme plus lisse peut ensuite ˆetre obtenue en consid´erant les points (x⁰_k, y_k⁰)_k∈K comme les nœuds d’une spline cubique par exemple [123]. Remarquons enfin que si certains nœuds sont r´epartis in´egalement, ceci peut entraˆıner dans certains cas des formes inappropri´ees (par exemple, c’est le cas si les (x⁰_k, y⁰_k)_k∈K sont concentr´es sur une seule partie de l’objet).

Un cas particulier de cette estimation de la forme, li´e `a la d´etection de r´egions d’int´erˆet invariantes `a l’affine, consiste `a chercher une ellipse coh´erente avec les points (x0

k, y0 k)_k∈K. L’estimation de cette ellipse peut s’´ecrire comme un probl`eme d’optimisation [28] : ´etant donn´e α= (α_i)_1≤p≤6∈R6, nous d´efinissonsF_α:R2 −→Rpar :

Fα : R2 −→ R

(x, y) 7−→ F_α(x, y) =α₁x²+α₂y²+α₃xy+α₄x+α₅y+α₆ ^(7.12)

et par une r´egression aux moindres carr´es, nous r´esolvons alors min

α X k∈K

Fα(x⁰_k, y_k⁰)² (7.13)

ce qui donne une solution ˆα∈R6et ainsi l’ellipse cherch´ee est donn´ee par l’´equationF_αˆ(x) = 0. Ce probl`eme peut encore ˆetre simplifi´e en fixant le centre de l’ellipse (xc, yc), par exemple `a (x^∗, y^∗). ou le barycentre des (x⁰_k, y⁰_k)_k∈K. L’´equation de l’ellipse recherch´ee s’´ecrit alors comme

ZTAZ = 1, o`uZest le vecteur de coordonn´ees centr´ees etAune matrice semi-d´efinie positive :

Z = ^x−x_c y−yc ! etA= ^{a c} c b !

Ce choix est motiv´e d’une part par la r´eduction du nombre de param`etres (3 au lieu de 6) et d’autre part par le fait que (x^∗, y^∗) est une donn´ee stable proche du centre.

124 D´etection de structures bidimensionnelles en 2D 7.4 50 100 150 200 250 50 100 150 200 250 100 200 300 400 500 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 (A) (B) (C) 50 100 150 200 250 50 100 150 200 250 100 200 300 400 500 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 (A^′) (B^′) (C^′)

Fig. 7.11 – Exemples simples d’estimation de forme par l’approche ML. (A, A^′) Deux struc-tures emboˆıt´ees, ellipse centr´ee en (x∗, y∗) ; (B) R´egions d’int´erˆets donn´ees par (x∗, y∗, s∗) ; (B^′) R´egions d’int´erˆets donn´ees par (x^∗, y^∗, S^∗) (S^∗´etant obtenue par la r`egle de la m´ediane) ; (C) Enveloppe convexe des extr´emit´es des ML (x<sup>0</sup><sub>i</sub>, y<sup>0</sup><sub>i</sub>) ; (C<sup>′</sup>) Ellipse estim´ee de mani`ere g´e-n´erale, `a partir des points (x0

k, y0

k)_k∈K (K correspondant aux points situ´es sur l’enveloppe convexe).

Afin de valider cette m´ethode d’estimation, nous consid´erons d’abord des images g´eo-m´etriques dont les donn´ees sont connues a priori (Fig. 7.11). Dans le cas de deux struc-tures emboˆıt´ees toutes deux centr´ees en c, le centre obtenu c∗ = (x∗, y∗) est identique `a c

(Fig. 7.11(A)). En revanche, dans le cas de deux structures emboˆıt´ees et d´ecentr´ees, en no-tantc₁ etc₂ leurs centres respectifs (c₁ > c₂), nous remarquons que le centre de la plus grande structurec₁est d´ecal´e par rapport au v´eritable centre (Fig.7.11(A’)) ; cependant, l’´ecart entre ces points reste faible (||c^∗₁−c1|| = 6.4 pixels pour cette image 256x256). De mani`ere plus g´en´erale, sur une image naturelle par exemple, la localisation du point (x∗, y∗) d´epend de tout ce qui est pr´esent dans la structure, et pas seulement des extr´emit´es des ML. En particulier, un bord pr´esentant une certaine courbure donnera lieu `a plusieurs ML qui fusionneront `a une certaine ´echelle s∗, en un point (x∗, y∗), mais cela ne correspondra pas n´ecessairement au centre d’un objet visuellement identifiable dans l’image – il correspondra plutˆot au centre de courbure correspondant `a la portion du bord consid´er´e.

7.4 Validation de l’approche par ML 125 26 20 16 14 12 10 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 SNR (dB)

Distance au centre (en pixels)

(x*,y*) Barycentre 25 20 16 14 12 10 9 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 SNR (dB) Overlap Centree en (x*,y*) Estimation generale 25 20 16 14 12 10 9 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 SNR (dB) Overlap (A) (B) (C)

Fig.7.12 – Estimation de la forme d’un objet par ML, en faisant varier le niveau de bruit. (A) Distance au v´eritable centre (disque 256x256) ; (B) Overlap entre l’objet (disque 256x256) et le cercle (x^∗, y^∗,S^∗) ainsi qu’entre l’objet et l’ellipse estim´ee d’apr`es les extr´emit´es des ML (estimation sans a priori sur le centre) ; (C) Overlap entre l’objet (ellipse 256x256, Fig.7.13) et l’ellipse estim´ee sans a priori sur le centre.

Afin de comparer les diff´erentes m´ethodes d’estimation de cette ellipse, nous consid´erons deux objets – images de taille 128×128 repr´esentant un disque et un disque d´eform´e (Fig.7.13) – auquels sont ajout´es un bruit blanc Gaussien plus ou moins important (100 simulations sont effectu´ees pour chaque niveau de bruit). D’abord, nous consid´erons le disque, et en faisant varier le niveau de bruit, il est possible de comparer la position du v´eritable centre avec celle :

- du pointc∗ = (x∗, y∗)

- du barycentre des extr´emit´es des ML : c_b= (x_b, y_b) =P

k∈Kw_k(x⁰_k, y_k⁰) (K: enveloppe convexe, w_k= _|K¹_|)

Le point c∗ apparaˆıt ici comme plus stable que le barycentre c_b, (Fig. 7.12 (A)). Ceci provient du fait qu’`a partir d’un certain niveau de bruit, il ne reste qu’un petit nombre de ML pertinentes, et si de plus les extr´emit´es de ces ML sont concentr´ees au mˆeme endroit, cette estimation est compl`etement fauss´ee. D’autre part, comme les lignes correspondant au bruit traversent peu d’´echelles, le point c^∗ reste stable tant qu’il reste des ML correspondant `a la structure (i.e., que la structure est dominante par rapport au bruit). Enfin, `a mesure que le niveau de bruit augmente, le nombre de ML pertinentes se r´eduit (jusqu’`a 4 ML) ce qui rend l’estimation de l’ellipse encore possible, mˆeme si celle-ci est moins stable. Ainsi, pour fixer le centre de l’ellipse,c^∗ apparaˆıt comme un choix judicieux.

Maintenant, nous nous int´eressons `a la stabilit´e de l’ellipse. A cet effet, nous introduisons la notion d’overlap, d´efinie comme le rapport :

Aire(E_e∩E_o)

Aire(Ee∪Eo) ∈[0,1] (7.14) o`uE<sub>e</sub>correspond au domaine de l’ellipse estim´ee etE<sub>o</sub>`a celui du disque (original ou d´eform´e). Ceci permet alors de comparer les diff´erentes m´ethodes d’estimation d’ellipse (sans fixer le centre a priori, et en fixant le centre `a c^∗).

126 D´etection de structures bidimensionnelles en 2D 7.4

En ce qui concerne le disque (Fig.7.12(B), notons que pour des niveaux de bruit mod´er´es, la m´ethode sans fixer le centre apparaˆıt comme la plus performante (les ML sont en nombre suffisant) ; en revanche, pour des niveaux de bruit ´elev´es, lorsqu’il ne reste qu’un nombre limit´e de ML, la m´ethode fixant le centre s’av`ere plus robuste que l’estimation g´en´erale (3 param`etres `

a estimer au lieu de 6 dans l’estimation g´en´erale).

En ce qui concerne le disque d´eform´e, nous raffinons la m´ethode d’estimation de l’ellipse : – calcul pr´ec´edent de l’ellipse sans fixer le centrea priori, d’apr`es les extr´emit´es des ML ;

cette ellipse est d´efinie par un centre (x_Q, y_Q) et une matrice M_Q∈SP₂; – normalisation deM_Q de mani`ere `a ce que l’aire de l’ellipse soit ´egale `a π·(S∗)2 Nous constatons le b´en´efice de cette normalisation en comparant les figures 7.13 (B) et (C). Nous observons alors la d´egradation de cette estimation de l’ellipse `a mesure que le niveau de bruit augmente (Fig. 7.12) ; en particulier, nous relevons que l’overlap reste sup´erieur `a 0.8 tant que leSN R reste inf´erieur `a 12 (soit A_signal/A_bruit≤4).

En outre, il est int´eressant de comparer qualitativement la diff´erence entre le cercle (x^∗, y^∗, s^∗) (´echelle caract´eristique classique, Fig. 7.13 (A)), le cercle (x^∗, y^∗,S^∗) (nouvelle ´echelle caract´eristique, Fig.7.13(B)), et les estimations bas´ees uniquement sur les extr´emit´es des ML (Fig.7.13(C)). Nous voyons queS^∗ est nettement sup´erieure `as<sup>∗</sup>. Ceci s’explique par le fait que les extr´emit´es des ML les plus r´esistantes au bruit sont celles situ´ees aux points de forte courbure (aux extr´emit´es du grand axe de l’ellipse) ; ainsi, le calcul deS∗ conduit `a un cercle enveloppant le disque d´eform´e tandis ques^∗ conduit `a un cercle contenu dans celui-ci. D’autre part, nous observons que l’estimation `a partir des ML est plus fine, et r´ealise une adaptation satisfaisante `a la forme de l’objet. En conclusion, pour un objet d´etect´e par ML, l’estimation g´en´erale est la plus pertinente s’il y suffisamment de ML associ´ees (au moins 4). N´eanmoins, dans le cas o`u il a peu de ML (comme cela est le cas des images naturelles), il peut ˆetre int´eressant de consid´erer une estimation de l’ellipse fixant le centre en (x^∗, y^∗).

20 40 60 80 100 120 20 40 60 80 100 120 20 40 60 80 100 120 20 40 60 80 100 120 20 40 60 80 100 120 20 40 60 80 100 120 (A) (B) (C)

Fig.7.13 – Estimation de forme sur une ellipse 128×128 bruit´ee (SN R= 20dB) : (A) Cercle centr´e en (x^∗, y^∗), de rayon s^∗; (B) Cercle centr´e en (x^∗, y^∗), de rayon S^∗; (C) Enveloppe convexe des extr´emit´es des ML (associ´ees `a l’objet) et ellipse estim´ee d’apr`es celles-ci.