2.3 Les différentes bases de représentation de la matrice de réflexion
2.3.4 La matrice de réflexion R rr
En plaçant le plan de réception dans un plan conjugué au plan échantillon noté (PR,r), il est possible d’accéder à la matrice noté Rrr. Les éléments de cette
matrice correspondent à la réponse impulsionnelle entre les cellules des deux plans conjugués au plan échantillon(PE,r)et(PR,r)comme représenté sur la figure
2.12. Le plan d’émission est constitué de Nx×Nx cellules émettrices et le plan de
réception est constitué de Nx×Nx capteurs. Une onde lumineuse est émise à la
coordonnée rin = (xin, yin) du plan (PE,r). Celle-ci devient une onde plane au
2.3 Les différentes bases de représentation de la matrice de réflexion UP lanFLN 4x/0.18 ∞ / - /FN26.5 UP lanFLN 4x/0.18 ∞ / - /FN26.5 plan échantillon source d’aberration plan échantillon a b
FIGURE2.12 – Matrice de réflexion Rrrcontenant l’ensemble des réponses impul-
sionnelles entre plan d’émission et plan de réception conjugués avec le plan focal. Chaque réponse impulsionnelle Rrr(rout, rin) comprend (a) le trajet de l’onde in-
cidente du point rin au niveau du plan source jusqu’au plan focal où l’onde est
focalisée et réfléchie ; (b) le trajet de l’onde réfléchie depuis le plan échantillon au point routau niveau du plan de réception.
du microscope. Cette onde serait focalisée au point r’in = −rin conjugué de rin
en absence d’aberration. La lumière réfléchie par l’objet est ensuite collectée par l’objectif de microscope dans le plan(PR,r) conjugué au plan échantillon comme
illustré sur la figure 2.12. Cette matrice peut être obtenue numériquement à partir de la matrice Rur précédente par une opération de transformée de Fourier sur sa
dimension de sortie. En effet, afin de se mettre en réception dans le plan (PR,r)
conjugué au plan échantillon, il est nécessaire de propager la lumière du plan de réception(PR,u)jusqu’au plan(PR,r)à l’aide d’une transformée de Fourier. Ainsi :
où tG0 est la transposée de l’opérateur G0 défini à l’équation 2.7. En terme de
coefficients matriciels, cette dernière équation s’écrit :
Rrr(rout, rin) =
∑
uoutRur(uout, rin)e
−i2π
λ fuout.rout (2.25)
En réinjectant l’expression de Rur(uout, rin)obtenue à l’équation 2.23, les éléments
de cette matrice s’expriment ainsi :
Rrr(rout, rin) =
∑
uout,r A(uout, r)ρ(r)a(r+rin, r)e −i2π λ fuout.(r+rout) =∑
r a(r+rout, r) | {z } tache focale sortie ρ(r) |{z} diffusion simple a(r+rin, r) | {z } tache focale entrée (2.26)L’expression met en évidence une convolution de la réflectivité de l’objet ρ par la réponse impulsionnelle a à l’entrée et à la sortie. Cette expression montre aussi que la matrice Rrr est une matrice carrée symétrique. A partir des éléments dia-
gonaux (rout = rin) de cette matrice, il est possible d’obtenir l’image confocale de
l’objet à imager :
ˆρ(rin) = Rrr(rin, rin) =
∑
ra2(r+rin, r)ρ(r) (2.27)
L’image confocale de l’objet à imager est donc la convolution de la réflectivité de l’objet à imager avec le carré de la réponse impulsionnelle a.
La figure 2.13 donne les résultats de deux simulations numériques de la ma- trice de réflexion en base focalisée, en absence et en présence d’aberrations. Les plans d’émission(PE,r)et de réception(PR,r)sont tous deux composés de Nx×Nx
cellules. Les paramètres de l’échantillonnage des plans d’émission et de réception ainsi que les paramètres de l’écran de phase sont résumés dans le tableau suivant :
paramètres Nx δx d lφ σφ
valeurs 61 4.25 µm 5 mm 50 µm 3 rad
TABLE2.6 – Paramètres d’échantillonnage des plans de réception
et d’émission et de l’écran de phase aberrateur pour la simulation numérique de la matrice Rrr.
Le pas spatial δx coïncide avec la résolution théorique dans la limite de dif- fraction. L’objet est une mire de résolution positive, dont la grande majorité de la surface est réfléchissante (Fig. 2.11 b.). Les résultats de la simulation sont présen- tés sur la figure 2.13. En absence d’aberration, le profil de la matrice Rrr est une
diagonale (Fig. 2.13 a.). Cela signifie qu’en absence d’aberration, la focalisation est idéale et l’énergie est concentrée sur la diagonale de la matrice Rrr. En effet,
2.3 Les différentes bases de représentation de la matrice de réflexion 0 1 0.5 module module module module
Miroir plan parfait Absence d’aberrations Mire de résolution Présence d’aberrations 0 1 0.5 0 1 0.5 0 1 0.5 a b c d 60µm 60µm
FIGURE2.13 – Simulations numériques de matrices Rrr(a) dans le cas d’un miroir
plan parfait sans aberration et (b) pour une mire de résolution avec aberration. (c,d) Pour chacune de ces matrices, leur colonne centrale, c’est-à-dire le champ réfléchi dans le plan image pour une illumination au centre du champ de vision
rin =0, est montrée sous une forme bidimensionnelle.
dont le support coïncide avec la cellule de résolution. La figure 2.13 (c) repré- sente la colonne centrale de Rrr, c’est-à-dire le champ réfléchi dans le plan focal
(PR,r) pour la coordonnée d’émission rin = 0. Sans aberration, celui-ci est bien
une tache d’Airy dont le support dépend de l’ouverture numérique de l’objectif du microscope. Cette représentation permet la construction de l’image de l’objet à partir des éléments diagonaux (rout =rin) de la matrice de réflexion Rrr comme
exprimé dans l’équation 2.27. Chaque pixel de cette image renseigne sur la quan- tité d’énergie provenant de la coordonnée de focalisation associée. En pratique, il suffit de redimensionner les Nx2éléments diagonaux de la matrice de réflexion Rrr
sous forme d’une matrice Nx×Nxpour obtenir l’image confocale. La figure 2.14
(a) est le schéma d’une matrice de réflexion Rrr dont les éléments diagonaux ont
été colorés afin de bien illustrer la construction de l’image confocale (Fig. 2.14 d.). L’image confocale obtenue dans le cas sans aberration est illustrée à la figure 2.13 (e). Celle-ci donne une image fidèle de la réflectivité de la mire. D’après l’équa- tion 2.27, la réflectivité est convoluée par le carré de la tache d’Airy. Le support
de la tache d’Airy coïncidant avec la surface de la cellule de résolution δx2, le support du carré de cette fonction est alors de surface δx2/2. Un gain théorique d’un facteur√2 est donc possible pour l’image confocale.
0 1 0.5 0 1 0.5 e b Image confocale Matrice de réflexion module module 30µm module 0 1 0.5 Image confocale module 30µm 0 1 0.5 Matrice de réflexion f c Image confocale Matrice de réflexion a d
FIGURE2.14 – Illustration de la construction de l’image confocale (d) à partir de la
matrice de réflexion Rrr (a). Matrices de réflexion Rrrpour une mire de résolution
(b) en absence d’aberration et (c) en présence d’aberration. (e) Image confocale obtenue à l’aide des coefficients diagonaux de la matrice Rrr (e) sans aberration
et (f) avec aberration.
La figure 2.13 (b) présente le résultat d’une simulation numérique de Rrrdans
le cas où un écran de phase aberrateur (Fig. 2.14 b.) est introduit entre l’objec- tif du microscope et son plan focal. L’intensité des éléments hors diagonaux est à présent loin d’être négligeable. La figure 2.13 (d) présente le champ réfléchi Rrr(rout, rin =0)pour une illumination au centre du champ de vision. La compa-
raison avec le même champ dans un cas idéal (Fig 2.13 c.) illustre l’effet néfaste des aberrations. La fonction d’étalement du système d’imagerie est sérieusement dégradée. La largeur moyenne de la tache δ peut être exprimée à l’aide des pa- ramètres de l’écran de phase aberrateur selon l’équation 2.13. L’application nu- mérique donne alors une tache focale de 171 µm de largeur, soit 40 cellules de résolution ce qui coïncide avec la largeur de la tache focale illustrée sur la figure 2.13 (d). Cette perte de résolution explique la mauvaise qualité de l’image confo- cale présentée sur la figure 2.14 (d) et déduite de la diagonale de la matrice Rrr.
Les différentes bases de représentation de la matrice de réflexion R introduites au cours du chapitre permettent de caractériser de différentes manières l’objet à imager ainsi que les aberrations endurées par le front d’onde à l’aller et au re- tour. De simples opérations matricielles permettent de passer d’une base à l’autre.