La matrice distorsion en base focalisée

Dans les chapitres 2 et 3, nous avions introduit les concepts de matrices de ré- flexion et de distorsion par le biais de la mesure expérimentale de la matrice Rur

à l’aide du dispositif sous éclairage cohérent (Fig. 2.15). En mesurant le champ Rur(uout, rin) dans le plan pupille pour chaque coordonnée de focalisation rin,

nous avions vu qu’il est possible de construire la matrice de réflexion Rur co-

lonne par colonne. Une opération de transformée de Fourier numérique nous permet ensuite de calculer la matrice Rrr. Chaque élément de cette matrice donne

la réponse impulsionnelle entre un plan d’émission et un plan de réception tous deux conjugués au plan échantillon (Fig. 2.12). Pour chaque coordonnée rin, le

champ Rrr(rout, rin)est une tache focale de dimension latérale δ centrée autour de

la coordonnée rin. Ainsi, pour un champ de vision dont la dimension latérale est

bien plus grande que δ, la matrice Rrr est parcimonieuse :

R(r, r+∆r) ' 0 ∀∆r,||∆r|| >δ (5.13)

Dans ce cas, le nombre de mesures nécessaires à l’aide du dispositif expérimental incohérent est limité par le nombre de cellules de résolution contenus dans le support de la tache focale et non plus par le nombre de cellules de résolution du champ de vision. Ainsi, l’ordre de grandeur du nombre N2 de mesures sera donné par : N2 ∼  δ δx 2 (5.14)

Avec les objectifs de microscope Olympus RMSX4, d’ouverture numérique N A=

0.1, la résolution dans la limite de diffraction est donnée par δx =2.13 µm. Ainsi, pour une tache focale aberrée de 20 µm, ce qui correspondrait par exemple à un défaut de mise au point de 50 µm, le nombre de mesures nécessaires est théori- quement N2 ∼100. Si nous considérons un champ de vision composé de 1000×

1000 = 106 cellules de résolution, il est donc possible de gagner un facteur 104 entre les deux méthodes d’acquisition de matrices de réflexion. Cependant, pour de tels champs de vision, il faudrait créer une matrice composée de 106×106 =

1012 éléments, ce qui nécessiterait plusieurs milliers de gigaoctets de mémoire. Heureusement, il est possible de contourner le problème.

Nous allons illustrer le propos à l’aide d’une simulation numérique d’image- rie de mire de résolution. Le champ de vision est composé de Nx×Nxcellules de

résolution avec Nx = 400 et δx =2.13 µm. Les paramètres de la source, de l’ob-

jectif du microscope et de l’écran de phase aberrateur (Fig. 2.6 a.) sont résumés dans le tableau suivant :

paramètres λ f N A δx Nx N d lφ σφ

valeurs 850 nm 45 mm 0.2 2.13 µm 400 31 7.5 mm 200 µm 1 TABLE 5.1 – Paramètres de l’éclairage, de l’échantillonnage du plan focal et de

l’écran de phase aberrateur pour la simulation numérique de la matrice distorsion en base focalisée (Fig. 5.2).

Plutôt que de stocker les éléments dans la matrice de réflexion Rrr (Fig. 5.2 a.),

il est plus intéressant de recentrer la coordonnée d’entrée rin sur la coordonnée

de sortie rout, et de poser ˜rin = rin −rout. Cela revient à prendre le champ bi-

dimensionnel Rrr(rout, .) associé à chaque ligne rout de Rrr et de le recentrer sur

la coordonnée rin correspondante. De ce champ bidimensionnel initialement de

taille Nx×Nx, nous ne conservons qu’un champ de taille N×N centré sur rout

(Fig. 5.2 c.). Finalement, chaque champ bidimensionnel est converti en vecteur ligne et stocké dans la "matrice distorsion en base focalisée" Drrdont les éléments

sont définis ainsi :

Drr(rout, ˜rin) = Rrr(rout, rout+˜rin) (5.15)

Par souci d’illustration, nous représentons la transposée de cette matrice, de taille N2×N_x2(Fig. 5.2 d.). La mesure de la matrice se fait ainsi dans des plans d’émis- sion et de réception qui sont confondus. Nous verrons plus loin comment cette matrice Drr est reliée à la matrice distorsion Dur étudiée au chapitre 3.

Pour le dispositif incohérent de la figure 5.1, la construction de la matrice Drr

est bien plus naturelle que celle de Rrrpuisque pour chaque translation∆r, la me-

sure du terme d’interférence donne directement accès à l’ensemble des éléments R(rout, rout+∆r), ce qui revient à construire la matrice Drr colonne par colonne.

Contrairement à la matrice de réflexion Rrr, dont il fallait prendre les éléments

5.3 Mesure des matrices réflexion et distorsion 1 0 1 0 0.5 1 0 0.5 a b c d

Image confocale Fonction d’étalement moyenne

1 0 0.5 1 0 0.5 e f 15µm 13µm 200µm

FIGURE 5.2 – Résultat de la simulation numérique dont les paramètres sont

donnés dans le tableau 5.1. a) Module de la matrice Rrr. b) Module du champ

Rrr(rout, .) pour une coordonnée rout. c) Module du champ Drr(rout, .) obtenu en

recentrant le champ précédent. d) Module de la transposée de la matrice distor- sion en base focalisée Drr. e) Image en-face obtenue en prenant la colonne cen-

trale de la matrice Drr. f) Fonction d’étalement moyenne obtenue en moyennant

les champs Drr(rout, .)sur routde manière incohérente.

trale de la matrice Drr(Fig. 5.2 d,e) :

ˆρ(rout) = Drr(rout, ˜rin =0) (5.16)

Celle-ci correspond en effet à la coordonnée ˜rin = rout−rin = 0. Un autre avan-

tage de cette représentation est que la fonction d’étalement associée à chaque point de de l’image apparaît sur chaque ligne de Drr . L’extension spatiale de

l’énergie réfléchie autour de l’élément central donne donc une estimation de la résolution locale de l’image et caractérise le niveau local des aberrations. Afin de gommer les fluctuations liées au speckle et à la réflectivité de l’objet, il est néces- saire cependant de moyenner le module de cette fonction d’étalement :

F(r,∆r) = h|Drr(rout,∆r)|2i||rout−r||<W (5.17)

oùh.i désigne une moyenne sur l’ensemble des points contenus dans un disque de rayon W et centré sur la position r. F(r,∆r)désigne la fonction d’étalement en chaque point de l’image. La dimension W de la fenêtre spatiale sur laquelle est moyennée la tache focale doit être idéalement de l’ordre de la dimension lcd’une

aire d’isoplanétisme. Dans le cas de la simulation numérique de la figure 5.2, la fonction d’étalement est moyennée sur une aire d’isoplanétisme contenue dans le champ de vision (Fig. 5.2 f.). On retrouve l’extension de la tache focale attendue :

δ∼λd/lc ∼23 µm.