L’édition 2019, du manuel Sesamath de 6ème, énonce cette propriété d’un manière un peu abrupte, en annonçant dans le chapitre sur la "symétrie axiale" que "la symétrie axiale conserve les angles", puis, dans un second chapitre, intitulé "les axes de symétrie des figures", en montrant, au détour d’une petit schéma mettant en évidence l’axe de symétrie d’un triangle isocèle, deux angles égaux, sans aucun commentaire, ni renvoi au chapitre précédent. Il semble que les auteurs de ce manuel attendent que les élèves fassent les liens par eux-mêmes. Le caractère trivial de l’égalité entre les deux angles semble ne 76. Dans cet ouvrage, les auteurs notaient l’égalité entre deux angles de sommets respectifs B et C par B = C quand il n’y avait pas d’ambiguïté, ou sous la forme ABC = ACB. La notation actuelle, avec le chapeau recouvrant trois lettres, fut introduite par Lazare Carnot, à la page 90 de son ouvrage de 1803 portant comme titre "La géométrie de position". Cent ans après sa création, elle ne semble pas encore adoptée par tout le monde.
demander aucune autre étude, ni aucune préparation préalable : l’utilisation de la symétrie axiale, et de ses propriétés, prend apparemment tout en charge.
6
Conclusion et suites possibles à cette étude
6.1
Bilan de cette étude
Le XXe siècle a été source de beaucoup de réformes. Du refus de la réforme 1902, aux illogismes de la réforme de 1985, en passant par la réforme de 1970 aussi brutalement instaurée que stoppée en 1977, les esprits des programmes ont été tantôt confus, tantôt délestés, quand ils n’étaient pas alourdis.
Dans tous ces changements, les grandeurs ont connu des heures où elles ont occupé le 1er plan, avec la tradition euclidienne, entretenue par Clairaut et par un système scolaire très inégalitaire. Les rapports de grandeurs étaient aussi porteurs d’abstractions nouvelles avec la création de nouveaux nombres, comme le montre le schéma de la figure 6.1.
Modèle "euclidien" Rapports de grandeurs grandeurs com- mensurables Grandeurs incommensurables Ensembles de nombres Figure 6.1 – Utilisation des rapports de grandeurs
Puis, le savoir savant ayant beaucoup évolué, avec la théorie des transformations, le rôle des axiomes sur les grandeurs, dans l’étude des propriétés des figures usuelles, est devenu plus secondaire : l’introduc- tion des transformations et de leurs propriétés, pourtant fortement liées aux grandeurs, semble avoir laissé croire un moment qu’il était devenu inutile d’expérimenter sur les grandeurs : les propriétés des trans- formations permettant "naturellement" de rendre compte des propriétés des figures usuelles. Du même coup, les démonstrations, qui étaient la marque de la géométrie euclidienne, se sont avérées inutiles, et remplacées par des "ilots déductifs" beaucoup plus simples, voire même trop "évidents". Le travers de cette transposition didactique réussie en a été de rajouter de la perte de sens à ce qui existait déjà.
Les années 1960-1977 ont connu le couperet des "mathématiques nouvelles" ou encore des "mathé- matiques modernes". La volonté d’imposer un savoir savant très abstrait, sans le nécessaire support du "concret" ne pouvait qu’être catastrophique, tant pour les élèves que pour le système scolaire français, et la croyance qu’on pouvait avoir en sa réussite face aux exigences du nouveau monde économique et technologique qui arrivait. Une nouvelle définition des nombres allait entrer en vigueur, délestant un peu plus le champ d’action des grandeurs d’une part importante de leur histoire, et surtout de l’histoire des mathématiques. Cela rejaillit à la fois sur l’enseignement de la géométrie et sur l’enseignement des nombres et calculs : les grandeurs étaient proscrites, comme l’illustre la figure 6.2.
Modèle "moderne" de 1970 Nombre comme
cardinal d’ensemble
Unités de mesures
de grandeurs Calculs numériques
Rapports de nombres
La grogne sociale et professionnelle de la part des enseignants allait provoquer l’interruption de cette réforme dont les stigmates sont encore présents aujourd’hui.
La fin du XXe siècle a montré que si l’ont continuait à expérimenter des découpages et des recollement sur les aires, les raisons d’être des longueurs ont souvent semblé été considérées comme étant non problé- matiques, et donc n’étaient que très rarement réinvesties au collège. Un examen rapide des programmes de 2004 et de 2015, voir figure 5.3, montre que la grandeur "longueur" était un objet d’étude, mais que déjà la mesure était très vite présente.
Grandeurs au cycle 2 - 2004
Au cycle 2, sur la base des premières expériences fournies par l’école maternelle, les élèves étudient les notions de longueur et de masse.Ils commencent à appréhender la notion de volume par le biais de la contenance de certains récipients. Ils apprennent à repérer le temps et commencent à distinguer dates et durées, grâce aux calendriers et aux montres.Les concepts de grandeur et de mesure prennent du sens à travers des problèmes liés à des situations vé- cues par les enfants : comparaison directe ou in- directe d’objets (relativement à une grandeur :lon- gueur, masse, contenance), mesurage à l’aide d’un étalon. C’est l’occasion de renforcer et de relier entre elles les connaissances numériques et géométriques, ainsi que celles acquises dans le domaine “Découvrir le monde”. Les objets mesurés doivent être de na- ture et de dimensions variées,le choix de l’instrument approprié constituant un objectif important.Les ins- truments utilisés peuvent être soit “inventés” pour répondre aux problèmes posés (par exemple, re- cours à la ficelle pour obtenir la longueur d’un ob- jet courbe...), soit être des instruments usuels :mètre ruban ou mètre de couturière, double décimètre, ba- lance et masses marquées.Les connaissances relatives aux grandeurs et à leur mesure concernent :- l’iden- tification de quelques grandeurs (longueur, masse, contenance, durée) : comparaison d’objets,- la me- sure de ces grandeurs et l’utilisation d’instruments : règles graduées, balance Roberval ou à lecture di- recte, calendrier, horloge, etc.,- les unités usuelles (m et cm, g et kg, L, h et min), le choix de l’unité la plus adaptée pour effectuer un mesurage
Grandeurs au cycle 3 - 2015
Comparer des périmètres avec ou sans recours à la mesure.
Mesurer des périmètres en reportant des unités et des fractions d’unités, ou en utilisant une formule. »Notion de longueur : cas particulier du périmètre. » Formule du périmètre d’un carré, d’un rectangle. » Formule de la longueur d’un cercle.
»Unités relatives aux longueurs : relations entre les unités de longueur et les unités de numération (grands nombres, nombres décimaux).
FIGURE5.3 - Grandeurs aux cycles 2 (2004) et 3 (2015)
Pour autant, un problème de logique a persisté car une réduction trop rapide des grandeurs à des mesures provoquait des obstacles didactiques, comme la confusion entre périmètre et aire, ce qui est assez paradoxale dans une société en demande constante de techniciens qualifiés. Le fait de ne pas indiquer les unités de mesures dans les calculs a lui aussi contribué à cet amalgame entre périmètre et aire : les nombres sont eux-mêmes devenus vides de sens ! Les conditions et contraintes décrites dans les chapitres précédents ont dressé un tableau d’un enseignement en mutation, où, à différentes périodes, se sont