M´ ethode spectrale

Dans le cadre de l’´etude des ´ecoulements puls´es en g´eom´etries confin´ees, rap-port´ee au chapitre 7, nous utilisons des m´ethodes num´eriques tr`es diff´erentes de celles utilis´ees pour traiter les ´ecoulements micro-vasculaires. La discr´etisation spa-tiale du probl`eme bidimensionnel repose sur une m´ethode spectrale d’ordre ´elev´e.

L’usage de cette m´ethode en m´ecanique des fluides est largement document´e et l’on pourra notamment se r´ef´erer `a l’ouvrage de Canuto et al. (1988). Cette m´ethode pr´esente les avantages d’avoir une pr´ecision sup´erieure aux autres m´ethodes clas-siques (´el´ements finis, diff´erences finies ou volumes finis) pour un nombre de point fix´e, et de ne pas souffrir de la diffusion num´erique. L’approche est plus largement d´ecrite dans l’article rapport´e `a la fin du chapitre 7, et le lecteur int´eress´e pour

´egalement se rapporter `a la th`ese de P. Assemat (2008) qui fait une description tr`es compl`ete de la m´ethode dans une situation proche de celle que nous avons ´etudi´ee.

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233.

Chapitre 4

Ecoulements sanguins confin´es, S´eparation ´ de phase & Approche r´eseau

Dans ce chapitre, nous pr´esentons la mod´elisation des ´ecoulements sanguins micro-vasculaires par m´ethode r´eseau. Ce type de mod´elisation est courant dans l’analyse des ´ecoulements multi-phasiques en milieux poreux. Leur mise en œuvre dans le cadre des r´eseaux micro-vasculaires pr´esente des sp´ecificit´es importantes qui sont d´etaill´ees en section 4.1.

Nous envisageons, dans un premier temps, l’´ecriture de la relation locale entre d´ebit et gradient de pression, qui d´epend de la forme de chaque segment vasculaire. Cette relation fait intervenir la viscosit´e apparente du sang d´ecrite au chapitre 2, qui d´epend elle-mˆeme de l’h´ematocrite local du segment vasculaire consid´er´e. Ainsi, outre la g´eom´etrie micro-vasculaire, l’´elaboration d’une formulation r´eseau n´ecessite la d´etermination de la r´epartition spatiale de l’h´ematocrite dans le r´eseau. Nous ex-posons, dans ce chapitre, diff´erentes approches qui seront utilis´ees pour ´etablir cette r´epartition.

Nous pr´esentons tout d’abord, en section 4.2, les approches locales propos´ees dans la litt´erature sous le nom de “mod`ele de s´eparation de phase”. Ces approches sont fond´ees sur l’hypoth`ese de m´ecanismes hydrodynamiques locaux r´egissant la r´epartition d’h´ematocrite `a chaque bifurcation. Elles consistent alors `a ´ecrire des mod`eles de s´eparation de phase qui donnent le rapport d’h´ematocrite des branches m`ere/fille `a chaque bifurcation divergente. La seconde approche, propos´ee dans le cadre de cette th`ese, et expos´ee en 4.3, consiste `a envisager l’hypoth`ese compl´ementaire qui consid`ere que ce sont principalement des m´ecanismes non locaux qui r´egissent la r´epartition h´et´erog`ene de l’h´ematocrite.

Finalement, la derni`ere section de ce chapitre expose la mise en œuvre de ces mod`eles dans le cadre d’un calcul complet de l’´ecoulement sanguin par m´ethode r´eseau. Elle

a ´et´e pour la premi`ere fois propos´ee dans le contexte de la micro-circulation du m´esent`ere de rat par Pries et al. (1990). Le m´esent`ere est une membrane quasi-bidimensionelle qui entoure l’intestin. Lorsqu’elle est d´epli´ee, elle peut ˆetre ´etudi´ee par microscopie intravitale. On peut alors y mesurer directement l’h´ematocrite et la vitesse d’´ecoulement, et comparer les grandeurs mesur´ees avec les pr´edictions des si-mulations num´eriques. Ces comparaisons ont montr´e que localement les diff´erences pouvaient ˆetre significatives, et que les grandeurs moyennes ou int´egr´ees ´etaient beaucoup plus pr´ecises. Ces diff´erences ont amen´e les auteurs `a d´evelopper et adap-ter les composantes de la mod´elisation. Ces mod`eles, int´egr´es dans l’approche r´eseau pr´esent´ee dans ce chapitre, seront compar´es au chapitre 5.