La connaissance de la distribution de l’h´ematocrite est par ailleurs importante car elle influe de mani`ere significative sur la viscosit´e apparente locale du sang, sur le transport d’oxyg`ene ainsi que celui des m´etabolites. La pr´ediction de la r´epartition d’h´ematocrite dans les r´eseaux complexes repr´esente aussi un enjeu fort dans le contexte de la micro-fluidique. La mise au point de dispositifs simples permettant la s´eparation des diff´erents ´el´ements figur´es, et du plasma qui les transporte, pour-rait s’av´erer utile pour l’h´ematologie clinique. De tels dispositifs ont d’ores et d´ej`a
´etaient propos´es dans plusieurs ´etudes (Faivre et al., 2006; Zhang et al., 2008).
Dans le cadre de l’approche usuelle pour mod´eliser la r´epartition d’h´ematocrite (fi-gure 4.3), on consid`ere que les m´ecanismes responsables de cette r´epartition h´et´ ero-g`ene sont principalement locaux. On distingue alors, comme illustr´e sur la figure 4.4, les bifurcations divergentes pour lesquelles le sang arrive dans la bifurcation par la branche m`ere, et repart par les branches filles, et la situation oppos´ee que nous appellerons bifurcation convergente. Dans les bifurcations divergentes, on mod´elise alors la r´epartition de l’h´ematocrite de la branche m`ere dans les branches filles, par des lois issues de l’exp´erience. Celles-ci sont construites de sorte `a v´erifier implicite-ment la conservation du flux massique d’h´ematocrite entre branche m`ere et branches filles, qui s’´ecrit
X
i∈J
HiQi = 0, (4.11)
o`uHiest l’h´ematocrite dans chaque segment vasculaire. Dans le cas des bifurcations convergentes, aucune relation suppl´ementaire, autre que la conservation du flux mas-sique, n’est impos´ee. On voit donc qu’une caract´eristique des mod`eles de s´eparation de phase est de n’envisager l’importance d’effets hydrodynamiques locaux que pour les bifurcations divergentes, puisque pour les bifurcations convergentes, il n’est pas n´ecessaire d’utiliser de loi de r´epartition locale. Des justifications hydrodynamiques partielles ont ´et´e propos´ees pour les mod`eles de s´eparation de phase que nous allons maintenant d´etailler. Nous ferons ensuite une revue rapide des diff´erents mod`eles propos´es dans la litt´erature.
Fig.4.3 – Illustration de la s´eparation de phase dans une s´erie de bifurcations divergentes.
Une couche d´epourvue de cellules se forme pr`es de la paroi, des ´ecoulements plasmatiques ou encore de globules rouges “en file” peuvent apparaˆıtre pour les plus petits tubes.
Fig. 4.4 – Distinction des bifurcations (a) divergente et (b) convergente. Ces classes de bifurcations sont d´efinies par le sens de l’´ecoulement.
4.2.1 Explications hydrodynamiques
La distribution non uniforme d’h´ematocrite, `a une bifurcation divergente, r´esulte principalement de deux facteurs : d’une part de la distribution non uniforme des globules rouges dans la branche m`ere, et d’autre part de la d´eviation des trajectoires des globules rouges par rapport aux lignes de courant de l’´ecoulement `a proximit´e de la bifurcation.
“Plasma skimming”
Plusieurs analyses th´eoriques du ph´enom`ene (Enden & Popel, 1994; Fentonet al., 1985b) se concentrent sur l’impact de la r´epartition de globules rouges dans la branche m`ere, en supposant qu’ils suivent les lignes de courant de l’´ecoulement ob-tenu sans cellule. L’h´ematocrite dans les branches filles est alors d´etermin´e par celui de la r´egion de la branche m`ere qui vient les alimenter. Cependant, l’´ecoulement pr´es des parois, o`u se forme une couche plasmatique, ne contient pas de cellules. Ces deux effets se conjuguent pour que la branche fille ayant le plus faible ´ecoulement re¸coive une plus grande quantit´e de plasma. L’h´ematocrite y est alors plus faible.
“Red cell screening”
L’hypoth`ese que les globules rouges suivent les lignes de courant de l’´ecoulement en l’absence de cellules est raisonnable pour des vaisseaux dont le diam`etre est grand devant celui des globules rouges. Cette hypoth`ese est cependant difficilement justifiable pour les segments de petits diam`etres, dans lesquelles la s´eparation de phase est forte. Si la cellule n’est pas petite devant le diam`etre du segment vascu-laire emprunt´e, son centre de masse peut facilement d´evier des lignes de courant de l’´ecoulement de base. El-Kareh & Secomb (2000) ont montr´e que la d´eviation des particules par rapport `a l’´ecoulement de base pouvait ˆetre importante pour les bifur-cations de vaisseaux de petits diam`etres, mais qu’elle d´epend de mani`ere complexe de l’orientation initiale des globules rouges.
Fig. 4.5 – Observationin vivode la s´eparation de phase dans une bifurcation divergente du m´esent`ere chez le rat, l’´ecoulement se faisant de haut en bas (photographie tir´ee du Handbook of Physiology – Microcirculation (2002)).
Pour conclure, il est important de noter que les interactions complexes entre
champ de vitesse et d´eformation des globules rouges, observ´ee sur la figure 4.5, n’ont jamais ´et´e ´etudi´ees en d´etail dans ce contexte. De plus, l’explication cin´ematique de la s´eparation de phase n’exclut pas compl`etement la possibilit´e de couplages non locaux dans la r´epartition des h´ematies, puisque l’on pourrait imaginer que les trajectoires
`
a un endroit d´ependent des trajectoires amont au-del`a d’une seule bifurcation.
4.2.2 Mod`eles empiriques
De nombreuses ´etudes ont cherch´e `a d´ecrire et ´evaluer la r´epartition de l’h´ ema-tocrite dans des bifurcations micro-vasculaires simples. Les diff´erentes approches propos´ees, fond´ees sur la configuration locale de l’´ecoulement, permettent des des-criptions simples du ph´enom`ene, pouvant ainsi ˆetre appliqu´ees `a des r´eseaux. Le principe de ces lois ph´enom´enologiques est de permettre d’´evaluer l’h´ematocrite dans chacune des branches filles d’une bifurcation divergente, pour lesquelles une seule
´equation constitutive est disponible. Une bifurcation est form´ee de trois branches, indic´eesm pour la branche m`ere et α etβ pour les filles. En utilisant la relation de conservation des d´ebits (4.10), la relation (4.11) devient
γαθα+ (1−γα)θβ = 1, (4.12) o`u γ et θ sont respectivement les rapports de d´ebits et d’h´ematocrites entre la branche indiqu´ee en indice et la branche m`ere.
Les diff´erents mod`eles proposent des hypoth`eses diff´erentes sur la d´ependance de θα avec les param`etres locaux. Les d´etails math´ematiques de ces mod`eles sont expos´es dans la section 2.2 de l’article dispos´e `a la fin de ce chapitre. Nous ´evoquons ici les mod`eles plus usit´es ainsi que leurs principales caract´eristiques.
Fond´ee sur une exp´erimentation in vitro, la proposition faite par Dellimore et al.
(1983) est la plus simple. Elle ne tient compte que des d´ebits locaux dans les diff´erentes branches de la bifurcation et de l’h´ematocrite dans la branche m`ere, et ignore donc la g´eom´etrie de la bifurcation. Le mod`ele est pilot´e par un param`etre libre choisi pour minimiser les diff´erences avec l’exp´erience. Du fait de sa simplicit´e, ce mod`ele est tr`es robuste lorsqu’il est utilis´e sur un r´eseau.
Fenton et al. (1985b, 1985a) ont ´et´e les premiers `a montrer que la r´epartition des d´ebits et de l’h´ematocrite m`ere n’´etaient pas les seuls ´el´ements d´eterminants, en utilisant le diam`etre de la branche m`ere ainsi que le diam`etre des globules rouges pour ´evaluer la r´epartition des d´ebits.
Enfin, le mod`ele le plus complexe et le plus utilis´e, est celui propos´e par Pries et al.
(1989). Cette ´etude in vivo indique notamment qu’il existe une valeur critique du rapport des d´ebits pour laquelle seul du plasma entre dans une branche fille. Ce mod`ele pr´evoit aussi que le rapport des diam`etres des branches filles influe forte-ment sur la r´epartition des h´ematocrites alors, qu’au contraire, les angles et les
Fig.4.6 – Rapport d’h´ematocriteθα en fonction du rapport des d´ebitsγα pour le mod`ele de s´eparation de phase propos´e par Pries & Secomb (2005). Deux configuration sont repr´esent´ees : Df = Dα = Dβ = 15 µm en trait continu et Df = 20 µm, Dα = 10 µm etDβ = 15µm en trait discontinu.
orientations des segments vasculaires formant la bifurcation n’ont aucun effet sur la s´eparation de phase.
Un peu plus tard, Pries & Secomb (2005) ont propos´e une seconde version plus ro-buste vis-`a-vis des configurations d’h´ematocrite m`ere et de diam`etres plus extrˆemes, venant ainsi corriger le fait que le premier mod`ele peut renvoyer des valeurs h´ e-matocrites sup´erieures `a l’unit´e, ce qui n’est physiquement pas acceptable. Le com-portement de la seconde version du mod`ele est report´e sur la figure 4.6 pour deux configurations de bifurcations micro-vasculaires. Il est int´eressant de remarquer que le rapport d’h´ematocrite peut ˆetre nul (´ecoulement plasmatique) pour des rapports de d´ebits suffisament faibles. De plus, pour une certaine gamme du rapport de d´ebits, il est possible qu’une branche fille re¸coive un h´ematocrite plus ´elev´ee que celle de la branche m`ere.