Méthodes numériques

Les modèles numériques ont vu le jour à la fin des années 70 et de nombreuses études ont par la suite été conduites dans le domaine des interactions entre le vent et la mer. Ces tra-vaux apportent une aide précieuse aux théoriciens dans la compréhension des mécanismes physiques, et la comparaison de leurs résultats avec les données exprimentales permettent d’améliorer les hypothèses introduites pour traduire le comportement des écoulements tur-bulents et leurs interactions avec les mouvements induits par la surface. La modélisation numérique du problème physique des interactions entre le vent turbulent et le champ de vagues demande une description réaliste des ces deux écoulements fluides.

3.1.1 Les équations générales

De manière simplifiée, le champ de vagues est généralement représenté par une houle de Stokes bi-dimensionnelle. La vague type, caractérisée par la grandeur adimensionnelle ak définissant la cambrure moyenne, s’écrit au second ordre sous la forme suivante :

η(x, t) =acos(kx−ωt) +1

2a²k1 + cos 2(kx−ωt) (3.1) où η(x, t) est l’élévation,aest l’amplitude de la vague,k est le nombre d’onde etω est la pulsation.

Le temps et l’espace sont reliés par la relation de dispersion

w²=gk+σk³ où gest la gravité et σ la tension de surface. (3.2) L’écoulement d’air est turbulent, supposé stationnaire, bidimensionnel en moyenne et in-compressible. Le mouvement turbulent est décrit par les équations de continuité et de Navier-Stokes. Afin de rendre compte de la nature turbulente de l’écoulement, les dif-férentes grandeurs instantanées (p, u_i) sont décomposées en une partie moyenne et une partie turbulente. Ici u1 =u,u2 =v etu3 =w.

( p=p+p⁰

ui=ui+u⁰_i i= 1,2,3 (3.3)

3.1 Méthodes numériques Utiliser cette décomposition, et appliquer l’opérateur de moyennes aux équations de Navier-Stokes et de continuité, conduit aux équations moyennes de Reynolds :

∂ui

qui fait intervenir le tenseur de Reynolds, celui-ci représentant l’effet de la turbulence sur l’écoulement moyen.

σ_ij⁰ =−ρ_au⁰_iu⁰_j (3.6)

Ce système d’équations est un système ouvert. Pour le résoudre, on utilise des schémas de fermeture établis sur la base d’hypothèses physiques qui permettent d’exprimer les tensions de Reynolds à partir des propriétés moyennes de l’écoulement. Les principaux schémas de fermeture utilisés sont détaillés ci-après.

3.1.2 Modèles à viscosité turbulente

Ces modèles utilisent le principe de viscosité turbulente. Ce principe suppose une re-lation entre le tenseur de Reynolds σ_ij⁰ et le tenseur du taux de cisaillement des grandeurs moyennes. La relation qui en découle est connue comme l’hypothèse de fermeture de Bous-sinesq :

σ_ij⁰ = 2ν_tS_ij−2

3ρeδ_ij (3.7)

où ν_t est la viscosité turbulente,el’énergie cinétique de la turbulence etS_ij le tenseur du taux de cisaillement défini par

S_ij = 1

La diversité de ces modèles provient des différentes descriptions du coefficient de viscosité turbulente νt suivantes.

3.1.2.1 Modèle à longueur de mélange

Dans le modèle à longueur de mélange, la viscosité turbulenteν_tdépend de la longueur de mélange lm qui caractérise l’échelle de corrélation de la turbulence.

Exemple pour un écoulement plan : ν_t=l²_m Cependant, cette longueur de mélange est généralement fixée de manière empirique. Ainsi cette modélisation donne des résultats satisfaisants pour des configurations simples mais est insuffisante pour décrire un écoulement turbulent plus complexe. Les modèles à équa-tions de transport offrent des perpespectives plus larges.

CHAPITRE 3. Approche numérique

3.1.2.2 Modèle à une équation de transport (e-l)

Ici, la viscosité tourbillonaireν_tdépend d’un nouveau paramètre représentatif de l’écou-lement, l’énergie cinétique de la turbulence e.

ν_t=l_te^1/2 (3.10)

L’évolution de ce paramètre est décrite par l’équation bilan de l’énergie cinétique de la turbulence. En supposant que l’agitation turbulente est stationnaire, il y a égalité entre les termes de production et de dissipation de la turbulence. Ces modèles apportent une équation supplémentaire, appelée équation de transport de la turbulence qui introduit de nouveaux termes tels que la production et la dissipation visqueuse de la turbulence.

Dans le cas des modèles e-l, c’est dans la paramétrisation de l’échelle de longueur de la turbulence et de la dissipation que réside la difficulté et la finesse de la méthode.

3.1.2.3 Modèle à deux équations de transport (e-)

La viscosité turbulente est maintenant décrite à partir de l’énergie cinétique de la turbulenceeet de la dissipation visqueuse,

ν_t=c_µe²

(3.11)

et l’on introduit une équation supplémentaire qui décrit l’évolution de la dissipation . Ce schéma de fermeture est le plus couramment utilisé car il prend en compte les variations spatiales de l’agitation turbulente mais il reste insuffisant pour décrire les écoulements à géométrie complexe.

3.1.3 Modèles de fermeture au second ordre

Les modèles de fermeture du second ordre ne découlent plus du concept de viscosité turbulente. Les équations dynamiques régissant les tensions de Reynolds¹ sont résolues.

Ces équations sont obtenues à partir d’opérations mathématiques entre les équations de Navier-Stokes et les équations de Reynolds. Ce nouveau système d’équations contient des termes du troisème ordre qui doivent être paramétrés afin de fermer le système global regroupant les équations régissant les valeurs moyennes et les équations de transport des tensions de Reynolds :

∂u⁰_iu⁰_j

∂t +u_k∂u⁰_iu⁰_j

∂x_k =P_ij +T_ij+ Π_ij −_ij (3.12) où les termes de droite représentent la productionP_ij, la diffusion turbulenteT_ij, le travail des corrélations pression-vitesse Π_ij et la dissipation visqueuse_ij.

Ces modèles sont notamment capables de prendre en compte les effets de la distorsion rapide de la turbulence.

1qui sont aussi appelées les corrélations du second ordre.

3.2 Les modèles numériques appliqués aux interactions océan-atmosphère