Bilan de l’énergie cinétique de la turbulence écrit dans un repère curviligne

L’intérêt de nos mesures est qu’elles sont réalisées sur un support mobile, ce qui permet d’étudier les processus de couplage vent-vagues au plus près de l’interface. Cela nécessite

10.7 Bilan de l’énergie cinétique de la turbulence écrit dans un repère curviligne d’exprimer les équations bilan dans le repère curviligne x^∗_i = (x, ξ, t) où ξ =z−η. Dans ce système de coordonnées, l’équation de continuité s’écrit :

∂ui

En utilisant une décomposition en parties moyennes et fluctuantes, cette équation devient :

∂(ui+u⁰_i)

On applique la moyenne temporelle pour obtenir l’équation de continuité du mouvement moyen :

En soustrayant l’équation 10.28 à l’équation 10.27, on obtient l’équation de continuité des mouvements fluctuants :

Ces nouvelles écritures de l’équation de continuité impliquent que les relations (équa-tions 10.2) obtenues dans le repère cartésien ne sont plus valables dans le repère curviligne.

Les équations de Navier-Stokes s’écrivent dans le repère curviligne :

∂ui

où τij est le tenseur de cisaillement défini par : τij =ν∂ui

∂x_j (10.31)

Cependant, dans ce repère, l’écriture des tensions visqueuses sous cette forme est justifiée si l’on suppose que des termes sont négligeables. En effet, le passage du repère cartésien x_i au repère curviligne x^∗_i de ces tensions visqueuses s’écrit :

ν∂²ui

CHAPITRE 10. Analyse critique de la méthode Inertio-Dissipative en présence d’ondes de surface

En utilisant la décomposition précédente, les équations de Navier-Stokes s’écrivent :

∂(ui+u⁰_i) On applique l’opérateur de la moyenne temporelle à l’équation 10.33 pour obtenir les équations de Reynolds écrites dans le repère curviligne :

∂u_i

On obtient les équations du mouvement turbulent en soustrayant l’équation 10.34 à l’équa-tion 10.33 :

En développant cette équation et en utilisant l’équation moyenne de continuité, on obtient :

∂u⁰_i

L’étape suivante consiste à multiplier l’équation 10.36 par u⁰_i afin de former les termes 1

2u⁰_iu⁰_i. Les termes grisés formeront alors le produit d’un terme moyen et d’un terme fluc-tuant. Par la suite, nous utiliserons la moyenne temporelle, ce qui aura pour effet d’annuler

10.7 Bilan de l’énergie cinétique de la turbulence écrit dans un repère curviligne ces termes grisés. Afin de simplifier l’écriture, nous regroupons ces termes sous l’appelation O :

L’équation 10.36 multipliée par u⁰_i s’écrit alors :

∂¹₂u⁰_iu⁰_i

On somme ces équations en incrémentant i, ce qui donne :

De⁰

où chaque indice indique dorénavant la sommation.

L’écriture des termes de viscosité sous la forme précédente nécessite de négliger des termes d’ordres élevés. Dans le repère cartésien x_i, l’égalité suivante est vérifiée :

u⁰_i∂²u⁰_i

CHAPITRE 10. Analyse critique de la méthode Inertio-Dissipative en présence d’ondes de surface

L’écriture de l’équation 10.40 dans le repère mobile x^∗_i fait apparaitre des termes négli-geables par rapport à u⁰_i∂²u⁰_i

On peut donc considérer que l’équation 10.40 reste valable dans le repère mobile. De plus, via l’équation de continuité 10.29, on obtient l’égalité suivante :

u⁰_i∂p⁰

On transpose ensuite cette égalité dans l’équation 10.39, puis on moyenne tous les termes via l’opérateur de la moyenne temporelle :

De⁰ Les corrélations entre les variables fluctuantes et les dérivées spatiales et temporelles de l’élévation étant, par définition, dépendantes des contributions induites par les mouve-ments de l’interface, il nous parait judicieux de décomposer à présent les termes fluctuants

10.7 Bilan de l’énergie cinétique de la turbulence écrit dans un repère curviligne en parties induites et turbulentes. De plus, cette décomposition permet de faire apparaitre les contributions des structures induites et turbulentes dans le bilan de l’énergie cinétique fluctuante. Ainsi, l’équation 10.43 s’écrit :

D˜e

Les termes grisés nécessitent un développement annexe :

u⁰_i∂u⁰_iu⁰_j

où les termes encadrés sont nuls, ainsi :

u⁰_i∂u⁰_iu⁰_j

CHAPITRE 10. Analyse critique de la méthode Inertio-Dissipative en présence d’ondes

10.7 Bilan de l’énergie cinétique de la turbulence écrit dans un repère curviligne Ainsi, l’équation bilan de l’énergie cinétique de la turbulente dans un repère curviligne s’écrit : qui se simplifie sous la forme :

D˜e

CHAPITRE 10. Analyse critique de la méthode Inertio-Dissipative en présence d’ondes de surface

En nommant chaque terme comme suit, l’équation 10.49 s’écrit de la manière suivante : T EC⁰

Dans cette équation, on retrouve les termes classiques tels que le taux de variation, la pro-duction, la diffusion et la dissipation visqueuse de la turbulence qui interviennent dans le bilan de l’énergie cinétique fluctuante écrit en coordonnées cartésiennes. Mais, s’ajoutent des termes supplémentaires induits par les mouvements du repère. Ces termes supplé-mentaires sont analogues aux termes « classiques », mais ils sont directement liés aux mouvements de l’interface donc aux structures associées à ces mouvements. On utilisons la notation suivante pour définir l’ensemble de ces termes dans la suite de l’étude :

1. Taux de variation de l’énergie cinétique fluctuante : T EC⁰ = T EC] + T EC⁰⁰

De⁰

Dt = D˜e

Dt + De⁰⁰ Dt

2. Production de turbulence par l’écoulement moyen via les tenseurs de Reynolds : Production fluctuante = Production induite + Production turbulente

P rod⁰ = P rod] + P rod⁰⁰ 3. Interactions entre les écoulements induits et turbulents :

Int=−u˜_i∂he⁰⁰i

4. Diffusion des mouvements induits par eux-mêmes : Diff] =−1

5. Diffusion des mouvements turbulents par eux-mêmes : Diff⁰⁰ =−1

ρ

∂p⁰⁰u⁰⁰_i

∂x_i −u⁰⁰_i∂u⁰⁰_iu⁰⁰_j

∂x_j

10.7 Bilan de l’énergie cinétique de la turbulence écrit dans un repère curviligne 6. Diffusion visqueuse de l’écoulement :

Diffusion visqueuse = Diffusion visqueuse induite + Diffusion visqueuse turbulente

Diffν = Diff]_ν + Diff_ν⁰⁰

7. Dissipation visqueuse de l’écoulement :

Dissipation visqueuse = Dissipation visqueuse induite + Dissipation visqueuse turbulente

Diss_ν = Diss]_ν + Diss⁰⁰_ν

−2νS_ij⁰² = −2νS˜_ij² + −2νS_ij⁰⁰² Les termes suivants proviennent de l’écriture du bilan d’énergie cinétique dans le repère curviligne ; ces termes sont donc liés à la cinématique de la zone de contrôle. On les notera avec l’exposant ^ξ. On définit alors les termes suivants :

a) Taux de variation de l’énergie cinétique de la turbulence lié à la cinématique du repère :

T EC^0ξ = T EC]^ξ + T EC^00ξ

b) Production de turbulence par l’écoulement moyen via les tenseurs de Reynolds liée à la cinématique du repère :

P rod^0ξ = P rod]^ξ + P rod^00ξ c) Interactions entre les écoulements induits et turbulents liées à la cinématique du repère :

Int^ξ =−u˜_i∂he⁰⁰i d) Diffusion des mouvements induits par eux-mêmes liée à la cinématique du repère :

Diff]^ξ=−1

e) Diffusion des mouvements turbulents par eux-mêmes liée à la cinématique du repère : Diff^00ξ=−1

CHAPITRE 10. Analyse critique de la méthode Inertio-Dissipative en présence d’ondes de surface

f) Diffusion des mouvements moyens liée à la cinématique du repère :

Diff^ξ=−∂u_i

En supposant que l’écoulement est permanent, bi-dimensionnel, uni-directionnel en moyenne et homogène suivant ~x, les différents termes de l’équation 10.50 s’écrivent :

T EC⁰ = 0

10.7 Bilan de l’énergie cinétique de la turbulence écrit dans un repère curviligne

où les termes grisés sont des termes que nous ne sommes pas en mesure de calculer à partir de nos données expérimentales.

En ce qui concerne les termes visqueux, nous supposerons que la diffusion visqueuse est négligeable. La dissipation visqueuse sera calculée à partir de la première paramétri-sation étudiée dans le paragraphe 10.2. Cependant, nous sommes en mesure de calculer ce terme à l’échelle des mouvements induits, soit le termeDiss]_ν qui se développe, suivant les hypothèses énoncées précédemment, de la manière suivante :

Diss]ν =−ν

Le calcul de tous ces termes à partir de nos mesures nécessite de prendre en compte les composantes induites et turbulentes via le moyennage de phase.

Par ailleurs, de nombreux termes font apparaître des gradients (horizontaux ou verti-caux) de variables moyennées en phase. Or la dispersion propre aux mesures expérimen-tales ne permet pas un calcul direct de ces gradients. Nous avons dû lisser puis calculer des régressions exponentielles verticales à chaque phase sur l’ensemble de nos données (hormis pour la vitesse horizontale hui où nous avons choisi d’utiliser une régression lo-garithmique). L’utilisation de regréssions exponentielles peut être discutable, cependant nous avons testé d’autres types de régressions (Polynomiales d’ordre 2 ou 3, puissance, etc...) et la structure moyenne de l’écoulement reste similaire pour l’ensemble des régres-sions testées. Nous avons donc conservé la régression exponentielle qui reste la méthode la plus employée pour décrire l’amortissement vertical des variables liées aux mouvements de l’interface.

Les figures A.14 à A.33, reportées dans les annexes, présentent les structures des dif-férentes variables de l’écoulement à partir des données brutes (à gauche) et à partir des données « lissées » (à droite).

Enfin, les gradients longitudinaux sont calculés à partir des variables moyennées en phase. Via la relation de dispersion, on peut convertir l’échelle temporelle (exprimée en

CHAPITRE 10. Analyse critique de la méthode Inertio-Dissipative en présence d’ondes de surface

degrés entre 0 et 360) en échelle spatiale (exprimée en mètres entre 0 et λ). Nous pou-vons alors calculer des gradients longitudinaux de manière locale pour chaque intervalle séparant deux pas de temps (et d’espace).

10.8 Estimation expérimentale du bilan de l’énergie