Méthodes enthalpiques

La méthode enthalpique consiste à rechercher la valeur de la capacité calorifique apparente sur

la base de la courbe d’enthalpie en fonction de la température. Cette méthode fut améliorée

⁴⁴

par

[Pham, 1985, Pham, 1986] et nommée alors ”the three level enthalpy method”, sur la base des travaux

menés en 1946 par [Eyres et al., 1946] puis par [Rose, 1960, Butler and Kerr, 1962]. A la base, cette

méthode visait à modéliser la conduction de chaleur pour des propriétés matériaux dépendantes de la

température. La méthode a été évaluée par [Bell and Wood, 1983] d’abord sur un exemple 1D avec

so-lution analytique [Carslaw and Jaeger, 1959] et a montré de bons résultats, puis sur un exemple 2D avec

solution analytique et montre d’une part que des adaptations du code devaient être réalisées et d’autre

part que cette méthode présentait encore en 1983 des défis à relever en terme d’évaluation de la capacité

calorifique et de la convergence du modèle.

L’évaluation de la capacité calorifique apparente a posé et pose encore aujourd’hui de nombreuses

questions, en particulier de part la forte non linéarité due à la chaleur latente de fusion et aux précautions

nécessaires relatives au champ initial (qui doit être suffisamment régulier) et stationnaire. Il a donc été

souvent question, durant les années 70 et 80, d’évaluer le terme de capacité calorifique au plus juste.

Deux types de méthodes ont été identifiées pour cette évaluation : la première par la moyenne spatiale,

la seconde par la moyenne temporelle.

Dans le cas d’un alliage, la solidification est étalée sur une plage de température, appelée l’ ”intervalle

de solidification” (Figures 3.10 et 3.11) [Dantzig and Rappaz, 2009]. Dans cet intervalle de solidification

se trouvent mélangées la phase solide et la phase liquide.

Dans le cas d’un alliage, cette libération d’énergie peut être modélisée sous plusieurs formes, de telle

manière que le saut d’enthalpie simplifié suit une droite inclinée (qui traduit des propriétés matériaux

constantes pour chaque domaine, solide, pâteux et liquide) (Figure 3.10), ou alors de façon plus complexe

comme proposé par le logiciel thermodynamique JMAtPro (Figure 3.11).

F

IGURE

3.10 – Tracé schématique de l’enthalpie en fonction de la température pour un alliage à

proprié-tés matériaux constantes par morceaux (Source : [Dantzig and Rappaz, 2009])

F

IGURE

3.11 – Tracé de l’enthalpie en fonction de la température pour un alliage AlSi7Mg (Source :

[JMatPro, 2014])

D’un point de vue théorique, il est possible de moyenner la formulation en espace ou en temps, c’est

précisément ces deux modèles que nous allons détailler immédiatement.

3.8.1 Moyenne spatiale

Sur la base de l’expression de la différentielle de l’enthalpiedH=ρc

_{p app}

dT, il est possible

d’ef-fectuer une différentiation par rapport à l’espace. Ce qui donne

^∂H_∂x

=ρc

_{p app}^∂T_∂x

. En isolant la capacité

calorifique, on obtient :

∂H ∂x

∂T ∂x

=ρc

_{p app}

(3.19)

Ce rapport est le fondement des méthodes de type moyenne spatiale. A partir de là, plusieurs auteurs ont

proposé des expressions.

[Comini et al., 1974, Morgan et al., 1978] ont proposés :

ρc

_{p app}

= 1

2⁽

∂H ∂x ∂T ∂x

+

∂H ∂y ∂T ∂y

) (3.20)

[Lemmon, 1979] a proposé

⁴⁵

:

ρc

_{p app}

=

v

u

u

t

(

^∂H_∂x

)²

(

^∂T_∂x

)²⁺

(

^∂H_∂y

)²

(

^∂T_∂y

)² ^(3.21)

[Del Giudice et al., 1978] proposa pour un modèle 2D des dérivées spatiales croisées :

ρc

_{p app}

=

v

u

u

t

(

^∂H_∂x^∂T_∂y

)

(

^∂T_∂x

)² ⁺

(

^∂H_∂x ^∂T_∂y

)

(

^∂T_∂x

)² ^(3.22)

[Rolph and Bathe, 1982] fait toutefois remarquer que le pas de temps doit être suffisamment petit

pour ne pas manquer le changement de phase. C’est à dire qu’il doit être plus petit que le temps nécessaire

au changement de phase (temps pour passer du liquidus au solidus). Par conséquent, ces méthodes ne

peuvent pas être employées pour des changements de phase isothermes.

[G. Comini and Saro., 1989, Comini et al., 1990] à la fin des années 1980 va un pas plus loin en

proposant un schéma implicite centré :

ρc

_{p app}

= ^H

n+1

−H

ⁿ⁻¹

T

n+1

−T

n−1

(3.23)

Il s’agit là d’une formulation de la capacité calorifique que nous retrouverons très prochainement

dans la méthode enthalpique actuelle.

En regard de la moyenne spatiale, une moyenne temporelle peut être utilisé.

3.8.2 Moyenne temporelle

[Pham, 1995] défend l’idée que la moyenne temporelle est plus physique que celle spatiale, dans

la mesure où si l’on divise l’équation mixte de la chaleur en enthalpie-température (Equation 2.1) par

l’équation en température (Equation 2.2), nous obtenons une moyenne temporelle :

∂H ∂t

=...

ρc

_{p app}^∂T_∂t

=... ^⇒ρc

^{p app}

⁼

∂H ∂t

∂T ∂t

(3.24)

De cette manière, la convergence vers la bonne solution est garantie, ce qui n’est pas le cas pour la

moyenne spatiale. De manière générale, même si le schéma temporel semble plus efficace que le schéma

spatial, il est moins répandu. Par ailleurs, de même que les moyennes spatiales, les moyennes temporelles

ne peuvent pas être employées pour les corps purs d’après les auteurs

[Pham, 1995, Tamma and Namburu, 1990, C.R. and Voller, 1993].

Après cette introduction, intéressons nous à la méthode enthalpique comme proposée actuellement.

3.8.3 Algorithme de la méthode enthalpique

Dans la proposition ”the three level enthalpy method” [Pham, 1995] évalue de la manière suivante la

capacité calorifique apparente (Algorithme 4) :

45. Notons que cette expression a encore été utilisée par [Venkatesan et al., 2005]. Ce qui prouve l’utilité de ces approxima-tions.

Algorithme 4Algorithme de la méthode enthalpie

Boucle en temps

A partir d’un pas de tempst

ⁿ

, une températureT(t

^n+ζ

)est évaluée par une extrapolation, et par

suitek(T(t

n+ζ

))

A partir de l’équation 2.1,h

^n+ζ

est résolue par l’équation mixte de la chaleur

Evaluation de la capacité calorifique apparente commec

_{p app}

=

^h_Tⁿ_n⁺₊^ζ_ζ⁻₋^h_Tnⁿ

A partir de l’équation 2.2,T(t

ⁿ⁺¹

)est calculé (équation de la chaleur en T)

Si bonne convergence alors sortie de l’évaluation

Si non ré-évaluation de la capacité calorifique apparente

Algorithme 5Algorithme de la méthode ”Temperature Recovery Method”

Boucle en temps

A partir d’un pas de tempst

ⁿ

, une températureT(t

ⁿ⁺¹

)est évaluée par une extrapolation, et par

suitek(T(t

ⁿ⁺1

))

Evaluation à partir de l’équation 2.1 deh

ⁿ⁺¹

est résolu avecT(t

ⁿ⁺¹

)par l’équation mixte de

la chaleur

A partir de la figure 3.11,T

ⁿ⁺¹

est mise à jour

Si bonne convergence alors sortie de l’évaluation

Si non ré-évaluation deh

ⁿ⁺¹

Une alternative à cette méthode appelée ”Temperature Recovery Method” (Algorithme 5),

dévelop-pée par [Tszeng et al., 1989, Dantzig and Rappaz, 2009] consiste à découpler la non linéarité d’avec la

libération de chaleur latente. Ainsi, dans un schéma temporel implicite, le pas de temps suivant est évalué

sans chaleur latente. Une fois ce terme trouvé, il est corrigé d’un incrément de chaleur latente, calculé à

partir de la différence de température entre les deux pas de temps.

Nous constatons que la recherche du champ solution via l’équation de la chaleur, exprimée en

en-thalpie et en température a fait l’objet de nombreuses recherches.

Une autre méthode enthalpique, plus récente prend racine chez [Desbiolles et al., 1987, Magenes et al., 1987,

Paolini et al., 1988] à la fin des années 1980. Elle a inspiré [Nedjar, 2002] au début des années 2000,

sur la base de laquelle Feulvarch a proposé une méthode complémentaire que nous allons détailler

[Feulvarch and Bergheau, 2007, Feulvarch et al., 2009, Feulvarch et al., 2011, Feulvarch et al., 2012, Feulvarch, 012a].

A notre tour, nous réaliserons une étape supplémentaire dans cette direction.

Dans le document Simulation numérique de la solidification avec réduction de modèle PGD appliquée à la fonderie (Page 101-104)