Analyse du ”PROFILER”

L’option ”PROFILER” de Matlab permet d’analyser le code et en particulier de connaitre le nombre

de passages (ainsi que le temps passé) dans telle boucle ou telle opération. Il indique également le temps

de calcul. Dans notre cas la méthode MEF (1288s) et la méthode PGD (75s), nous retrouvons bien le

rapport de 17.

Optimisation du code Nous avons observé que dans le cas de référence, le majorité du temps passé

dans le calcul de référence se trouve dans l’assemblage des matrices élémentaires (~1170 s) sur un total

de 1322s. Alors que la résolution des systèmes est bien plus rapide (~9,4s). En d’autre termes, le coût

de l’assemblage est très supérieur au coût de l’inversion de matrice. Ceci s’explique par le fait que le

logiciel Matlab n’est pas optimisé pour calculer les boucles ”for”, or les deux méthodes reposent sur de

nombreuses boucles ”for”

⁴²

.

Nombre de pas de temps calculés Le profiler nous indique que les méthodes de référence et PGD

calculent tous deux 400 pas de temps. Cette comparaison est très importante car à chaque pas de temps

calculé est associé une boucle Newton-Raphson dans le cas de référence.

Détermination du nombre de systèmes à résoudre Le profiler nous informe que pour la PGD, une

moyenne de 7 itérations point fixe est nécessaire par enrichissement. Il y a par ailleurs pour chaque point

fixe deux systèmes à résoudre (RetS). De plus, il est à noter que le nombre de systèmes à résoudre n’est

pas directement lié au nombre de pas de temps pour la PGD (la discrétisation temporelle est réalisée a

priori), il est fonction de la convergence des itérations du point fixe. Ceci contrairement à la méthode

de référence dont le nombre de systèmes à résoudre est directement lié au nombres de pas de temps

nécessaires. Pour cette dernière méthode, une moyenne de 3,2 itérations Newton-Raphson sont nécessaire

par pas de temps. Dès lors, nous pouvons présenter le tableau suivant :

PGD REF Gain

Nombre d’enrichissements 2

Nombre moyen de points fixes/enrichissement 7

Nombre de système par point fixe 2

Nombre de pas de temps calculés 400 400 1

Nombre moyen d’itérations NR/pdt 3,2

Nombre de systèmes à résoudre 28 1264 45

Temps de calcul (s) 75 1288 17

Erreur par rapport à la référence <2%

T

ABLE

3 – Tableau algorithmique comparatif afin d’établir le nombre des systèmes à résoudre pour

chacune des méthodes

Au regard du nombre de systèmes linéaires à résoudre, la PGD en présente 45 fois moins. Attention

cependant à bien considérer que le point fixe est compté pour rechercher l’inconnue R mais ensuite,

il faut rechercher l’inconnueS (soit 14 pour rechercherRet 14 pour rechercher S). Il faut néanmoins

s’assurer que les matrices à inverser de la PGD sont de la même structure que celles de la méthode de

référence.

Analyse des matrices à résoudre Les matrices à inverser, tant pour la méthode de référence que pour

la recherche deRet deSsont des matrices bandes. Par construction, la matrice à inverser pour rechercher

S est de largeur de bande égale à 3. La matrice à inverser pour rechercherRest identique à cette pour

la matrice de référence (Equation 2.19). La résolution deSest donc négligeable devant celle deR, nous

arrivons alors à un gain théorique de 90 !

Conclusion sur l’origine des gains de la méthode PGD D’une part une erreur de codage de la

mé-thode de référence est à exclure. Les deux mémé-thodes passent beaucoup de temps sur l’assemblage des

ma-trices, ce qui est normal pour Matlab. Nous avons observé que la PGD résout 45 fois moins de systèmes

et que sur les 28 systèmes résolus, la moitié l’est à un coût négligeable. Ceci nous amène à déterminer

que la méthode PGD, dans notre exemple, présente un gain théorique de 90 par rapport à la méthode de

référence.

Le gain de la méthode PGD est fonction de la très bonne convergence des itérations point fixe (gage

d’enrichissements efficaces) alors que la méthode de référence nécessite de très petits pas de temps pour

assurer la convergence.

Nous observons un gain de temps réel de 17 qui est dû au temps perdu dans les assemblages de

matrices. Un codage sur un code C ou FORTRAN rendrait cette étape beaucoup plus efficace et offrirait

un gain au delà de 17, pouvant atteindre théoriquement 90.

Fort de ces résultats positifs, l’étape suivante consistera à prendre en compte l’effet thermique de

la chaleur latente de fusion. La capacité calorifique se trouvera nettement affectée par cette chaleur

latente et sera d’autant plus non linéaire. Il sera certainement nécessaire d’adapter une nouvelle fois

notre formulation afin que soit bien prise en compte cette énergie libérée lors de la solidification.

2.7 Conclusion du chapitre

Nous avons montré dans ce chapitre que l’équation de la chaleur avec une formulation en température

seule peut être traitée en tenant compte des non linéarités matériaux. D’autre part, cette formulation peut

être résolue par la méthode PGD. Dans ce cas, il faut mettre en place une nouvelle stratégie par rapport

à l’état de l’art actuel qui consiste en une discrétisation spatiotemporelle des propriétés matériaux. Nous

avons montré que le fait de pratiquer une POD sur le champ matériau de conductivité amène à du bruit

qui nuit à la résolution. Ces propriétés matériaux sont, dans notre cas, calculées à la volée pour chaque

boucle de point fixe, sur la base de l’enrichissement précédent convergé. Par application de cette méthode

et comparaison à la méthode de référence, nous avons montré qu’elle permettait d’obtenir des résultats

rapides et fiables sur un modèle industriel 2D.

Nous n’en sommes à présent qu’à prendre en compte la non linéarité matériaux. Il est nécessaire de

considérer le relargage de la chaleur latente de fusion, qui est libérée lors de la solidification. Seule cet

apport supplémentaire d’énergie interne dans le milieu rend la courbe de refroidissement caractéristique

de celles observées sur les courbes d’analyse thermique.

Points clés du chapitre

— Prise en compte des non linéarités matériaux dans la PGD via une discrétisation spatio-temporelle

des propriétés matériaux. Cela évite de considérer une POD pour séparer les propriétés

maté-riaux ;

— Une analyse des gains générés par la méthode PGD montre que son origine repose dans la

réso-lution d’un nombre plus faible de résoréso-lution de systèmes. Dans notre exemple, un gain théorique

de 48 est mise en avant. Il est à noter que les codes ayant été développés sous Matlab, une large

partie du temps est perdue dans la construction sous forme de boucles des matrices élémentaires.

Modélisation de la thermique non linéaire

avec chaleur latente

Troisième partie

Modélisation de la thermique non linéaire avec

chaleur latente

Dans le chapitre précédent, nous avons montré la manière de prendre en compte les non linéarités

matériaux. Ceci par deux moyens, d’une part la méthode de référence qui consiste à discrétiser par

éléments finis l’espace, à employer un schéma implicite temporel, à linéariser l’équation par la méthode

de Newton-Raphson puis à la résoudre. A la suite de quoi nous avons mis en place une résolution par

réduction de modèle, précisément par la méthode PGD, afin d’améliorer les temps de résolution. Cette

méthode de réduction de modèle a montré sa capacité à traiter des non linéarités matériaux.

Une étape supplémentaire doit encore être franchie. La non linéarité matériau ne suffit pas à simuler le

changement de phase qui est l’objectif de la simulation des procédés de fonderie. Dès lors, il faut prendre

en compte la libération de la chaleur latente de fusion. Nous avons vu en partie 1 que cette énergie est

libérée par la réorganisation des atomes sous forme cristalline, plus stable, les dendrites. Cette énergie

libérée dans le milieu peut être considérée comme un terme source ajouté à l’équation de la chaleur.

De part la partie 1, et en particulier l’équation formulée en température (Equation 1.18) nous

dis-tinguons déjà plusieurs pistes de modélisation. La première consiste à considérer le terme source et à le

discrétiser comme tel. La seconde, qui est un corolaire de la première, consiste à prendre en compte une

capacité calorifique apparente, notéec

_{p app}

.

3 Modélisation du changement de phase

Il existe deux manières de formuler l’équation de la chaleur : d’une part mixte(h,T)(Equation 2.1)

ou uniquement en température (Equation 2.2). Dans le premier cas, la prise en compte de la chaleur

latente se fait sur la base de la courbe de l’enthalpie (Figure 3.11), celle-ci contient intrinsèquement la

chaleur latente de part le saut. Nous observons d’ailleurs que cette figure est beaucoup plus irrégulière que

les deux autres cas présentés (transformation isotherme (Figure 1.12) et libération de la chaleur latente

de manière linéaire (Figure 3.10)). Dans le cas de l’équation uniquement en température (Equation 2.2),

il est besoin d’ajouter le terme source, comme présenté dans la partie 1 (Equation 1.18) :

Q=ρL^∂

∂t^[f

^s

^(T)] (3.1)

Dans le document Simulation numérique de la solidification avec réduction de modèle PGD appliquée à la fonderie (Page 84-90)