hanche en GMCAO
3.4 État de l’art sur les méthodes fonctionnelles de détection du centre hanche
3.4.2 Les méthodes dites de «Technique de Transformation du Centre»
(TTC)
Comme pour les méthodes de « sphere fitting » on assume aussi qu’un segment de l’articulation est en mouvement par rapport à un deuxième segment fixe et que le centre de rotation CR est constant.
En supposant que chaque corps-rigide possède au minimum trois marqueurs, il est possible de définir une transformationT ri du corps-rigide pour chaque acquisitioni:
T ri=Ri+ti
Avec :
— Ri la matrice de rotation
— Ti la matrice de translation
Si le centre de rotation est stationnaire, il existe alors un point ˜cpour chaque transformationsT ri
tel que :
ci=Ri˜c+ti (3.4)
En définissant un système de coordonnées local au corps-rigide du segment en mouvement et un système de coordonnées global associé au localisateur, les transformations permettant le passage du système de coordonnées global à ce système de coordonnées local, permettent d’exprimer le centre de rotation directement dans le système de coordonnées local.
La translation ti et la matrice de rotation Ri représentent alors la transformation permettant d’effectuer le passage entre le référentiel global et le référentiel local (figure 3.7).
La plupart des approches utilisant ces méthodes TTC [4, 20, 16, 29] reposent sur le calcul de ces transformations (Ri, ti) afin de déterminercet ˜ccomme étant le minimum de la fonction de coût :
Nous avons identifié deux méthodes, les plus utilisées en chirurgie assistée par ordinateur, dans la littérature et qui se basent sur ces approches TTC : la méthode du point le moins mobile «the Least Moving Point» (LMP) [4] et la méthode du pivot «The Pivoting» (PIV) [20]. Ces deux méthodes adoptent deux stratégies différentes pour le calcul de centre hanche fonctionnel que nous détaillerons dans les sous-sections suivantes.
3.4.2.1 La méthode du Pivot (PIV)
La méthode originale du Pivot à été démontrée dans [20] en utilisant deux corps-rigides : un placé sur le fémur SRF (système de référence mobile), exprimé par rapport à un deuxième corps-rigide placé au niveau du bassinSRB(système de référence fixe). L’algorithme du pivot (PIV) est basé sur l’addition de vecteurs. Dans le référentiel bassin SRB, la position de l’origine du référentiel fémur OSRF,cal peut être calculée par l’addition du vecteur−−−−−−−−→OSRB,mesH au vecteur−−−−−−−−→HOSRF,mes. Ceci peut être exprimé suivant l’équation ( 3.6) :
−−−−−→
OSRF,cal=−−−−−−−−→OSRB,mesH+Rf emurbassin−−−−−−−−→HOSRF,mes (3.6)
— −−−−−−−−→OSRB,mesH: est un vecteur exprimé dans le référentiel bassin, partant de l’origine du référentiel bassinOSRB,mes vers le centre hancheH.
Figure3.7 – Transformation du référentiel global au référentiel local
— −−−−−−−−→HOSRF,mes : est un vecteur exprimé dans le référentiel fémur, partant du centre hanche H vers l’origine du référentiel fémurOSRF,mes
— Rf emurbassin: est la matrice de rotation permettant d’exprimer le référentiel fémur dans le référentiel bassin et qui exprime le vecteur−−−−−−−−→HOSRF,mes dans le référentiel bassin.
L’équation ( 3.6) est formulée avec des vecteurs mais peut également être exprimée selon les coordonnées cartésiennesx,y,zassociées à chaque vecteur :
−−−−−→
OSRF,calx=−−−−−−−−→
OSRB,mesHx+Rf emurbassin−−−−−−−−→
HOSRF,mesx (3.7)
−−−−−→
OSRF,caly=−−−−−−−−→OSRB,mesHy+Rf emurbassin−−−−−−−−→HOSRF,mesy (3.8)
−−−−−→
OSRF,calz=−−−−−−−−→OSRB,mesHz+Rf emurbassin−−−−−−−−→HOSRF,mesz (3.9) L’algorithme du pivot suppose que :
— la magnitude du vecteur −−−−−−−−→OSRB,mesH est constante (la position du centre hanche H est fixe dans le référentiel bassin).
— la magnitude du vecteur −−−−−−−−→HOSRF,mes est constante (la position du centre hanche H est fixe dans le référentiel fémur).
L’équation ( 3.6) exprime le centre hanche dans le référentiel fémur et dans le référentiel bassin simultanément. Disposant de deux positions et orientations connues du référentiel fémur on peut obtenir ainsi deux instances de l’équation ( 3.6) produisant un ensemble de six équations avec six inconnues : les coordonnéesx,y,z des vecteurs−−−−−−−−→OSRB,mesH et−−−−−−−−→HOSRF,mes.
(3.10) Le même principe peut être utilisé lorsque le corps rigide du bassin n’est pas disponible. Dans ce cas, le système de référence fixeSRBest équivalent au système de référence caméraSRC, à condition que la caméra et le bassin soient immobiles durant l’acquisition.
3.4.2.2 La méthode du point le Moins mobile « Least Moving Point» (LMP)
Dans les approches de type Sphere Fitting ou Pivot, on considère que le centre hanche est un point fixe durant le mouvement de circumduction du fémur. Or des paramètres supplémentaires doivent être pris en comptein-vivo :
1. La tête fémorale est ovoïde et irrégulière.
2. Le mouvement réalisé au membre inférieur peut provoquer des mouvements du bassin et donc des déplacements parasites du cotyle.
3. L’erreur de mesure de la caméra n’est pas égale à zéro même si elle est faible [30].
C’est pourquoi une nouvelle méthode qui ne considère pas le centre de rotation (le centre hanche) comme un point unique et fixe durant le mouvement de circumduction a été développée [4]. Cette méthode considère le centre de rotation comme étant un point mobile durant l’acquisition. Cependant, il existe un point de l’articulation pour lequel le mouvement est relativement faible, c’est le point qui bouge le moins « Least Mooving Point». La résolution du centre hanche revient donc à trouver le point qui minimise la fonction 3.11 :
f(c) =
— ci est le centre de rotation calculé à l’instanti.
— ci−1 est le centre de rotation calculé à l’instanti−1
f(c) =
Soit sous la forme du produit scalaire de deux vecteurs :
f(c) =
n
X
i=2
< Roic+T ri, Roic+T ri> (3.16) On cherche la valeur de c de manière à ce que f(c) soit minimale, c’est-à-dire que la dérivée première de f(c) soit nulle :
df(c)
dc = 0 (3.17)
En utilisant ( 3.16) et ( 3.17) nous obtenons alors :
n
Nous définissons les équations ( 3.19) et ( 3.20) et nous les utilisons dans ( 3.18) :
A=
Nous obtenons donc un système d’équation sous la forme :
Ac=b (3.21)
Trouver la valeur decrevient donc à résoudre le système ( 3.21).