Méthode d'estimation

6.4.1. Étape 1 : estimation des SDFs mensuels et quotidiens

La solution pour mettre en évidence l'effet des transactions intérimaires sur l'évaluation de la performance nécessite dans une première étape d'estimer les paramètres du SDF mensuel et du SDF quotidien. Ces paramètres peuvent être estimés par la méthode généralisée des moments (GMM) de Hansen (1982). La littérature avance qu'il est souhaitable d'estimer le SDF et l’alpha conjointement dans le même système pour des raisons de précision. Cependant, notre méthodologie demande d'estimer le SDF quotidien isolément pour pouvoir par la suite le multiplier pour obtenir le SDF mensuel capitalisé. Ce dernier est utilisé pour mesurer la performance correspondante. Afin d'avoir des résultats comparables, l'estimation est aussi effectuée en deux étapes pour obtenir la performance à partir du SDF mensuel traditionnel. L'avantage de la méthode GMM est qu'elle est plus générale et plus

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souple que les autres méthodes. Elle est intéressante car elle permet de relâcher plusieurs hypothèses restrictives comme celle associée à la normalité des rendements.

Tels que mentionnés précédemment, deux paniers de portefeuilles passifs sont utilisés pour l'estimation. Le premier panier utilise les F facteurs de risque propres à chaque modèle et l'actif sans risque. Ainsi, pour un échantillon de T observations, les F moments des SDFs des différents modèles à facteurs sont :

1

𝑇∑[𝑚𝜑,𝑡(𝜃)𝑓𝑡] − 𝑃𝑓 = 0 𝑇

𝑡=1

(24)

Ces F moments permettent l'estimation du SDF 𝑚𝜑(𝜃) = 𝜔0+ 𝜔1,𝑓 en assurant qu'il évalue correctement les F facteurs. 𝑃𝑓 est un vecteur des prix de facteur de dimension F × 1, avec 𝑃_𝑓 = 1 lorsque le facteur est un rendement brut et 𝑃_𝑓 = 0 quand le facteur est un rendement excédentaire.

L'estimation inclut également le rendement des bons du Trésor à un mois comme l'un des rendements des portefeuilles passifs. Le SDF moyen estimé correspond donc approximativement à 1/𝐸(𝑅𝐹), où 𝐸(𝑅𝐹) représente le taux sans risque, soit la moyenne du rendement brut des bons du Trésor à un mois. Le moment de cet actif sans risque est comme suit : 1 𝑇∑[𝑚𝜑,𝑡(𝜃)𝑅𝐹𝑡] − 1 = 0 𝑇 𝑡=1 (25)

Dahlquist et Söderlind (1999) soulignent l'importance de fixer la moyenne des SDFs à une valeur qui a économiquement du sens dans la démarche d'estimation des alphas SDF. Selon eux, le taux sans risque permet de tenir compte des positions liquides dans les fonds mutuels et permet d'attribuer une valeur pertinente à la moyenne des SDFs.

En utilisant le moment du taux sans risque et les moments des facteurs de risque, les équations (24) et (25) permettent d'estimer n'importe quel SDF qui est linéairement relié

47 aux facteurs. Par exemple, les deux paramètres du SDF du CAPM, 𝜃 = {𝑎₀, 𝑎_{𝑅𝑀𝐸𝑋}}, sont estimés en évaluant correctement le rendement de l'actif sans risque et le portefeuille du marché. Chaque modèle considère ses propres facteurs et l'actif sans risque pour l'estimation du SDF. Donc, les moments utilisés diffèrent d'un modèle à un autre. Normalement, le modèle de Carhart devrait évaluer plus sévèrement les fonds mutuels puisqu'il contrôle pour le marché, la taille, la valeur et le momentum. Le modèle de Fama- French contrôle seulement pour les trois premiers effets. Quant au CAPM, il prend uniquement en compte le risque du marché.

Le deuxième panier de portefeuilles passifs permet d'estimer similairement tous les SDFs, c'est à dire de considérer les mêmes moments pour les trois modèles, Ainsi, on construit un panier de 17 portefeuilles passifs formé de dix portefeuilles industriels, six combinaisons de portefeuilles de style (taille / valeur) et l'actif sans risque. L'avantage relatif à ce choix de panier est qu'il est diversifié et contient des risques potentiels auxquels les fonds mutuels sont exposés à savoir le risque de marché, de taille, de valeur et sectoriel. Pour un échantillon T, les K moments de ces différents portefeuilles passifs sont donnés par l'équation : 1 𝑇∑[𝑚𝜑(𝜃)𝑅𝐾𝑡] − 1 = 0 𝑇 𝑡=1 (26)

où 𝑅𝐾_𝑡 est le rendement de chacun des portefeuilles passifs (incluant RF).

Le premier système d'estimation utilisant les facteurs est bien identifié parce que le nombre de paramètres est égal au nombre de moments. Dans le deuxième système d'estimation, le nombre de moments (17 portefeuilles passifs) est supérieur au nombre de paramètres. La méthode Newey et West (1987) avec deux retards est employée afin de contrôler pour l'hétéroscédasticité et l'autocorrélation des rendements. Enfin, ces deux façons d'estimer les paramètres des SDFs sont appliquées tant aux données mensuelles qu'aux données quotidiennes. De plus, les SDFs quotidiens sont multipliés entre eux à l'intérieur de chaque mois afin d'obtenir les SDFs mensuels capitalisés.

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En résumé, le SDF d'un modèle 𝜑 peut être estimé à partir de ses facteurs de risque (f) ou des 17 portefeuilles passifs (K) en utilisant des données mensuelles (m) ou quotidiennes (q). Chaque modèle est donc estimé en quatre versions différentes désignées par 𝑚_{𝜑,𝑓.𝑚}(𝜃), 𝑚_{𝜑,𝑓.𝑞}(𝜃), 𝑚_{𝜑,𝐾.𝑚}(𝜃), 𝑚_{𝜑,𝐾.𝑞}(𝜃). Par exemple, 𝑚_{𝐶𝐴𝑃𝑀,𝑓.𝑞}(𝜃) est le SDF du CAPM estimé avec son propre facteur et le taux sans risque, en utilisant des données quotidiennes.

6.4.2. Étape 2 : estimation du alpha SDF

L'étape 2 consiste à estimer la performance ou l’alpha SDF par la méthode GMM. Nous favorisons l'évaluation de la performance en rendement excédentaire par rapport au rendement du marché. Ainsi, à partir de l'équation (16), les moments utilisés pour estimer les alphas SDF d'un fonds sont :

1

𝑇∑[𝑚𝜑,𝑖,𝑡 𝑅𝐹𝑀𝑡] − 1 − 𝛼𝜑,𝑖 = 0 𝑇

𝑡=1

(27)

Les SDFs utilisés devraient aussi évaluer correctement le rendement du marché :

1

𝑇∑[𝑚𝜑,𝑖,𝑡𝑅𝑀𝑡] = 1 𝑇

𝑡=1

(28)

En remplaçant le 1 de l'équation (27) par sa valeur dans l'équation (28), nous obtenons les moments principalement utilisés pour l'estimation des alphas SDF d'un fonds :

1 𝑇∑[𝑚𝜑,𝑖,𝑡(𝜃)(𝑅𝐹𝑀𝑡− 𝑅𝑀𝑡)] − 𝛼𝜑,𝑖(𝜃) = 0 𝑇 𝑡=1 (29) où :

𝑅𝐹𝑀𝑡 : rendement brut du fonds mutuel; 𝑅𝑀_𝑡 : rendement brut du marché;

𝑚_{𝜑,𝑖,𝑡}(𝜃) : SDF estimé à la première étape pour un modèle 𝜑 = {𝐶𝐴𝑃𝑀, 𝐹𝐹, 𝐶𝑎𝑟ℎ𝑎𝑟𝑡} et 𝑖 = {𝑓. 𝑚, 𝑓. 𝑞, 𝐾. 𝑚, 𝐾. 𝑞}.

49 Par exemple, 𝑚_{𝐶𝐴𝑃𝑀,𝐾.𝑞}(𝜃) et 𝛼𝐶𝐴𝑃𝑀,𝐾.𝑞 sont respectivement le SDF et la performance estimés avec le CAPM en utilisant les rendements quotidiens des K portefeuilles passifs. Comme il y a quatre versions du SDF 𝑚_𝜑,𝑖 pour un modèle 𝜑, soit les versions 𝑖 = {𝑓. 𝑚, 𝑓. 𝑞, 𝐾. 𝑚, 𝐾. 𝑞}, l'équation (29) représente quatre moments. La théorie de Hansen (1982) et la méthode de Newey et West (1987) avec deux retards sont appliquées pour faire l'inférence statistique sur les alphas SDF.

En général, la littérature considère le rendement excédentaire brut des fonds mutuels pour évaluer la performance. Dans notre cas, les moments utilisés pour estimer les alphas prend le rendement du fonds mutuel en excédant du rendement du marché. Deux raisons nous laissent croire que ces moments sont pertinents pour obtenir des estimations qui ont du sens économiquement. Premièrement, l'estimation en deux étapes peut faire perdre de la précision aux alphas évalués. En effet, les SDFs sont estimés sur toute la période de l'étude, 1984-2013. En revanche, les rendements des fonds mutuels n'ont pas nécessairement la même période d'estimation en raison de la période d'observations qui varie d'un fonds à un autre. Deuxièmement, l'estimation des SDFs avec les K portefeuilles passifs a plus de moments que de paramètres à estimer, ce qui peut mener à un problème de sur- identification. Donc, il est possible que ces SDFs n'aient pas la moyenne souhaitée et présentent des difficultés à évaluer correctement un portefeuille passif comme le rendement du marché. L'équation (29) contrôle implicitement la performance pour ces difficultés. La section 8.3.3 examinera l'importance de ce contrôle en présentant des alphas estimés à l'aide des moments de l'équation (27).