Méthode analytique

Les fondements mathématiques de cette méthode se trouvent dans Bear et Jacobs (1965) et Grubb (1993).

Hypothèses

Le seul phénomène pris en compte par cette méthode est l’advection. Il s’agit d’une méthode bidimensionnelle, et la recharge n’est pas considérée dans les calculs. Le puits est vertical, unique et totalement pénétrant, et il pompe sur toute l’épaisseur saturée de l’aquifère. Le régime permanent est supposé atteint.

L’aquifère peut être assimilé à un milieu poreux infini (c'est-à-dire qu’il n’y a pas d’influence de conditions aux limites sur le pompage), isotrope et homogène.

Description de la méthode Analyse globale :

Selon les hypothèses énoncées précédemment, il est possible de déterminer de façon analytique l’enveloppe de l’aire d’alimentation ainsi que les courbes d’égal temps de transfert (isochrones) vers l’ouvrage de captage (figure 7.3). Les équations utilisent les paramètres sous une forme adimensionnelle¹.

Figure 7.3 : Représentation de l’aire d’alimentation et des isochrones déterminées par solution analytique

La définition des paramètres adimensionnels diffère selon le type d’aquifère rencontré. Pour un aquifère captif, Bear et Jacobs (1965) utilisent les formulations suivantes :

1La formulation avec des paramètres sans dimension permet d’obtenir pour les isochrones des équations analytiques « universelles », c’est-à-dire indépendantes des valeurs particulières des paramètres hydrogéologiques des systèmes à l’étude. C’est ce qui permet le tracé de courbes de référence, nommées abaques.

( )

Pour un aquifère en nappe libre, Grubb (1993) a démontré que les formulations précédentes étaient applicables, à condition d’utiliser comme définition de l’épaisseur saturée b = (h1 + h2)/2, et comme définition du gradient hydraulique i = (h1 - h2)/L, où

- h1 et h2 sont les charges hydrauliques amont et aval à partir de la base de l’aquifère et le long d’une ligne de courant avant la mise en pompage;

- ∆l est la distance entre ces deux points.

Cela donne comme paramètres adimensionnels :

(7.8) L’axe des abscisses correspond à la direction du gradient hydraulique régional.

Malheureusement, l’équation des isochrones ne se résout pas de façon directe. Il est cependant possible d’utiliser des logiciels mathématiques (par exemple,

⎟⎟⎠

Mathematica²) pour obtenir le tracé des courbes exactes, fonctions des paramètres du système étudié. Pour éviter cette étape, deux méthodes d’analyses simplifiées sont proposées ci-après.

Analyses simplifiées

i) Il est possible de se contenter de déterminer les distances suivantes (figure 7.3) :

- distance entre la limite aval de la zone d’appel et l’ouvrage de captage (A);

- largeur maximale de l’aire d’alimentation (L);

- largeur de la limite d’alimentation au droit du puits (B);

- distance du puits à l’isochrone considérée (d), selon l’axe des abscisses.

En nappe captive :

La valeur de la distance d doit être calculée par erreurs et échecs afin de correspondre à l’isochrone, au temps t considéré selon l’équation :

( )

^⎟⎟⎠

Le périmètre de protection au temps t est alors déterminé par l’arc de cercle de rayon d centré au puits, jusqu’à son intersection avec l’aire d’alimentation. Cette simplification se justifie car elle est conservatrice, l’isochrone réelle se situant à l’intérieur de cet arc de cercle.

ii) Pour obtenir plus de points appartenant aux périmètres de protection, on se référera aux abaques fournis à l’annexe F. Les étapes de la résolution sont alors les suivantes :

2 http://www.wolfram.com.

- calculer les temps adimensionnels td correspondant aux critères de 200 et de 550 jours avec les paramètres du cas à l’étude;

- sur les courbes correspondantes, déterminer le nombre désiré de couples (xd, yd) appartenant à ces courbes (choisir l’abaque le plus précis); faire de même avec la courbe enveloppe de l’aire d’alimentation;

- recalculer les valeurs x et y dimensionnelles correspondantes et les reporter sur la carte du système étudié.

Cette méthode est devenue de pratique courante mais elle est souvent utilisée sans discernement.

Vérifications

i) Une certaine validation de l’ensemble des hypothèses doit être faite avant d’appliquer les formulations analytiques. En particulier, il devrait être démontré par un essai de pompage que l’aquifère se comporte, de façon raisonnable, comme un milieu poreux, homogène, isotrope et sans condition aux limites détectables.

ii) Les connaissances du milieu nécessaires à l’application de la méthode sont assez réduites. Néanmoins, une erreur quant à la valeur des données utilisées peut entraîner d’importants biais dans la détermination des aires; par ailleurs, il est rare de pouvoir déterminer avec exactitude les paramètres hydrogéologiques d’un site. Il importe donc de prendre un soin particulier à la mesure ou à l’estimation du gradient et de la conductivité hydraulique ainsi qu’à la porosité effective du milieu aquifère. Une surestimation du flux régional (Ki) entraîne une sous-estimation de l’aire d’alimentation et une surestimation des aires de protection. Une surestimation de la porosité effective entraîne une sous-estimation des aires de protection. Signalons que l’incertitude sur la porosité effective est particulièrement élevée dans le cas de milieux fracturés. Une erreur dans la direction de l’écoulement entraîne directement une erreur dans la forme des aires. À titre d’exemple, pour réduire cette incertitude, la Commission géologique du New Jersey préconise l’augmentation de la surface des aires par une rotation (de plus ou moins 20 degrés, selon les configurations) des aires autour de l’axe des abscisses (New Jersey, 2002). Les effets de la variabilité de l’estimation de l’aire d’alimentation sur le choix de la démarche d’analyse sont discutés à la section 8.1.2.

iii) Il est de rigueur de terminer l’analyse en mettant en relation les périmètres délimités et les zones de recharge de l’aquifère. De fait, la méthode n’est pas valable pour un aquifère dont le niveau statique fluctuerait notablement dans le temps aux environs du captage.

Conclusions

La méthode a pour avantage d’être simple et de ne nécessiter qu’un minimum de données. Cependant, elle simplifie à l’extrême le système modélisé et, en conséquence, les conditions de son application ne peuvent exister dans le milieu naturel. Elle doit donc être employée avec discernement. Le bien-fondé de chacune des hypothèses de la méthode doit être discuté et les résultats doivent être soumis à une critique. Cette discussion doit être incluse dans le rapport hydrogéologique.

Par ailleurs, cette méthode est particulièrement sensible aux incertitudes liées aux données hydrogéologiques. Une méthode a été élaborée afin de tenir compte des probabilités liées aux incertitudes sur la direction et l’amplitude de la vitesse de l’écoulement (Jacobson et al., 2002). Une façon de faire très conservatrice consisterait à définir les aires par la superposition des surfaces déterminées avec des jeux de données plausibles extrêmes.

Dans le document OUTILS DE DÉTERMINATION D AIRES D ALIMENTATION ET DE PROTECTION DE CAPTAGES D EAU SOUTERRAINE (Page 155-160)