Mélanges à quatre ondes : collisions entre condensats très anisotropes

anisotropes

L’anisotropie du condensat peut véritablement avoir un effet sur la direction moyenne des paires diffusés lors d’une collision. Par analogie avec la superradiance où les photons sont émis préférentiellement dans la direction longue du condensat par des phénomènes collectifs [Inouye 1999], plusieurs références montrent que la création de paires atomiques peut tout aussi bien être directionnelle lorsque les nuages sources sont très allongés [Pu 2000,Vardi 2002]. En effet, pour la formation de paires atomiques, les équations que doivent vérifier les opérateurs de créations de particules ˆcq dans la direction q font in-

tervenir un gain Gqqui a une dépendance directionnelle. Les auteurs de [Vardi 2002] ont

montré qu’il existait trois régimes différents d’émission de paires pour un condensat de rapport d’aspect α. Lorsque le taux de collision est faible, il n’y a aucun amplification que ce soit dans les modes longitudinaux ou dans les modes transverses : la collision est isotrope. Ceci est également le cas pour un taux très important, l’amplification a lieu dans tous les modes. Entre les deux existe un régime où l’amplification se fait bien dans la direction longue mais pas encore dans les courtes. C’est ce régime qu’il convient d’at- teindre.

Nous pouvons regarder, a posteriori, dans quel régime nous étions pour les données précédemment étudiées au paragraphe2.3où on avait accès au plan du halo qui contenait l’anisotropie du nuage condensé source (voir la figure2.12(a)). Les paramètres des ajus- tements faits sur les profils à une dimension de différentes parties du halo nous avaient alors permis de voir que son rayon varie en fonction de l’angle azimutal φsp. Mais nous

pouvons également tirer de ces profils, directement en les intégrant sur l’épaisseur du halo, le nombre d’atomes diffusés pour un angle donné. Si ce nombre dépend de l’angle

φsp, c’est-à-dire de la direction, alors nous étions bien dans un régime directionnel qui

nous donnerait l’occasion de passer outre ce problème d’isotropie qui nous empêche de manipuler efficacement les paires créées.

Nous rapportons les résultats obtenus sur la figure2.42. La courbe rouge est prin- cipalement utilisée comme guide pour indiquer le comportement attendu dans le cas où on considère un gain qui a la même forme que pour un processus de superradiance [Moore 1999] :

G(φsp) = q G

cos2_{(φsp) +α}2_sin2₍

φsp)

(2.67) dans laquelleG est un gain que l’on ne cherchera pas à déterminer et α est normalement le rapport d’aspect de notre condensat. L’ajustement, bien que très loin d’être parfait, nous donne un rapport d’aspect de αfit = 1.5 (la valeur attendue est de αbec = 20) ce

qui met un gros bémol à nos conclusions. Ainsi, malgré l’apparente stimulation dans la direction longue du condensat (qui correspond aux angles 0◦ et 180◦), nous ne sommes pas encore en mesure de dire si les paires étaient émises préférentiellement dans la direc- tion longue. L’analyse est néanmoins toujours d’actualité et sera continué en parallèle de la construction d’un nouveau montage optique pour créer des paires uniquement dans deux modes à l’aide d’un réseau optique.

2.5 Sources de paires directionnelles 91 3800 3600 3400 3200 3000 2800 2600 N om bre d' at om es 350 300 250 200 150 100 50 0 Angle azimutal φsp

Figure 2.42 Nombre d’atomes diffusés en fonction de l’angle azimutal. Nous nous

sommes restreints au plan équatorial comme dans la partie 2.3 et les nombres

d’atomes sont moyennés sur les 1700 réalisations. Les points expérimentaux semblent montrer une stimulation des paires émises dans l’axe long malgré le fait que la collision se fait en onde S. Ceci semble aller avec les considérations théo- riques [Vardi 2002]. La courbe rouge est l’amplification attendu pour un processus de type superradiance.

2.5.3

Instabilités dans un réseau optique

Une propositionj émanant de K. M. Hilligsøe et de K. Mølmer décrit un proces- sus de mélange à quatre ondes de matière dans un réseau optique à une dimension [Hilligsøe 2005]. L’origine de ce phénomène est lié à la modification de la relation de dispersion causée par l’utilisation d’un potentiel périodique. Nous allons voir que ceci amène à diffuser les atomes dans deux modes bien distincts et non plus de manière iso- trope comme c’est le cas avec les collisions traitées jusqu’à présent. L’idée essentielle est illustrée par la figure2.43.

Si on s’arrange pour que les atomes ait une impulsion dans le référentiel du réseau k0 6=0, une collision peut arriver et les atomes sont alors placés dans deux modes d’im-

pulsion k1et k2. La conservation d’impulsion impose que :

2 k0=k1+k2[Q] (2.68)

où Q est le vecteur réciproque du réseau. L’intérêt du réseau apparaît réellement lorsque l’on considère également la conservation de l’énergie

2E0=E1+E2 (2.69)

où la relation des énergies Ei avec l’impulsion n’est plus quadratique. Le réseau optique

permet en effet de développer le spectre d’énergie en structure de bandes dont celle de plus basse énergie est représentée sur la figure2.43. On peut alors trouver, selon k0, un

couple (k1, k2)qui vérifie ces conditions d’accord de phase mentionnées juste au dessus j. Une réalisation expérimentale réalisée par une équipe américaine [Campbell 2006] a déjà été présentée au début de ce chapitre (§ 2.1).

92 Chapitre 2 - Sources de paires atomiques fortement corrélées

Phase-matched four wave mixing and quantum beam splitting of matter waves

in a periodic potential

Karen Marie Hilligsøe*and Klaus Mølmer

Danish National Research Foundation Center for Quantum Optics, Department of Physics and Astronomy, University of Aarhus,

DK-8000 Århus C, Denmark

!Received 9 November 2004; published 12 April 2005"

We show that the dispersion properties imposed by an external periodic potential ensure both energy and

quasimomentum conservation such that correlated pairs of atoms can be generated by four wave mixing from

a Bose-Einstein condensate moving in an optical lattice potential. In our numerical solution of the Gross-

Pitaevskii equation, a condensate with initial quasimomentum k

0

is transferred almost completely!!95%" into

a pair of correlated atomic components with quasimomenta k

1

and k

2

, if the system is seeded with a smaller

number of atoms with the appropriate quasimomentum k

1

.

DOI: 10.1103/PhysRevA.71.041602

PACS number!s": 03.75.Kk, 03.75.Lm, 05.45."a

Bose-Einstein condensates

!BEC" in optical lattices pro-

vide flexible systems for studying the behavior of coherent

matter in periodic potentials. Considerable attention is given

to studies in regimes far from the region of validity of mean-

field analysis and the Gross-Pitaevskii equation#1$, but also

the highly nontrivial mean-field dynamics has been and con-

tinues to be subject to theoretical and experimental investi-

gations

#2–4$.

The process we wish to consider is a four wave mixing

!FWM" process, which transfers pairs of atoms coherently

from an initial momentum state k

₀

to new states with mo-

menta k

₁

and k

₂

. We consider a Bose-Einstein condensate in

a quasi-one-dimensional geometry and we will consider only

the longitudinal dynamics of the condensate. This geometry

is relevant, e.g., for atomic waveguides and atom interferom-

eters based on atom chips

#5$.

In Refs.

#6,7$, it was shown that nonlinear interaction

originating from the s-wave scattering between atoms leads

to depletion of the condensate and emission of pairs of atoms

at other momenta when a continuous matter wave beam

passes through a finite region with enhanced interactions. For

a larger condensate, however, the process will not be effec-

tive unless it conserves both energy and momentum, i.e., the

waves must be phase-matched over the extent of the sample.

We shall show how the characteristic energy band structure

in a one-dimensional

!1D" optical lattice can be used to en-

sure both energy and quasimomentum conservation, i.e.,

phase-matching of the FWM process.

Our tailoring of the dispersion properties of matter waves

by an external potential is inspired by approaches to nonlin-

ear optics, which employ various means to ensure phase-

matching, e.g., of the FWM process#8–10$. A similar phase-

matched FWM process has been used to explain giant

amplification from semiconductor microcavities, where the

polariton dispersion properties can be controlled by the

strong photon-exciton coupling

#11$. We also note that a re-

cent analysis

#12$ of the breakup of a bright matter wave

soliton was analyzed in terms of dispersion and phase-

matching. Phase-matched FWM has been realized in colli-

sions of two condensates in two dimensions

#13–15$, but in

the present paper we show that the process can take place

with atomic motion along a single direction; for example,

inside an atomic waveguide.

The basic idea of our proposal is illustrated in Fig. 1. In a

periodic potential V!z", the energy spectrum constitutes a

band structure, and the figure shows the lowest energy band

for the corresponding linear Schrödinger equation. When two

atoms with momentum k

₀

collide and leave with momenta k

₁

and k

₂

momentum conservation requires

2k

₀

= k

₁

+ k

₂

modulo Q,

!1"

where Q is a reciprocal lattice vector. In the periodic poten-

tial the energy does not vary quadratically with the wave

number, and as indicated by example in Fig. 1, it is possible

to identify sets of wave numbers with conservation of the

total energy

2#

₀

= #

₁

+ #

₂

.

!2"

To investigate the effectiveness of this degenerate FWM

*Electronic address: kmh@phys.au.dk

FIG. 1. Band structure for atomic motion in the periodic poten-

tial Eq.!4". Quasimomentum conservation and energy conservation

is fulfilled in the crosses where two atoms with momentum k

0

col-

lide and separate at momenta k

1

and k

2

illustrated in the figure.

PHYSICAL REVIEW A 71, 041602!R" !2005"

RAPID COMMUNICATIONS

1050-2947/2005/71!4"/041602!4"/$23.00

041602-1

©2005 The American Physical Society

Figure 2.43 Instabilité dans un réseau optique. Lorsque la vitesse relative entre le ré- seau et le condensat atteint une certain valeur, les atomes d’impulsion k0 peuvent

collisionner et peupler deux modes k1et k2qui forment alors des paires d’atomes

corrélés. Celles-ci ont bien plus adaptées pour être utiliser dans des expériences plus évoluées [Ferris 2009]. Extrait de [Hilligsøe 2005].

et dont un exemple est illustré par la figure2.43.

Même s’il faut quand même encore faire attention à ce que les excitations transverses n’influencent pas la dynamique de ce système, nous voyons que le grand intérêt de ce schéma réside dans le fait que les paires sont générées uniquement dans un couple de modes opposés au contraire des mélanges à quatre ondes présentés précédemment. C’est ce caractère monomode qui est intéressant puisqu’il peut nous permettre de générer plus facilement des états de Fock|N, Ni. Dans le cas multimode de la collision en espace libre, nous avons finalement peu de chance d’obtenir des populations par mode plus grande que 1 (nous l’estimons à 10−3atome par mode). Même si ceci est néanmoins adéquat pour des violations d’inégalités de Bell puisque l’on est très certainement dans le régime de paires individuelles, la génération de paires dans un réseau à une dimension rend un peu plus accessible des expériences d’interférométrie atomique avec des états non-classiques.

Dans le document Création et étude de sources d'états non classiques pour l'optique atomique quantique (Page 101-103)