Les lois de comportement

Dans la suite de cette ´etude, des calculs par ´el´ements finis sont effectu´es

pour simuler la rupture du carbure de titane intra-pr´ecipit´e. Dans ces cal-

culs, nous mod´elisons le carbure de titane par un carr´e entour´e d’un grain m´etallique, lui-mˆeme entour´e d’une matrice isotrope. La microstructure est repr´esent´ee sch´ematiquement sur la figure 7.4.

Avant de pouvoir lancer les calculs par ´el´ements finis, nous devons d´eterminer

les lois de comportement des trois phases utilis´ees lors de ces calculs. Les

´

Figure 7.2 – Visualisation d’une image MEB r´ealis´ee par P. Bonnaillie d’un cabure de titane dans un alliage 800

Figure 7.2 – Visualisation of SEM pictures realised by P. Bonnaillie of a titanium carbide in the 800 alloy.

Figure 7.3 – Sch´ema repr´esentatif des calculs par ´el´ements finis. En rouge le carbure de titane, en jaune le grain d’un alliage 800 et en bleu la matrice elasto-viscoplastique isotrope.

Figure 7.3 – Diagram representative of finite elements calculations. In red , the titanium carbide, in yellow the grain of 800 alloys and in blue the elasto-viscoplastic istrope matrix.

jeux de constantes ´elastiques diff´erents entre le TiC et o-Ti2C calcul´ees par

DFT. Ces constantes ´elastiques sont donn´ees dans le tableau 7.2. Pour la

matrice m´etallique isotrope polycristal sans texture dans laquelle le grain

est noy´e, deux lois de fluage classique sont ´etudi´ees : la loi d’Andrade pour le fluage primaire et la loi de Norton pour le fluage secondaire. En effet,

Syst`eme C11 (GPa) C12 (GPa) C44 (GPa)

TiC 510 117 169

o-Ti2C 198 107 116

Tableau 7.2 – constantes ´elastiques du TiC et O-Ti2C n´ecessaires `a la

construction du mod`ele ´elastique utilis´e dans les calculs par ´el´ements finis.

Tableau 7.2 – Cubic elastic constants of TiC and o-Ti2C carbides used in

finite elements calculations.

la d´eformation de fluage des m´etaux et alliages polycristallins se caract´erise

par une phase non stationnaire pendant laquelle la vitesse de d´eformation

diminue `a contrainte macroscopique fix´ee. Cette phase est appel´ee phase pri- maire. Puis la vitesse devient quasi-stationnaire et ce stade est appel´e state secondaire. L’´equation utilis´ee pour le fluage primaire s’´ecrit :

εf p = C1tC2σn1 (7.1)

tf p = C3σn3 (7.2)

avec εf p la d´eformation lors du fluage primaire atteinte sous une contrainte σ

au temps t et `a la temp´erature T, tf p le temps de fin du fluage primaire. Les

coefficients C1, C2 et n1 sont d´ependants de la temp´erature. La d´eformation

finale de fluage primaire est donn´ee par εf f p(σ) = C1tC2f pσ

n1 _(7.3)

Lorsque le temps devient sup´erieur au temps du fluage primaire, un mod`ele

prenant en compte le fluage secondaire est n´ecessaire :

εf(t) = εf f p+ Cσn(t − tf p) (7.4)

Dans ce cas, la vitesse de fluage secondaire est donn´ee par la loi de Norton :

.

εs = Cσn (7.5)

avec ε.s la vitesse de d´eformation du fluage secondaire. Dans notre cas, nous

ajustons ces param`etres sur de l’incoloy 800 `a 873 K soumis `a une contrainte

de 300 MPa. Pour ajuster ces param`etres, nous appliquons les mˆemes condi-

tions sur le mat´eriau. Les param`etres ajust´es sont donn´es dans le tableau 7.3. Le cristal d’alliage 800 qui contient le carbure, ob´eit `a des lois elasto- viscoplastiques du CFC d´ecrites dans des travaux pr´ec´edents [1, 150, 151].

C1 C2 n1 C3 n3 C n

(Pa−n1.sC2) (Pa−n3.s) (Pa−n.s−1)

4.3*10−40 0.42 4.33 2.18*1081 _{-8.02 4.03*10}−72 _8.5

Tableau 7.3 – Valeurs des coefficients des lois de fluage

Tableau 7.3 – Values of the parameters of the macroscopic creep laws

Figure 7.4 – Courbes exp´erimentales et simulations des courbes de fluage.

La simulation par ´el´ements finis effectu´ee sur un volume (Andrade et Norton) est trac´ee en bleu. La courbe simul´ee sur un agr´egat en rouge avec l’aide des lois viscoplastiques cristallins.

Figure 7.4 – Experimental and simulated creep curves . The homogeneous label corresponds to the simulations carried out using isotropic creep laws , and the ‘Polycrystal’ label corresponds to the simulations carried out using the large scale aggregate .

Ces lois sont impl´ement´ees dans une subroutine umat.eso utilis´ee par le code

CAST3M et prend en compte les syst`emes de glissement des dislocations, la

contrainte de cisaillement effective et l’interaction des dislocations avec le car- bure de titane d´ependant de l’orientation cristallographique. Pour ce mod`ele, nous consid´erons les syst`emes de glissement {111}[110] et chacun d’entre eux est d´efini dans la proc´edure d’int´egration des lois visco-plastiques. Les douze glissements visco-plastiques et les densit´e des dislocations sont les principales variables internes. Aucune distinction est effectu´ee entre les dislocations vis et les dislocations coins. Une mˆeme loi d’activation thermique est utilis´ee pour tous les syst`emes de glissement. Quand le syst`eme de glissement s’active, la contrainte de cisaillement s’exprime en deux termes. Le premier terme est la

Figure 7.5 – Agr´egat polycristallin contenant 216 grains avec des orienta- tions cristallographiques al´eatoires, les couleurs affich´ees des diff´erents grains

sont ind´ependantes de l’orientation cristallographique.

Figure 7.5 – Polycrystalline aggregate containing 216 grains of random crys- tallographic orientations, the displayed colors of the different grains are in- dependent of the random crystallographic orientations.

contrainte de cisaillement effective τi _{pour surmonter la friction du r´eseau.}

Le second terme est l’interaction avec le pr´ecipit´e qui peut ˆetre mod´elis´ee par un cisaillement τ0. Pour activer le glissement, le cisaillement critique (τc)

doit ˆetre atteint et sa formule est :

τc= τ0+ αGb

√

ρ (7.6)

avec b le vecteur de burger, ρ la densit´e de dislocation, G le module de

cisaillement et α le facteur de Taylor dont le valeur est de l’ordre de 0.3 pour

les m´etaux CFC. Les glissements des dislocations sont activ´es thermiquement

et leurs ´equation est 0 si τi ≤ τi

c. Si l’in´egalit´e n’est pas v´erifi´ee l’´equation

est : _. γi = 2νDb2ρexp(− Q kBT sinh( V kBT (τi− τi c)) (7.7)

avec νD la fr´equence de Debye dont la valeur est 1013s−1 , Q l’´energie d’ac-

tivation dont la valeur est 3 eV, V le volume d’activation dont la valeur sera ajust´ee ult´erieurement, kB la constante de Boltzmann. Dans ce mod`ele,

et la densit´e de dislocations ind´ependante de la direction cristallographique.

Pour ajuster ces param`etres, un polycristal contenant 63 _{grains cubiques et}

73 _{´el´ements finis par grain est utilis´e (figure 7.5) avec un volume d’activation}

de 150b3.