du nickel ferromagn´etique
6.4.1
Construction des interfaces entre le carbure de
titane et une matrice de nickel ferromagn´etique
Dans la section pr´ec´edente, nous avons d´etaill´e les propri´et´es m´ecaniques
pour les diff´erentes stœchiom´etries du carbure de titane. Maintenant, nous
Pour cela, nous devons construire les interfaces, nous avons besoin de deux directions cristallographiques pour le nickel et pour le titane. Pour l’interface coh´erente, les premi`eres directions sont les directions (111) du nickel et (110) du TiC. Pour les secondes directions du plan l’interface, la direction (110) est consid´er´ee pour le nickel et (111) pour le carbure. Ces directions assument un misfit inf´erieur `a 1% entre elles. Des angles existent entre les deux directions consid´er´ees pour cr´eer ces interfaces mais ils sont identiques dans les deux cas avec une valeurs de 54˚. Des derni`eres directions doivent ˆetre consid´er´ees perpendiculaire `a l’interface pour construire le syst`eme, ces directions sont (211) pour le carbure et (211) pour le nickel. Nous avons donc d´efini des inter-
faces coh´erentes. Nous construisons maintenant nos interfaces incoh´erentes.
Pour cela, nous utilisons la mˆeme m´ethode que dans les pr´ec´edents chapitres. Nous construisons un joint de grains, puis nous rempla¸cons un des cristaux
du grain par le carbure de titane. Le joint de grain utilis´e dans ce cas est
un joint tilt sym´etrique Σ9 (112)[110] avec une ´energie de joints de 0.618
J/m2, il est donc stable. Pour ces interfaces des ´epaisseurs de 11 ˚A pour le carbure et le nickel sont consid´er´ees. Par la suite, nous calculons la diff´erence d’enthalpie de formation du carbure TiC dans le volume et dans le joint de grains pour une matrice de nickel CFC FM. Pour cela, nous utilisons la formule d´evelopp´ee dans le chapitre 4 :
∆E = Ef(T iC)GB − Ef(T iC)bulk (6.2)
= EtotalGB − Ebulk total− 2E
GB
f ormation(M) (6.3)
En utilisant cette ´equation, une diff´erence d’´energie de -0.02 eV par atome
de carbone est obtenue. Donc la formation du carbure est plutˆot localis´ee
`
a un joint de grains que dans le volume ce qui est en d´esaccord avec les
observations exp´erimentales. Un calcul similaire est effectu´e pour le carbure o-Ti2C. Dans ce cas une ´energie de 0.03 eV par atome de carbone est obtenue.
Donc, le carbure o-Ti2C est pr´edit plutˆot dans le volume qu’aux joints de
grains et ceci en accord avec les observations exp´erimentales. En fonction
de la stœchiom´etrie du carbure titane, la pr´ediction de la localisation de la pr´ecipitation n’est pas la mˆeme.
6.4.2
Contraintes critiques interfaciales
Dans cette section, nous calculons les contraintes critiques `a rupture des
interfaces qui ont ´et´e calcul´ees grˆace au mod`ele UBER d´evelopp´e dans les sections pr´ec´edentes. Le tableau 6.3 donne les param`etres du mod`ele UBER
calcul´e par DFT et les contraintes critiques. Nous notons que les contraintes
plus faibles que les contraintes critiques intra-pr´ecipit´e de ces mˆemes struc- tures. En consid´erant seulement ces structures, une d´ecoh´esion interfaciale est `a priori pr´edite. Par contre, en consid´erant la structure d´esordonn´ee f- TiC2(100), une contrainte critique plus faible est calcul´e sur le plan de rup-
ture pour des interfaces coh´erentes. Dans ce cas, une rupture intra-pr´ecipit´e est pr´edite. Pour la propagation de la fissure, nous regardons la variation de l’´energie de Griffith. Nous observons qu’en fonction des directions cristallo- graphiques, la fissure se propage de fa¸con intra-pr´ecipit´e ou interfaciale ce
qui va d´ependre de l’axe de traction. Comme le carbure est souvent pr´esent
dans le volume avec une forme cubique, nous pouvons supposer que les inter- faces sont coh´erentes avec la matrice. Pour arriver `a une conclusion d´efinitive sur l’initiation, une information sur la distribution des contraintes locales est n´ecessaire qui peut ˆetre calcul´e par les calculs ´el´ements finis cristallins.
Syst`eme Yinter (GPa) γf ract (J/m2) d0 (˚A) σc (GPa)
Interface coh´erente TiC 180 4.08 4.02 16
Interface incoh´erente TiC 138 3.78 6.10 10.7
Interface coh´erente o-Ti2C 140 4.48 3.98 14.5
Interface incoh´erente o-Ti2C 110 3.98 6.03 10
Joints de grains 110 4.05 7.2 9.13
f-TiC2 91-110 3.50-3.80 3.50-4.30 10-12
o-TiC2 125-265 3.48-4.05 2.15-3.05 17-25
TiC 375-420 3.02-3.38 2.16-3.06 23-29
Tableau 6.3 – Comparaison entre les contraintes critiques interfaciales entre
du carbure de titane et une matrice de nickel CFC. Les diff´erentes valeurs
pour les carbures intra-pr´ecipit´e correspond aux diff´erentes orientations cris- tallographiques
Tableau 6.3 – Comparison of the critical stresses of the some interfaces bet- ween titanium carbide and FCC nickel. The different values for the intra- precipitate fracture correspond to the different crystallographic orientations
Chapitre 7
Calcul par ´el´ements finis
cristallins
Dans ce chapitre, le lien entre les calculs par ´el´ements finis et les calculs DFT sont d´etaill´es. Pour ´etablir ce lien, une comparaison entre les calculs effectu´ees par Liang Huang [1] pour du carbure Cr23C6situ´e le long d’un joint
de grains dans un acier austenitique et les r´esultats obtenues sur ce carbure
et d´evelopp´es durant cette th`ese est r´ealis´ee. Ensuite, la comparaison entre les contraintes critiques calcul´ees pour un carbure de titane dans le chapitre 6 et des calculs effectu´es par ´el´ements finis pendant cette th`ese est discut´ee.
7.1
Calculs effectu´es par Liang Huang pour
pr´ecipit´es de carbure de chrome localis´e
sur des joints de grains al´eatoires [1]
Les travaux de Liang Huang ont port´e sur les interfaces entre un acier
aust´enitique et un carbure Cr23C6. Il consid`ere les carbures localis´es aux
joints de grains. Lors de ces calculs, il repr´esente le carbure entour´e de deux
grains, lui-mˆeme entour´e d’une matrice isotrope. Pour la matrice isotrope,
des lois de fluage primaire et secondaire sont utilis´ees. Lors de la th`ese de
Liang Huang, les param`etres de fluage sont ajust´es pour une contrainte ma-
croscopique de 220 MPa et pour une temp´erature de 600 ˚C. Pour les grains
m´etalliques, une loi elasto-viscoplastique cristalline tr`es simple est utilis´ee te- nant compte de l’effet d’orientation du grain `a l’aide des diff´erents syst`emes de glissement plastiques des structures CFC {111}< 110 > (12 syst`emes) . Cette loi a certains param`etres ajust´es sur des exp´eriences, grˆace `a un calcul polycristallin ne consid´erant aucune texture. Pour le carbure, une loi ´elastique
isotrope est utilis´ee avec un module d’Young de 342 GPa et un coefficient
de poisson de 0.3 [1, 14]. Ces param`etres sont en accord avec les r´esultats
DFT et montrent que ce carbure est peu anisotrope et donnent des valeurs
de module d’Young et de coefficient de poisson tr`es proches en fonction des
directions cristallographiques. En accord avec les r´esultats de Lee and Mear,
le module d’Young du pr´ecipit´e et le coefficient de poisson influencent peu
le champ des contraintes locales [1, 14]. Liang Huang a consid´er´e diff´erents angles, αGBn entre le joint et l’axe de traction, en effectuant la majorit´e des
calculs sous l’hypoth`ese des contraintes planes. Pour un angle αGB fix´e, Liang
Huang a effectu´e des tirages au sort d’orientations al´eatoires pour les deux grains voisins, ce qui fournit les trois degr´es de libert´e complets pour d´efinir chaque joint. Il a ´et´e montr´e que trente ou soixante orientations donnent des distributions proches. Ces r´esultats sont pr´esent´es sur la figure 7.1 pour un joint de grains parall`ele `a l’axe de traction.
Figure 7.1 – Exemple de r´esultats des calculs par ´el´ements finis cristallins r´ealis´es par Liang Huang [1] sur les contraintes perpendiculaire `a l’interface. Figure 7.1 – Example of results of FEM calculation realised by Liang Huang on the maximum stress perpendicular to the interface
Sur cette figure, la contrainte maximale perpendiculaire `a l’interface cal- cul´ee pour chaque couple d’orientations cristallines en fonction de la d´eformation
macroscopique est appliqu´ee. Nous observons que les contraintes obtenues
sur ces figures sont comprises entre 2 et 10 GPa pour une d´eformation de
4%. Ces r´esultats sugg`erent qu’avec une contrainte macroscopique appliqu´ee, une rupture interfaciale est possible pour des interfaces incoh´erentes dont la
contrainte critique calcul´ee pr´ec´edemment par DFT est comprise entre 6 et 8 GPa. Un effet de s´egr´egation ou de consid´eration d’un alliage peut diminuer la contrainte critique obtenue par DFT et obtenir des contraintes compa- rables. Dans ce cas, grˆace `a la comparaison des calculs par ´el´ements finis
et des calculs par DFT, une rupture interfaciale, comme observ´ee dans les
exp´eriences, est pr´edite.