S´ eparation par bloc avec relaxation

Dans cette m´ethode, nous effectuons la mˆeme s´eparation que dans la

m´ethode 1 mais nous relaxons les positions atomiques proches de l’interface

(seulement 4 couches sont gard´ees fixes loin de l’interface et 28 couches sont relax´ees) et les contraintes perpendiculaires `a l’axe de traction pour prendre

en compte les effets de type poissons. Les courbes obtenues sont pr´esent´ees

dans la figure 3.12. Dans l’´etat final, l’´energie de Griffith est bien obtenue. Par contre, une discontinuit´e ´energ´etique `a 2.5˚A est observ´ee. Un changement de r´egime `a la mˆeme s´eparation est observ´ee dans la courbe de variation

de la coordonn´ee Z (axe de traction) en fonction de la s´eparation. En effet

sur cette courbe, un comportement lin´eaire est observ´e jusqu’`a 2.5 ˚A puis

une augmentation brutale de la d´eformation et finalement une asymptote `a

l’´energie de Griffith. Dans cette figure, le premier r´egime correspond `a un r´egime r´eversible. En effet, dans cette zone le relˆachement des contraintes permet `a la structure de revenir dans son ´etat le plus stable. Dans le second r´egime nomm´e irr´eversible, le relˆachement des contraintes ne permet pas de

(a) (b)

Figure 3.11 – a), l’´energie en fonction de la s´eparation en utilisant la

m´ethode 1 (traction sans relaxation). (b), la contrainte en fonction de la

s´eparation en utilisant la m´ethode 1 (traction sans relaxation) pour une in-

terface coh´erente entre le carbure Cr23C6 et du fer CFC NM

Figure 3.11 – Energy-separation (a, and stress-separation (b) curves re- sulting from DFT tensile test with the unrelaxed method applied to the

coherent (100) interface between the Cr23C6 and the fcc NM-Fe matrix. The

same curves from UBER are shown for comparison.

revenir `a la structure stable et une d´ecoh´esion est toujours observ´ee. Dans les ´

etudes pr´ec´edentes, les auteurs ´etudient diff´erents syst`emes comme celui des hydrures de carbure [59] et celui des m´etaux purs [60, 113] dans lesquels cette discontinuit´e est aussi observ´ee. Dans ces travaux, les auteurs ont ajust´e la

courbe de traction avec le mod`ele UBER ou le mod`ele d´evelopp´e par Hayes

et al. [58]. Ce mod`ele est bas´e sur la th´eorie de l’´elasticit´e et peut ˆetre ´ecrit comme :

E = min( Y

2Nd

2_{, γ}

f ract) (3.14)

Avec Y le module d’Young, N le nombre de couches, d la s´eparation et γf ract

l’´energie de fracture.

Dans ce mod`ele, deux r´egimes sont consid´er´es ce qui induit une discontinuit´e dans la courbe de contrainte-s´eparation. De plus, les propri´et´es (comme la contrainte) d´ependent explicitement du nombre de couches consid´er´e, ce qui

n’est pas physique car la contrainte doit ˆetre ind´ependante de la taille du

syst`eme consid´er´e.

Cette discontinuit´e pose un probl`eme de compr´ehension physique du fait

de la diminution brutale de la contrainte. En effet, lors d’essais de fluage ou de traction, cette diminution brutale n’est pas r´ealiste.

Figure 3.12 – En haut, l’´energie en fonction de la s´eparation en utilisant la

m´ethode 2 (traction avec relaxation). En bas, la variation des positions ato-

miques dans le sens de la traction (la direction z) en fonction de la s´eparation impos´ee pour une interface coh´erente entre le carbure Cr23C6 et du fer CFC

NM.

Figure 3.12 – DFT tensile test on the coherent (100) carbide-metal (fcc NM- Fe) interface by the relaxed method : variation of the z atomic coordinates, along the tensile axis (upper panel), and variation of the system total energy (lower panel) versus the imposed interfacial separation.

Mais cette discontinuit´e peut-ˆetre expliqu´ee car dans ce cas l’´energie et la d´eformation de tout le syst`eme sont consid´er´ees alors que le mod`ele UBER a ´et´e d´evelopp´e pour des ruptures des liaisons atomiques. Enrique et Van

der Cen [56, 16, 57] soustraient les ´energies ´elastiques contenues dans le

volume. En suivant cet exemple, nous effectuons une soustraction de l’´energie

´

elastique du carbure et de la matrice. L’´energie est s´epar´ee en trois parties :

Etotal = Em+ Ec+ Ei (3.15)

avec E l’´energie, i l’interface, c le carbure et m la matrice. Et l’expression de l’´energie ´elastique est :

Eα =

1

2YαHαε

2

α (3.16)

Avec E l’´energie, Y le module d’Young, ε la d´eformation, H la longueur

dans la direction de traction et α la matrice ou le carbure. Finalement en utilisant les ´equations (3.15) et (3.16), l’´energie seulement due `a l’interface est obtenue.

Apr`es la soustraction des ´energies ´elastiques contenues dans le volume

(parties du carbure et de la matrice), les ´energies d’interface et les contraintes en fonction de la s´eparation sont trac´ees sur la figure 3.14 pour trois matrices m´etalliques diff´erentes. Nous pouvons noter que la discontinuit´e en ´energie n’est plus pr´esente et que la courbe en ´energie peut ˆetre ajust´ee en utilisant

les param`etres du mod`ele UBER donn´es dans la section 3.3.3. A partir de

la figure 3.14, un accord raisonnable en termes d’´energie et de contrainte

est obtenu entre les donn´ees DFT et les pr´edictions du mod`ele UBER en

utilisant diff´erentes matrices. Pour les diff´erents syst`emes, un ´ecart sur la

contrainte critique compris entre 15 et 30 % est obtenu. Le mod`ele UBER

tend `a sous estimer la contrainte critique mais `a sur estimer la s´eparation critique. Ces deux param`etres sont n´ecessaires `a la construction d’un mod`ele

de zone coh´esive. L’´energie asymptotique est identique dans les deux cas ce

qui correspond `a l’´energie de Griffith. Par la suite, seulement les ´energies et les s´eparations locales sont consid´er´ees.

Pour v´erifier l’effet de l’´epaisseur, la d´ependance des courbes de traction

DFT en fonction de l’´epaisseur choisie, nous avons trac´e en figure 3.14 les

courbes ”´energie-s´eparation” en fonction de diff´erentes ´epaisseurs d’interface.

Il est int´eressant de noter qu’une ´epaisseur trop faible (deux couches) ne

permet pas de d´efinir une courbe coh´erente. Mais si l’´epaisseur est assez large

(contenant au moins les premiers voisins), les courbes ”´energie s´eparation”

ne sont pas tr`es diff´erentes les unes des autres. Par exemple, la contrainte critique montre une variation inf´erieure `a 25 %.

Figure 3.13 – R´esultats d’un essai de traction pour diff´erents m´etaux et

ordres magn´etiques en utilisant les propri´et´es locales pour une interface

coh´erente entre le carbure Cr23C6 et une matrice CFC m´etallique

Figure 3.13 – DFT tensile-test and UBER results for the coherent (100) metal-carbide interfaces : variation of local interfacial energy (left) and stress (right) a functions of the local interfacial separation. Data are shown for NM- Fe, AF-Fe and FM-Ni matrices.