Loi de comportement

   σ₁₁ σ₂₁ σ₃₁ σ12 σ22 σ32 σ₁₃ σ₂₃ σ₃₃     (2.20)

Ce tenseur, déterminé en tous points d’un objet déformable, rend ainsi compte de l’état de contrainte de ce dernier.

Tenseurs de Piola-Kirchhoff

Comme pour les déformations, plusieurs tenseurs, définis à partir du tenseur de Cauchy, permettent de quantifier les contraintes. Les tenseurs dePiola-Kirchhoff, majoritairement utilisés pour la simulation d’objets déformables, sont brièvement introduits dans les paragraphes suivants.

Ainsi, le premier tenseur de Piola-Kirchoff permet de mettre en relation les contraintes d’une facette observées dans la configuration déformée T(M,n) en fonction de sa normale dans l’état initialn₀ :

T(M,n) =σ_πn₀ (2.21)

oùσ_π est le premier tenseur de Piola-Kirchhoff. Celui-ci s’exprime en fonction du tenseur de CauchyσC par :

σ_π =Jσ_{C F}^T (2.22)

où _FetJ correspondent respectivement au gradient de déformation et à son dé-terminant défini plus haut. Ce tenseur n’est cependant pas symétrique et le second tenseur de Piola-Kirchhoff σS lui est souvent préféré. Ce dernier est quant à lui symétrique par construction :

σ_S=J_F⁻¹σ_{C F}^T=_F⁻¹σ_π (2.23)

2.1.4 Loi de comportement

Deux outils mathématiquesetσ ont été décrits dans les paragraphes précé-dents afin de quantifier respectivement les déformations et les contraintes en tout point d’un objet continu. Ces notions sont cependant étroitement liées. En effet, toute déformation va occasionner des forces qui elles-mêmes vont contraindre les déformations. Une relation entreetσ peut ainsi être définie de manière

mentale. Cette fonction, traduisant les propriétés mécaniques du milieu, est appelée

loi de comportementouloi constitutive. Cette section détaille les lois communément utilisées en mécaniques des milieux continus auxquelles nous ferons référence dans la suite du manuscrit.

Fig. 2.4.: Exemple de lois de comportement linéaire et hyperélastique. Dans la réalité, la relation entre les déformationset les contraintesσest souvent non-linéaire mais peut être approximée par une fonction linéaire pour de petites déformations.

Élasticité linéaire : la loi de Hooke

Laloi de Hookes’énonce de la manière suivante :

σ= 2µ+λtr()_I (2.24)

oùλetµsont lescoefficients de Lamérespectivement appeléspremier coefficient de Lamé etmodule de cisaillement. Ces paramètres peuvent être estimés de manière expérimentale et traduisent les propriétés mécaniques du milieu.λetµsont liés au

module de YoungEet aucoefficient de Poissonνpar les relations suivantes :

E = µ(3λ+ 2µ)

λ+µ et ν = λ

2(λ+µ) (2.25)

Le module de Young est un indicateur de la rigidité (mesurée en Pascal) tandis que la compressibilité du matériau est quantifiée par le coefficient de Poisson. Sans unité, ce dernier est compris entre 0 et 0.5 exclus décrivant un matériau compressible à incompressible.

De plus, cette loi est ditelinéaire mécaniquementcar elle propose de considérer que l’allongement du milieu est proportionnel à la force s’appliquant sur celui-ci. Elle peut donc se réécrire de la manière suivante :

oùEest une matrice de dimension 6×6 décrivant les propriétés du matériau et les tenseurs de déformation et contraintes sont approximés par les vecteurs de taille 6 :

σ'             σ₁₁ σ₂₂ σ33 σ₁₂ σ13 σ₂₃             et '             _{11 22} 33 2₁₂ 213 2₂₃             (2.27)

De plus, lorsque le milieu est isotrope,Edépend seulement de deux paramètres. La loi de Hooke faisant cette hypothèse,Epeut donc s’écrire uniquement en fonction deE et ν. Par ailleurs, si considérer une relation linéaire entre déformations et contraintes est une bonne approximation pour de petites déformations, cette hypo-thèse est erronée en cas de grandes déformations. En effet, plus les déformations sont grandes, plus le milieu est résistant. Des contraintes de plus en plus fortes doivent alors être appliquées afin de le déformer (voir Figure 2.4).

Pour finir, la définition de la loi de Hooke est souvent basée sur le tenseur des déformations de Green-Lagrange défini dans le cas de petites déformations. Seule la partie linéaire de ce dernier est donc considérée (voir paragraphe 2.1.2). En plus de la linéarité mécanique décrite ci-dessus, cette loi de comportement repose alors également sur l’hypothèse de linéarité géométrique, elle même valable uniquement en petites déformations.

Ainsi, seul un matériau soumis à des petites déformations peut être caractérisé par la loi de Hooke. Afin de pouvoir dépasser de cadre, des lois de comportement non-linéaires plus complexes diteshyperélastiquesont été proposées dans la littérature. Celles auxquelles nous feront référence dans la suite de ce manuscrit sont présentées dans les paragraphes suivants.

Élasticité non-linéaire ou hyperélasticité

Dans le cas de l’élasticité non-linéaire, la relation entre déformations et contraintesσest inconnue. L’hypothèse d’hyperélasticitéconsiste alors à supposer qu’il existe une fonctionW telle que :

σ= ∂W

∂ (2.28)

oùW est une fonction detraduisant le comportement mécanique du milieu. Elle est appeléefonction de densité d’énergie de déformationou plus communémentfonction d’énergie. La relation non-linéaire observée entre déformations et contraintes peut

être approximée en petites déformations par une fonction linéaire puis commence à former un plateau à partir d’un certain point (voir Figure 2.4). Le module de Young, correspondant à la pente de la droite lorsque la relation entre déformations et contraintes est linéaire, n’a donc pas de sens pour une loi hyperélastique. Cependant, afin de comparer les propriétés des différents milieux, le module de Young équivalent E^∗ en petites déformations (i.e.correspondant à la pente à l’origine de la courbe) sera parfois cité dans ce document. De plus, les lois constitutives hyperélastiques sont définies dans le cadre de grandes déformations, considérant la partie non-linéaire du tenseur de déformation (voir paragraphe 2.1.2 pour plus de détails). De cette manière, ces lois prennent ainsi en compte les non-linéarités géométriques des matériaux.

Dans le cas général, les déformations globales peuvent être décomposées en la somme de déformations isochores (i.e.à volume constant) et volumiques.W s’écrit alors de la manière suivante :

W() =W_iso(¯) +W_vol(J) (2.29)

où ¯ = J⁻2/3 et J est le Jacobien du gradient de déformation défini au para-graphe 2.1.2. Dans le cas particulier d’un milieu incompressible, seule la partie isochore des déformations est conservée. De plus, considérant J = 1, la fonction d’énergie est ainsi donnée par :

W() =Wiso(¯) =Wiso() (2.30)

La fonction d’énergie s’écrit donc en fonction du tenseur de déformationet de son homologue¯=J^−2/3. Cependant, les coordonnées de ces derniers dépendent de la base dans laquelle ils sont définis. Les coefficients du polynôme caractéristique de ces tenseurs, appelésinvariants, sont quant à eux indépendants de cette base. Par conséquent, ils sont souvent utilisés pour écrireW. Les tenseurs de déformation de Cauchy-Green_C et¯_C étant des tenseurs de deuxième ordre, ceux-ci possèdent trois invariants respectivement donnés dans le cas d’un matériau isotrope par :

       I₁ =tr(_C) I2 = ¹₂((tr(C))²−tr(²_C)) I₃ =det(_C) et        ¯ I₁ =J^−2/3I₁ ¯ I2 =J^−4/3I2 ¯ I₃ =J⁻²I₃ (2.31)

On peut alors remarquer queI₃ =J²et ainsiI^¯₃ = 1. De plus, dans le cas incompres-sible (i.e.J = 1),I₃ = 1et∀i,I_i = ¯I_i.

Pour finir, les valeurs propres du tenseur de déformation sont également fréquemment employées pour écrireW. Au nombre de trois, elles sont ainsi notées

λi et correspondent auxprincipales extensionsdu milieu. Dans le cas isotrope, elles sont liées aux invariants de la déformation par :

       I1 =λ²₁ +λ²₂+λ²₃ I₂ =λ²₁λ²₂+λ²₂λ²₃ +λ²₃λ²₁ I3 =λ²₁λ²₂λ²₃ (2.32)

Dans la littérature, de nombreuses lois hyperélastiques ont été proposées, décrivant des milieux très différents [PO17]. Quatre d’entre elles, auxquelles nous ferons référence dans la suite de ce manuscrit, sont introduites dans les paragraphes suivants.

Loi de St Venant-Kirchhoff La fonction d’énergie de la loi deloi de St Venant Kirch-hoff est donnée par :

W() =µtr(²) +λ

2tr()² (2.33)

Après dérivation de cette fonction, le tenseur de contraintes s’exprime alors linéaire-ment en fonction du tenseur des déformations, de la même manière que la loi de Hooke (voir équation (2.24) pour plus de détails). Cette loi ne prend donc pas en compte de non-linéarité mécanique. Cependant, contrairement à la loi de Hooke, elle repose sur les composantes linéaire et non-linéaire du tenseur de déformations de Green-Lagrange et considère ainsi des non-linéarités géométriques. Par conséquent, la loi de St Venant Kirchhoff peut être vue comme une généralisation de la loi de Hooke dans le cas de grandes déformations.

Loi Néo-Hooke La loi Néo-Hooke est la loi non-linéaire mécaniquement la plus simple, découlant de la loi de Hooke. Dans le cas général compressible, sa fonction d’énergie s’écrit de la manière suivante :

W() =c1( ¯I1 −3) +d1(J−1)² (2.34)

oùc1 etd1 sont des paramètres du milieu, pouvant être exprimés en fonction des co-efficients de Lamé tels quec₁ =µ/2etd₁ =λ/2. De plus, en cas d’incompressibilité (i.e.J = 1), on obtient :

W() =c₁(I₁ −3) (2.35)

Ainsi, seule la partie isochore des déformations est considérée.

Loi de Mooney-Rivlin La fonction d’énergie de la loi de Mooney-Rivlin est très similaire à celle du modèle Néo-Hooke. Pour un milieu compressible, elle est définie par :

W() =c1( ¯I1−3) +c2( ¯I2−3) +d1(J−1)² (2.36)

oùc1,c2 etd1 sont des paramètres du milieu. Ceux-ci dépendent des coefficients de Lamé tels quec₁ +c₂ =µ/2etd₁ =λ/2. Néanmoins, contrairement au modèle Néo-Hooke, connaître les coefficients de Lamé du milieu ne suffit pas à définir complètement les paramètres de cette loi constitutive. Cette formulation se simplifie aussi en cas d’incompressibilité (i.e. J = 1) en ne conservant que la partie des déformations à volume constant :

W() =c1(I1 −3) +c2(I2 −3) (2.37)

Par ailleurs, les lois Néo-Hooke et de Mooney-Rivlin sont un cas particulier d’un modèle plus général, lemodèle généralisé de Rivlin, proposant d’exprimer la fonction d’énergie sous forme polynomiale :

W() = N X p,q=0 c_pq( ¯I₁−3)^p( ¯I₂−3)^q+ M X m=1 d_m(J−1)^2m (2.38)

En référence à ce modèle général, leurs paramètres sont souvent doublement indicés tels quec1 =c10 etc2 =c01. De plus, des termes polynomiaux supplémentaires sont parfois ajoutés à la loi de Mooney-Rivlin permettant une caractérisation plus précise du milieu, impliquant cependant une hausse du nombre de paramètres à estimer.

Loi de Ogden Contrairement aux lois énoncées dans les paragraphes précédents, la

loi de Ogdenrepose sur les principales extensions du tenseur de déformation. Dans le cadre général, sa fonction d’énergie est donnée par :

W() = N X p=1 µ_p α_p λ^αp 1 +λ^αp 2 +λ^αp 3 −3 (2.39)

avecN,µ_petα_ples paramètres du matériau considéré. Le module de cisaillementµ peut être exprimé en fonction de ces constantes tel que :

µ= ¹ 2 N X p=1 µ_pα_p (2.40)

Ce modèle, très utilisé pour décrire le comportement de matériaux complexes comme le caoutchouc, les polymères ou encore les tissus biologiques, peut être vu comme une généralisation des deux précédents. En effet, avec des valeurs particulières des constantes du milieu, il est possible de retrouver les lois Néo-Hooke (N = 1 et α₁ = 2) et de Mooney-Rivlin (N = 2,α₁ = 2,α₂ =−2).