Localisation de l'interface solide-liquide

La localisation de l'interface solide liquide s'articule en deux étapes :

La première étape consiste en la localisation des isothermes de solidication issues du cal-cul en élément nis, et la deuxième étape consiste à corriger ces isothermes en s'appuyant sur l'équation de conservation de ux thermique au niveau de l'interface solide-liquide. 3.1.2.1. Algorithme de construction de l'interface solide-liquide

Dans le but de calculer la structure de grains, nous avons besoin de l'accessibilité du code source pour pouvoir développer nos algorithmes spéciques à la croissance du silicium multicristallin. Nous avons opté pour le code MiM pour la suite des calculs.

Le code récupère, lors d'une première étape, l'ensemble des cartes thermiques calculées à chaque pas de temps et pour chaque n÷ud. A titre d'exemple 72 cartes thermiques

3.1. Modèle de transfert de chaleur dans le lingot au cours de la solidication

Figure 3.2.: Evolution du champ de température dans le lingot àt= 72000s

Figure 3.3.: a) Localisation de la zone de dégagement de la chaleur au cours de la solidication.

b) Localisation du front au cours de solidication dans la zone de transition solide-liquide, les trois courbes correspond respectivement à Tf − ^ε₂, Tf,

Figure 3.4.: Algorithme de reconstruction de l'isotherme de solidication (température aux n÷uds) séparées de 1000 secondes correspondent à une simulation de solidication de 20h.

Un algorithme de construction de l'interface solide-liquide a été développé, l'objectif étant de mémoriser l'histoire de la solidication par l'intermédiaire des isothermes de solidication au cours du temps.

Nous procédons de la manière suivante, à chaque instant t et sur chaque carte thermique nous localisons l'isothermeT =Tf :

Nous parcourons les éléments du maillage en éléments nis en commençant par les éléments qui se situent sur l'axe et qui contiennent l'isotherme.

Sur cet élément on repère le côté par lequel passe l'isotherme. La température de chaque n÷ud de cet élément est comparée à la température de fusion pour encadrer le point d'interface entre deux n÷uds consécutifs sur un côté de l'élément.

On calcule les coordonnées du point de passage de l'isotherme sur ce côté puis on continue avec l'élément suivant (Figure 3.4).

Par interpolation d'ordre deux sur l'élément, nous déterminons le point M(T_f, x, y, t)

sur le côté de l'élément qui appartient à l'interface. On passe ensuite à l'élément voisin, jusqu'à atteindre la frontière du domaine. Seuls les éléments du lingot de silicium sont traités. A ce niveau, l'interface solide-liquide est obtenue sous forme d'un ensemble de points irréguliers.

3.1.2.2. Algorithme de correction de la position de l'interface solide-liquide

La discontinuité du ux thermique due à la génération de la chaleur par la solidication au niveau de l'interface solide-liquide est décrite par le bilan de ux thermique au niveau de l'interface. Elle est résolue par l'équation de bilan de ux :

νL= (K_l∇T_l−Ks∇Ts)n (3.8) Oùν est la vitesse d'interface, etnla normale à l'interface. A l'équilibre cette équation doit être vériée, ce qui permet de localiser l'interface solide-liquide.

Les interfaces obtenues à chaque pas de temps sont lissées par des courbes `splines' cubiques puis discrétisées régulièrement (Figure 3.5). Chaque isotherme contient alors le même nombre de n÷uds. Une construction de splines verticales peut-être eectuée en connectant les n÷uds de chaque spline horizontale qui ont le même index. Cette organisation en splines verticales et horizontales sur maillage régulier permet de localiser

3.1. Modèle de transfert de chaleur dans le lingot au cours de la solidication

Figure 3.5.: Isotherme de solidication à chaque pas de temps et la discrétisation

Figure 3.6.: Illustration de l'algorithme de correction de la position des interfaces par interpolation d'ordre 2 des isothermes intermédiaires indépendamment du pas de temps choisi.

Pour corriger la position de l'interface, nous vérions le bilan thermique au niveau du front sur chaque n÷ud de discrétisation. Pour cela nous procédons de la manière suivante (Figure 3.6) :

Connaissant la position de l'isotherme i à l'instant t, nous dénissons un point P(x, y)

et nous déterminons le pointM(x, y) sur i−1 tel queM soit la projection normale de

P. Nous déterminons les coordonnées du point M(x, y) et la température en ce point

T(M(x, y)), puis nous calculons le point symétriqueM⁰(x, y) deM par rapport à P et sa température T(M⁰(x, y)). Nous calculons le gradient le gradient solide et le gradient liquide :

G_s = ^{TP −TM} dl G_l = ^TM0−TP

dl

Avecdl=kP Mk=kP M⁰k, oùdl est l'avancement d'un n÷ud de l'isotherme pendant le pas de temps dt.

Nous vérions le bilan thermique au niveau de l'interface à l'aide de l'équation :

ρL^dl2

dt ^=KlGl−KsGs (3.9) Ceci nous permet de calculer le déplacement dl2 de l'isotherme :

la position du point P est corrigée tant que le bilan thermique n'est pas vérié c'est à dire tant que dl−dl2

dl > ε.

Alors la position du point P corrigé sera donnée comme suit :

x_p = x_p+ (x_p−x_M)^dl2−dl dl yp = yp+ (yp−yM)^dl2−dl

dl

Nous obtenons ainsi la position de l'isotherme corrigée et lissée telle que présentée sur la gure 3.5 après convergence de l'algorithme.

Sur chaque n÷ud de discrétisation de l'isotherme corrigée, nous calculons la vitesse de croissanceν_k, les gradients thermiques dans les zones solides et liquidesG_setG_l, l'angle d'inclinaison du front par rapport à l'horizontale θk ainsi que le vecteur normal nk à l'isotherme.

Les résultats des calculs sont mémorisés dans une structure de données décrivant l'ensem-ble des isothermes de solidication au cours du temps. Cette structure est la base pour l'algorithme de la croissance cristalline dans le silicium.

3.2. Approche de la modélisation de la structure de grains

au cours de la croissance description générale

Pour le silicium multicristallin les mécanismes de croissance sont basés sur les phénomènes observés au voisinage de la ligne triple solide-solide-liquide. Une fois les conditions cristal-lographiques et énergétiques satisfaites la croissance du joint est initiée. Le sillon formé au niveau du joint peut adopter diérentes structures : rugueuses, facettées ou mixtes. Pour chacun de ces cas le joint suit des lois spéciques comme détaillé précédemment dans le chapitre 2.

Nous allons décrire un modèle bidimensionnel dans un premier temps, construit dans le but de simuler les mécanismes de la croissance dans le silicium, au voisinage de la ligne triple. Initialement, nous construisons un réseau de n germes basé sur l'isotherme initial où débutent les phénomènes à étudier. Cette isotherme correspond à l'état sta-tionnaire avec 4 cm de silicium solide. Nous supposons que c'est sur cette isotherme que la germination a lieu.

Dans l'approximation cartésienne 2D, les grains germent dans le plan (Oxy) et seulement sur la première isotherme, la germination sur les parois latérales du creuset n'est pas considérée dans notre modèle actuel, dans la mesure où nous nous intéressons à l'évolution des grains initiaux.

Le silicium se solidie dans un système cubique, chaque grain en 2D peut être simulé géométriquement par une structure carré limité par un plan {10}, et possédant une orientation cristallographique particulière.

Compte tenu de la symétrie de la structure carrée en 2D, seul l'intervalle

−π

4,^π₄

de l'angle θ a été pris en compte an de donner les orientations cristallographiques <10> de chaque grain par rapport à un repère (Oxy) attaché au creuset (gure 3.1).