2. Modèle physique-chimique de l'évolution des joints de grains 49
2.2. Croissance du joint de grains à la ligne triple
2.2.2. Croissance facettée
kG1(θ1) kG2(θ2) (2.19)
φG1/G2 orientation du joint de grain rugueux par rapport à la direction de solidication
kG1(θ1), kG2(θ2) coecients cinétiques des grains limitant le joint rugueux
On conclut de cette approche que la croissance d'un joint de grains rugueux-rugueux au voisinage de la ligne triple est assimilée à la croissance d'une structure colonnaire unidirectionnelle, il s'accompagne d'une sélection des joints de grains. Ce mécanisme aboutit à une diminution de la densité des grains au fur et à mesure que la croissance s'opère. Les grains qui persistent sont ceux qui ont une cinétique rapide et qui sont les mieux orientés par rapport à la direction de croissance.
Il en résulte que l'orientation du joint de grains au point triple dépend de la cinétique des grains adjacents au joint, en fonction de la désorientation entre les deux grains (Figure 2.13).
2.2.2. Croissance facettée
Dans la suite, nous considérerons que les facettes existent à l'interface solide-liquide au niveau du point triple SSL-TL dans le silicium, à condition que les critères géométriques et énergétiques, dénis au paragraphe 2.1.4 soient satisfaits.
2.2.2.1. Approche énergétique
Dans le cas d'un joint facetté, l'équilibre des énergies au point triple est établi entre le joint de grains et les plans {111} des facettes formant le dièdre au point triple (Figure 2.14).
L'énergie du joint de grains et l'énergie de l'interface solide-liquide au niveau de la ligne triple dépendent directement de la désorientation.
La désorientation cristallographique entre les deux grains implique qu'une facette est plus inclinée que l'autre par rapport à l'isotherme de solidication. La déformation au niveau de la ligne triple SSL-TL est plus importante.
Etablir le bilan d'énergie à l'équilibre au point triple nécessite de prendre en compte toutes Les énergies qui contribue à cette équilibre.
2.2. Croissance du joint de grains à la ligne triple
Figure 2.14.: Schéma du joint facetté à la ligne triple
Dans le cas d'un joint facetté l'équation de Herring exprimant le bilan d'énergie à l'équili-bre au point triple SSL-TL s'écrit :
σGBtGB+ ∂σGB ∂βGB [tGB ×S] + 2σ{111}/lt{111}/l+ 2∂σ{111}/l ∂β{111}/l t{111}×S = 0 (2.20) [Katz 1997] a adopté une autre approche en considérant que le bilan d'énergie au point triple entre l'interface solide liquide et le joint de grains, doit prendre en compte le gradient thermique au niveau de l'interface solide-liquide. C'est la condition pour avoir une croissance hors équilibre (Figure 2.14).
Donc le bilan d'énergie au point triple hors équilibre s'écrira :
σGBtGB+∂σGB ∂βGB [tGB ×S]+2σ{111}/lt{111}/l+2 ∂σ{111}/l ∂β{111}/l t{111}×S=G∆T =GL|∇T| (2.21) Le termeGL|∇T|exprime une force appliquée sur la ligne triple, avec∆T la surfusion au niveau du joint de grain imposée par l'orientation des facettes {111},∇T est le gradient de température au niveau de l'interface solide-liquide. G est un paramètre qui dépend des propriétés du matériau.
De même que le cas d'un joint rugueux, le terme ∂σGB
∂βGBest négligeable, d'où le résultat suivant :
σGB −2σ{111}/lcosβ±2∂σ{111}/l
∂β{111}/lsinβ =G∆T (2.22) Le terme ∂σ{111}/l
∂β{111}/l est une fonction de l'angle d'orientation, il est discontinu aux plans {111}. On suppose que cette variation est toujours positive, cela peut s'expliquer physique-ment par le fait que l'avancephysique-ment de la facette {111} est dans le même sens que l'avance-ment du front de la cristallisation.
∂σ
∂β{111}/l =σ
0
{111}/l (2.23)
Cette équation a une solution si :
σGB−2σ{111}/lcosβ±2∂σ{111}/l
∂β{111}/l sinβ =G∆T =G∇T L >0 (2.24) DDans ce cas la profondeur L du sillon dépend de l'énergie σGB et du gradient.
Figure 2.15.: Conguration géométrique obtenue pour les deux facettes durant la crois-sance
D'après [Katz 1997] l'interprétation physique de ces résultats est que la marche atomique se forme au niveau de la ligne triple là où la surfusion est maximale et s'étend sur la facette.
Ce modèle qui ajoute une force pour équilibrer les tensions supercielles à la ligne triple, ne prend pas en compte la cinétique or la structure facettée de l'interface est un phénomène strictement cinétique. Il suppose que les conditions de croissance hors équilibre sont une conséquence directe du gradient de température au niveau de l'inter-face est donc il exprime la surfusion en fonction du gradient thermique∆T =L∇T or la surfusion est plutôt une fonction de la vitesse d'interface∆T =f(Vi).
Cependant, on se peut demander s'il est justié d'envisager un équilibre des forces, alors que la croissance des facette se produit hors équilibre. C'est pourquoi nous avons préféré adopter l'approche de Voronkov décrit dans le paragraphe 2.1.4.2.
2.2.2.2. Approche cinétique
Dans le cas de la croissance facettée la morphologie du sillon à la ligne triple va imposer l'orientation du joint de grain au cours de la croissance.
En eet, à la ligne triple SSL-TL, la surfusion ou fond du sillon est la même pour les deux facettes cela implique que les deux facettes délimitant le joint de grain croissent à une vitesse identique, mais pas dans la même direction par rapport à l'isotherme de solidication.
Il s'ensuit que le joint de grains va suivre la direction de la bissectrice des deux facettes. La profondeur du sillon sera xée par la géométrie du système.
En régime stationnaire la ligne triple (le fond du sillon) avance verticalement à la même vitesse que l'interfaceVi, on a donc :
VT L= Vi
cosϕ (2.25)
Les facettes font un angle de β
2 par rapport à la direction du joint de grains donc :
Vf =VT Lsinβ
2.2. Croissance du joint de grains à la ligne triple
Figure 2.16.: a) Schéma d'un joint de grain mixte,
b) Morphologie d'interface observées dans le cas d'un système facetté-rugueux en fonction de la vitesse de croissance [Brözsönyi 2001]
Elle est donnée par la relation :
Vf = Visin
β