I Quantification in-situ des mécanismes de dispersion d’un amas de noir de carbone dans un élastomère dans un cisaillement simple
I.3 Littérature : Quantification des mécanismes dans les fluides newtoniens
I.3.1 MODELES DE RUPTURE
Bolen et Colwell [BOL 58] sont les premiers à avancer que les amas cassent quand la force hydrodynamique sur leur surface induit des contraintes excédant une valeur seuil. L’idée de contrainte critique est née.
MacKelvey [McK 62] adapte ce concept au mélangeage en modélisant le processus par une paire d’amas jointifs suspendue dans un fluide newtonien soumis à un cisaillement uniforme.
L’auteur définit un paramètre de dispersibilité tel que K=6πηγ&R0 C, où R0 est le rayon de l’amas et C la force qui maintient en contact les deux sphères. Ce modèle prévoit que les gros amas se cassent plus facilement, ce qui correspond bien aux observations courantes [LEB 96, WHI 69].
Figure 4.I- 1 : Modèle d’amas selon McKelvey
Bien qu’il ne donne aucune signification physique à la force de cohésion, ce modèle est repris par Dizon [DIZ 76] qui représente un amas par un modèle bi-sphérique, à tout moment du processus de mélangeage.
Ces modèles donnent des résultats intuitivement corrects mais ils sont trop simplificateurs car ils réduisent l’amas à un assemblage de deux sphères reliées entre elles par une force de cohésion.
Il est plus raisonnable de considérer l’amas comme une sphère ayant une cohésion interne résultante des liens entre de nombreuses particules élémentaires ou agrégats.
Les modèles de rupture proposés reposent alors sur l’équilibre entre cette force de cohésion FCOH
et la force hydrodynamique agissant sur l’amas FH.
On définit un facteur de dispersibilté K tel qu’il y a dispersion si : 1 F ou F 1 K
COH
H ≥
≥ .
C R
tel-00443609, version 1 - 31 Dec 2009
CHAPITRE 4:MECANISMES DE DISPERSION D’UN AMAS IQUANTIFICATION POUR UN ELASTOMERE
Le tableau ci-dessous résume les différents modèles de rupture exploitables. La différence entre les modèles proposés ci-après réside dans l’expression des forces de cohésion et hydrodynamique.
Modèle de fracture planaire : Bagster et Tomi [BAG 74] + Rumpf [RUM 62]
Force Hypothèses Expression
De cohésion [RUM 62]
Modèle d’amas :
avec Φ la fraction volumique de solides dans l’amas, d le diamètre des particules, et Hi la force interparticulaire moyenne.
2
Modèle d’amas : Sphère poreuse et uniforme
Chaque fragment à l’intérieur de l’amas est soumis à une force hydrodynamique qui dépend de la portion de surface représentant le fragment et son orientation ψ0.
Le maximum de la composante normale de cette force est obtenu à 45°, soit : FHfragment =52πR2ηγ&sin2ψ0.
Force Hypothèses Expression
De cohésion [HOR 92]
Modèle d’amas hétérogènes :
Il existe des branchements par lesquels la contrainte se transmet. La force de cohésion est alors fonction du nombre de liaisons Nb qui doivent être cassées pour que le fragment se détache de l’amas : FCOH =Hi×Nb. Le nombre de liens s’écrit : Nb ∝Rm avec 0≤m≤2 Pour les amas denses, le nombre de liens est proportionnel à la surface de fracture (m=2).
Pour les amas très poreux avec de nombreuses ramifications, le nombre de liens ne dépend plus de cette surface, il est constant (m=0).
2
tel-00443609, version 1 - 31 Dec 2009
Hydrodynamique
Tableau 4.I- 1 : Bilan sur les modèles de rupture
I.3.2 MODELES CINETIQUES POUR L’EROSION
Au contraire de la rupture, l’érosion est un phénomène cinétique. Le rayon de l’amas diminue au cours du temps. On a relevé dans la littérature cinq lois cinétiques différentes pour l’érosion dans des fluides newtoniens de faible viscosité. Ces lois sont validées expérimentalement dans chaque cas. Les modèles sont présentés et résumés dans le tableau suivant selon un ordre chronologique. On a pris soin dans chaque cas de rappeler les hypothèses du modèle et les résultats expérimentaux concernant l’effet de la taille de l’amas ou de la contrainte appliquée sur l’érosion.
Partie théorique Partie expérimentale
Hypothèses Loi cinétique Système étudié Résultats :Effet
de la taille et de la contrainte Modèle de Kao et Mason [KAO 75]
Le taux d’augmentation du nombre de fragments détachés Nt est proportionnel à la contrainte de cisaillement : dNt dt∝ηγ&
Et Nt est proportionnel au volume de fragments : Nt ∝Vt =R30−R3t
- huile de viscosité 10 Pa.s
Étude dans une condition donnée, où on a bien une cinétique en volume érodé
Pas d’étude sur l’effet du cisaillement ou de la taille sur la constante k1
Modèle de Powell et Mason [POW 82]
Mêmes hypothèses que le modèle de Kao
Mais en plus, dNt/dt est proportionnel à la surface de l’amas : dNt dt∝ηγ&×
(
Rt b)
2b représente la taille du fragment érodé très courts où l’amas est supposé conserver une
(si b=cte, l’érosion est plus rapide pour les petis amas)
- Pas d’effet du cisaillement sur k2
(c’est logique car les amas sont non cohésifs)
tel-00443609, version 1 - 31 Dec 2009
CHAPITRE 4:MECANISMES DE DISPERSION D’UN AMAS IQUANTIFICATION POUR UN ELASTOMERE
Modèle de Rwei et al. [RWE 91]
Reprise des hypothèses de Powell
(
t)
2Mais leurs observations tendent à prouver que la taille des fragments détachés b est proportionnelle à la taille de l’amas : b∝Rt
(c’est logique car les amas sont cette fois cohésifs)
Modèle de Bohin et al.[BOH 96] Postulat : le taux d’érosion est
proportionnel à l’excédent de contrainte hydrodynamique par rapport à la contrainte de cohésion
(
H COH)
t KβF F
dt
dR = −
−
avec β la fraction de force subie par le fragment, K une constante et H ηγR2
(ce qui confirme que le nombre de liens dans un amas poreux est fixe pour toute taille d’amas)
- Effet sur l’érosion :
• R0 ↑ ⇒ érosion plus rapide
• τ ↑ ⇒ quantité érodée ↑
Modèle de Scurati et al.[SCU 02] Reprise du modèle de Bohin mais
l’excédent de contrainte est aussi proportionnel à la vitesse de rotation de l’amas : Bagster et Tomi, K constante
Amas :
Tableau 4.I- 2 : Bilan sur les modèles d’érosion
I.4 Partie expérimentale
I.4.1 DISPOSITIF EXPERIMENTAL
Une cellule développée en interne plan-plan contra-rotative transparente (Tmax = 180 °C et τ max = 1MPa) couplée à un microscope optique a été utilisée. La géométrie contra-rotative (Figure 4.I-2) permet l’observation in-situ pendant un cisaillement du comportement de l’amas en suspension dans une matrice élastomère. L’amas tourne sur lui-même autour de l’axe de vorticité mais est immobile dans le référentiel d’observation (le laboratoire). La description de cet appareil
tel-00443609, version 1 - 31 Dec 2009
Figure 4.I- 2 : Principe de la géométrie contra-rotative.
I.4.2 PRODUITS
Le couple charge/matrice choisi dans cette étude est : - le noir de carbone N234 de chez Cabot pour la charge,
- le copolymère styrène-butadiène (SBR 25E) de chez Michelin pour la matrice élastomère.
L’ensemble de leurs caractéristiques est détaillé en Chapitre 2 §I.1.2 (SBR) et §I.2.1 (N234).
On a vérifié la stabilité en température du SBR à 140°C pendant la durée des expériences de rhéo-optique. Les amas de noir de carbone sont utilisés sans traitement préalable particulier mais conservé au sec.
I.4.3 PROCEDURES EXPERIMENTALES
Les échantillons observés se présentent sous forme d’un sandwich avec quelques amas de noir de carbone introduits entre deux films d’élastomère (Chapitre 2 §II.1.1.2). Cet échantillon est ensuite introduit dans l’entrefer entre les plans en verre.
POUR DETERMINER LE COMPORTEMENT EN RUPTURE du noir de carbone, on soumet l’échantillon à des taux de cisaillement croissants jusqu’à observer la rupture de l’amas.
On s’est efforcé à chaque fois de choisir des amas de forme sphérique. Les taux de cisaillement appliqués vont de 2 à 23 s-1. La taille (diamètre) des amas considérés varie entre 50 et 150 µm.
POUR DETERMINER LE COMPORTEMENT EN EROSION du noir de carbone, on soumet l’amas à un taux de cisaillement fixe pour un temps donné.
Les taux de cisaillement ont été variés entre 2 et 13 s-1. La taille des amas considérés varie de 20 à 40 µm de diamètre. Observer l’érosion d’amas de taille supérieure à 50 µm n’est pas réalisable.
En effet, leur érosion est trop lente et comme il nous est impossible de cisailler l’amas trop longtemps (migration des amas en dehors de la fenêtre de visualisation, instabilités d’écoulement), la diminution de taille de l’amas n’est pas quantitative.
Pour chaque taux de cisaillement appliqué, on peut CALCULER LA CONTRAINTE MACROSCOPIQUE correspondante exercée dans la matriceτ=η(γ&)×γ& en déterminant la viscosité
( )
γη & en appliquant la loi de Cox-Merz (cf. Chapitre 2 §I.1.2.2) .
Gradient de cisaillement
Ecoulement
Plan d’observation
Plan de la géométrie contrarotative Vorticité
tel-00443609, version 1 - 31 Dec 2009
CHAPITRE 4:MECANISMES DE DISPERSION D’UN AMAS IQUANTIFICATION POUR UN ELASTOMERE