2.4 Th´ eor` eme de Baire
2.4.2 Limites simples de fonctions continues
Soit M >0 `a fixer ult´erieurement, et soit θ : [0; 1]→ R une fonction continue affine par morceaux de pente partout sup´erieure `aM et v´erifiant||θ||∞≤ε. Enfin, posons f =g+θ. On a ´evidemment
si on a choisi M > n+C. Comme le pointxest arbitraire, on en d´eduit que la fonctionf appartient
`
a Un. Cela termine la preuve du fait 2.
D’apr`es le th´eor`eme de Baire l’intersection de tous les ouverts Un est dense dans C([0; 1]). Comme il est clair qu’une fonction f ∈ T
nUn n’est d´erivable en aucun point, cela termine la preuve du th´eor`eme.
Le th´eor`eme pr´ec´edent est un peu myst´erieux, car il affirme qu’il existe “beaucoup” de fonctions continues nulle part d´erivables, mais n’en exhibe aucune. Voici un exemple explicite : la fonction ϕ:R→Rd´efinie par
est continue par convergence normale de la s´erie. Elle est ´egalement nulle part d´erivable, ce qui n’a rien d’´evident.
2.4.2 Limites simples de fonctions continues
On sait que si une suite (fn) de fonctions continues converge simplement vers une fonction f, alors f n’est pas n´ecessairement continue. On a cependant le r´esultat suivant.
Th´eor`eme 2.4.6 Soit (E, d) un espace m´etrique complet, et soit (fn)une suite de fonctions conti-nues, fn :E →R. On suppose que la suite (fn) converge simplement vers une fonction f :E →R. Alors l’ensemble des points de continuit´e def est dense dans E; en particulier, f poss`ede au moins 1 point de continuit´e.
Preuve. Notons Cont(f) l’ensemble des points de continuit´e de f. Pourε >0, posons Oε={x∈E; ∃V voisinage ouvert de x tel que ∀y, z ∈V |f(y)−f(z)| ≤ε}. Par d´efinition, chaque ensembleOε est ouvert dans E. De plus, on v´erifie facilement qu’on a
\
p∈N∗
O1/p = Cont(f).
D’apr`es le th´eor`eme de Baire, il suffit donc de montrer que chaque ouvert Oε est dense dans E; fixons ε >0.
Pour n ∈N, posons
Fn={x∈E; ∀p, q ≥n |fp(x)−fq(x)| ≤ε/3}.
Comme les fonctions fn sont continues, les ensembles Fn sont des ferm´es de E. De plus, comme la suite (fn) converge simplement, elle est de Cauchy en tout point, et on a donc S
nFn =E. D’apr`es le th´eor`eme de Baire (voir 2.4.3), on en d´eduit que Ω = S
nF˚n est dense dans E. On va montrer que Ω est contenu dans Oε, ce qui terminera la d´emonstration.
Soit x ∈ Ω. Par d´efinition, il existe donc un entier n0 et un voisinage ouvert V1 de x tels que V1 ⊂Fn0. Poury, z ∈V1, on a alors
|fp(y)−fp(z)| ≤ |fp(y)−fn0(y)|+|fn0(y)−fn0(z)|+|fn0(z)−fp(z)|
≤ε/3 +|fn0(y)−fn0(z)|+ε/3. En faisant tendre p vers l’infini, on en d´eduit
|f(y)−f(z)| ≤2ε/3 +|fn0(y)−fn0(z)|
pour tous y, z ∈V1. Mais la fonction fn0 ´etant continue, on peut trouver un voisinage ouvert V2 de x tel que |fn0(y)−fn0(z)| ≤ε/3 pour y, z ∈V2. Si on pose V =V1∩V2, on a alors
|f(y)−f(z)| ≤ε pour tous y, z ∈V. Cela prouve que x∈Oε.
Chapitre 3
Espaces m´ etriques compacts
3.1 D´ efinition et exemples
D´efinition 3.1.1 Soit (E, d) un espace m´etrique.
(1) On dit qu’un point x ∈ E est une valeur d’adh´erence d’une suite (xn) ⊆ E s’il existe une sous-suite de (xn) qui converge vers x.
(2) L’espace m´etrique E est dit compact si toute suite (xn) ⊆ E poss`ede au moins une valeur d’adh´erence dans E.
(3) On dit qu’un ensemble A⊆E est un compact de E si l’espace m´etrique (A, d) est compact.
Notons que, contrairement `a la compl´etude, le fait qu’un espace m´etrique (E, d) soit compact ou non ne d´epend que de la topologie d´efinie par la distance d.
Exemple 1 Tout intervalle ferm´e born´e [a;b] ⊆ R est compact : c’est le th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass.
Les remarques qui suivent sont importantes.
Remarque 3.1.2 Si une suite de Cauchy dans (E, d) poss`ede une valeur d’adh´erence, alors elle converge vers cette valeur d’adh´erence. Par cons´equent, tout espace m´etrique compact est complet.
La preuve est laiss´ee en exercice.
Exemple 2 R est complet pour la distance usuelle, mais il n’est pas compact. Par exemple, la suite (xn) d´efinie par xn =n ne poss`ede aucune sous-suite convergente.
Remarque 3.1.3 Soit E un espace m´etrique.
(1) Tout ensemble compact A⊆E est ferm´e.
(2) Si E est compact, alors tout ferm´e de E est compact.
(3) Si E est un espace vectoriel norm´e, alors tout sous-ensemble compact de E est ferm´e born´e.
Preuve. (1) SoitAun compact de E, et soit (xn) un suite de points deA convergeant vers un point x ∈ E. Par compacit´e de A, la suite (xn) poss`ede une valeur d’adh´erence dans A. Mais x est la
seule valeur d’adh´erence possible pour (xn), par “unicit´e de la limite”. Donc x∈ A, ce qui prouve que A est ferm´e dans E.
(2) SupposonsEcompact etAferm´e dansE. Si (xn) est une suite de points deA, alors (xn) poss`ede une valeur d’adh´erence x∈ E car E est compact, et on a x ∈A car A est ferm´e. Par cons´equent, A est compact.
(3) On sait d´ej`a qu’un compact de E est ferm´e dans E. Si A ⊆ E est non born´e, alors on peut construire une suite (xn) ⊆ A telle que ||xn|| > n pour tout n ∈ N. Alors aucune sous-suite de (xn) n’est born´ee, donc (xn) ne poss`ede aucune valeur d’adh´erence. Par cons´equent, A n’est pas compact. Ainsi, tout ensemble compact est born´e.
Exemple 3 La boule unit´e de `2(N) est ferm´ee et born´ee dans `2(N), mais elle n’est pas com-pacte.
Preuve. Pour n ∈ N, notons en ∈ `2(N) le vecteur dont toutes les composantes sont nulles sauf la n-i`eme qui vaut 1. Alors ||en||2 = 1 pour tout n, et ||ep −eq||2 = √
2 si p 6= q. Par cons´equent, (en) est une suite de B`2 qui ne poss`ede aucune sous-suite convergente.
Exemple 4 (fondamental)
Dans une espace vectoriel norm´e de dimension finie, les ensembles compacts sont exactement les ensembles ferm´es born´es.
Preuve. On a d´ej`a montr´e que dans un espace vectoriel norm´e de dimension finie, toute suite born´ee poss`ede une sous-suite convergente. On en d´eduit tr`es facilement que dans un tel espace, tout ensemble ferm´e born´e est compact. La r´eciproque a d´ej`a ´et´e d´emontr´ee.
Remarque 3.1.4 Soit (E, d) un espace m´etrique compact, et soit a ∈ E. Si a est la seule valeur d’adh´erence possible d’une suite(xn)⊆E, alors (xn) converge vers a.
Preuve. Si (xn) ne converge pas vers a, on peut trouver ε > 0 et une sous-suite (x0n) de (xn) telle que d(x0n, a)≥ε pour tout n∈N. Comme E est compact, la suite (x0n) poss`ede une sous-suite (x00n) qui converge vers un point b ∈ E. Alors b est une valeur d’adh´erence de (xn), et d(b, a) ≥ ε > 0, donc b 6=a, ce qui est absurde par hypoth`ese.
Remarque 3.1.5 Toute r´eunion finie d’ensembles compacts est un compact. En particulier, tout ensemble fini est compact.
Preuve. Soient K1, . . . , Km des compacts d’un espace m´etrique E, et soit K = Sm
1 Ki. Si (xn) est une suite de points de K, alors l’un des Ki doit contenir une infinit´e de termes de la suite (xn). Il existe donc un indicei0 et une sous suite (x0n) de (xn) tels quex0n ∈Ki0 pour toutn. CommeKi0 est compact, la suite (x0n) poss`ede une valeur d’adh´erencex∈Ki0. Alorsx∈K etxest ´egalement une valeur d’adh´erence de (xn) : cela prouve que K est compact. Ainsi, toute r´eunion finie de compacts est un compact. Comme un singleton est visiblement compact, on en d´eduit que tout ensemble fini est compact.
Exemple 5 Soit (E, d) un espace m´etrique. Si (xn) est une suite de points de E convergeant vers un point x∈E, alors K ={x} ∪ {xn; n ∈N} est un compact de E.
La preuve est un exercice instructif. Elle serait plus simple en utilisant la propri´et´e de Borel-Lebesgue, dont on parlera plus loin.
D´efinition 3.1.6 Soit(E, d) un espace m´etrique. On dit qu’un ensemble A⊆E estrelativement compact dans E si A est un compact de E.
Par exemple, l’intervalle ]0 ; 1[ est relativement compact dans R, mais il n’est pas compact.
La d´efinition de la relative compacit´e se reformule comme suit.
Remarque 3.1.7 Soit (E, d) un espace m´etrique. Un ensemble A ⊆ E est relativement compact dans E si et seulement si toute suite (xn)⊆A poss`ede au moins une valeur d’adh´erence dans E.
Preuve.SiAest relativement compact, alorsAest compact, donc toute suite (xn)⊆A⊆Aposs`ede au moins une valeur d’adh´erence dans A ⊆ E. Inversement, supposons que toute suite (xn) ⊆ A poss`ede au moins une valeur d’adh´erence dans E. Soit (xn) une suite de points deA. Par d´efinition de l’adh´erence, on peut, pour chaque n ∈ N, trouver un point yn ∈ A tel que d(xn, yn) < 2−n. Par hypoth`ese, la suite (yn) ⊆ A poss`ede une sous-suite (ynk) qui converge vers un point a ∈ E. Alors a ∈A puisque les ynk sont dans A, et comme d(xnk, ynk) tend vers 0, la suite (xnk) converge
´
egalement vers a. On a donc montr´e que toute suite (xn)⊂A poss`ede une valeur d’adh´erence dans A, autrement dit que A est compact.