Familles born´ ees d’applications lin´ eaires continues

egalement F⁻¹g(x) = _2π¹ Fg(−x) presque partout.

En r´esum´e, on a donc le r´esultat suivant.

Th´eor`eme 4.3.4 L’application I = ^√1

2π F est une isom´etrie bijective de L²(R) sur L²(R), d’in-verse donn´ee par I⁻¹g(x) = Ig(−x). En particulier, F est un isomorphisme de L² sur L² qui pr´eserve l’orthogonalit´e, et on a F⁴ =id.

4.4 Familles born´ ees d’applications lin´ eaires continues

4.4.1 Convergence “forc´ ee”

Le r´esultat suivant est simple, mais extrˆemement utile.

Lemme 4.4.1 SoientE etF deux espaces vectoriels norm´es, et soit (T_i)i≥0 une suite d’application lin´eaires continues, T_i :E →F.On fait les hypoth`eses suivantes :

(a) La suite (T_i) est born´ee en norme ;

(b) T_i(z) tend vers 0 pour tout z ∈D, o`u D est une partie dense de E.

Alors T_i(x) tend vers 0 pour tout x∈E.

Preuve. Soitx∈E, et fixonsε >0. Posons ´egalementM = sup_i||T_i||. CommeD est dense dansE, on peut trouver z ∈D tel que ||x−z|| ≤ε. On a alors

||T_i(x)|| ≤ ||T_i(z)||+||T_i(z−x)|| ≤ ||T_i(z)||+M ε pour tout i∈N. Comme T_i(z) tend vers 0, on en d´eduit

i→∞lim ||T_i(x)|| ≤M ε pour tout ε >0. Cela termine la d´emonstration.

RemarqueOn a ´enonc´e le r´esultat pour unesuite(T_i), mais il ressort clairement de la d´emonstration que le mˆeme r´esultat vaut pour une famille (T_i) index´ee par exemple par un intervalle deR, l’indice i ayant vocation `a tendre vers une des bornes de l’intervalle.

Exemple Unit´es approch´ees

On sait que L¹(R) est muni d’une structure d’alg`ebre commutative, la multiplication ´etant donn´ee par le produit de convolution ∗. On sait ´egalement que la transformation de Fourier change le pro-duit de convolution en propro-duit ordinaire : si f, g ∈ L<sup>1</sup>(R), alors f[∗g = ˆf ∗g. On en d´ˆ eduit que l’alg`ebreL¹(R) ne poss`ede pas d’´el´ement unit´e pour le produit ∗. En effet, sie´etait une telle unit´e, on aurait ˆe(ξ)ˆg(ξ) = ˆe(ξ) pour toute fonction g ∈L<sup>1</sup>(R) et pour tout ξ∈R, et donc ˆe≡1 car pour tout ξ ∈ R, on peut trouver une fonction g ∈ L<sup>1</sup>(R) telle que ˆg(ξ) 6= 0 (par exemple, la fonction indicatrice de l’intervalle [ξ−1;ξ+ 1]). Mais ceci est impossible car ˆe doit tendre vers 0 `a l’infini.

On va voir qu’on peut cependant pallier `a l’absence d’unit´e.

On dira qu’une suite (k_i)⊆L¹(R^d) est uneunit´e approch´ee si elle v´erifie les propri´et´es suivantes, o`u | .| est une norme quelconque sur R^d, par exemple la norme euclidienne.

(a) La suite (k_i) est born´ee en norme L¹.

La mˆeme d´efinition vaut pour une famille (k_i)i∈I param´etr´ee par un intervalle de R, le param`etre i ´etant destin´e `a tendre vers une des bornes de l’intervalle. Le r´esultat suivant justifie l’expression

“unit´e approch´ee”.

Th´eor`eme 4.4.2 Soit (k_i)i∈I ⊆L¹(R^d) une unit´e approch´ee.

(1) Si f :R^d→K est continue `a support compact, alors k_i∗f tend vers f uniform´ement.

(2) Si f ∈L^p(R^d), 1≤p < ∞, alors ki∗f tend vers f en norme L^p.

Preuve. (1) Soit f : R^d → K continue `a support compact. Alors f est born´ee et uniform´ement continue. Pour x∈R<sup>d</sup>, on a d’apr`es (b) :

Pour d´emontrer (2), on peut supposer que toutes les fonctions k_i ont leur support contenu dans

la boule unit´e B ⊆ R^d. En effet, il d´coule de (c) que 1_Bk_i −k_i tend vers 0 en norme L¹, et par plus, si f est continue `a support compact, alors T<sub>i</sub>(f) tend vers 0 uniform´ement, d’apr`es le cas (1).

Comme de plus les T_i(f) ont leur support contenu dans le compact fixe B+ supp(f), on en d´eduit que Ti(f) tend vers 0 en norme L^p, pour toute fonction f continue `a support compact. Comme l’ensemble des fonctions continues `a support compact est dense dans L^p(R^d), on peut donc conclure que T_i(f) tend vers 0 en normeL^p pour toute fonction f ∈L^p. Cela termine la d´emonstration.

Exemple. Si k est une fonction int´egrable sur R^d v´erifiant R

R^dk = 1, alors on v´erifie sans diffi-cult´e que la famille (k_λ)_λ>0 d´efinie par

k_λ(u) = nλ^dk(λu)

est une unit´e approch´ee dans L¹(R^d) (ici, le param`etre λ a vocation `a tendre vers l’infini). De plus, si k est de classeC^∞ `a support compact, alors la formule

k_λ∗ϕ(x) = Z

R^d

k_λ(x−y)ϕ(y)dy

montre que si ϕ : R^d → K, est continue `a support compact, alors toutes les fonctions k<sub>λ</sub> ∗ϕ sont (d´efinies partout et) de classe C<sup>∞</sup> `a support compact : cela d´ecoule du th´eor`eme de d´erivation des int´egrales `a param`etre. On en d´eduit le r´esultat suivant.

Corollaire 4.4.3 Toute fonction continue `a support compact ϕ : R<sup>d</sup> → K peut ˆetre approch´ee uniform´ement et en norme L<sup>p</sup>, 1≤p < ∞, par des fonctions de classe C<sup>∞</sup> `a support compact.

Remarque. L’approximation par convolution a une propri´et´e int´eressante : si la fonction ϕ prend ses valeurs dans un certain convexe ferm´e C ⊆ K, alors on peut l’approcher par des fonctions C^∞

`

a support compact prenant ´egalement leurs valeurs dans C. Il suffit pour cela de consid´erer les aproximations kλ ∗ϕ associ´ees `a une fonction k r´eelle positive `a support compact K et v´erifiant R

R^dk= 1 : on aura alors k_λ∗ϕ(x) =R

Kϕ(x−y)dµ_λ(x), o`u µ<sub>λ</sub> est une mesure de probabilit´e, d’o`u le r´esultat d’apr`es le lemme 5.3.10. En particulier, siϕest r´eelle positive, on pourra l’approcher par des fonctions r´eelles positives. De mˆeme, on peut toujours supposer que les fonctions approchantes sont major´ees en module par kϕk∞.

Comme les fonctions continues `a support compact sont denses dans L^p si p < ∞, le corollaire pr´ec´edent entraˆıne :

Corollaire 4.4.4 Si 1≤p <∞, alors l’ensemble des fonctions de classe C^∞ `a support compact est dense dans L^p(R^d). En particulier, la classe de Schwartz S(R^d) est dense dans L^p(R^d).

4.4.2 Th´ eor` eme de Banach-Steinhaus

Rappelons qu’une famille d’applications lin´eaires continues (T_i)i∈I entre deux espaces vectoriels norm´es X et Y est dite simplement born´ee si, pour tout x ∈ X, l’ensemble {T_i(x); i ∈ I} est une partie born´ee de Y ; autrement dit, si pour toutx∈X, on peut trouver une constanteC_x <∞ telle que kT_i(x)k ≤C_x pour tout i∈I.

Si la famille (T_i) est born´ee en norme, alors elle est bien sˆur simplement born´ee : pour x∈ X, on peut prendre C_x = Ckxk, o`u C = sup_ikT_ik. La r´eciproque est fausse en g´en´eral : par exemple, si on munit l’espace des polynˆomes R[X] de la norme d´efinie par kPk = sup{|P(t)|; t ∈ [0; 1]}, alors la suite d’applications lin´eaires T_n : R[X]→ R[X] d´efinies par T_n(P) = P⁽ⁿ⁾ est simplement born´ee (pour P fix´e, on a T_n(P) = 0 si n est assez grand), mais elle n’est pas born´ee en norme (kT_nk ≥ kT_n(Xⁿ)k=n pour toutn ∈N). On a cependant le r´esultat suivant.

Th´eor`eme 4.4.5 (Banach-Steinhaus)

Soient X un espace de Banach, Y un espace vectoriel norm´e, et (T_i)i∈I une famille d’applications lin´eaires continues, T_i : X →Y. Si la famille (T_i) est simplement born´ee, alors elle est born´ee en norme.

Preuve. Pour n∈N, posons

F_n={x∈X : ∀i∈I ||T_i(x)|| ≤n}.

Comme les T_i sont continues, les F_n sont des ferm´es de X. De plus, on a S

nF_n =X car la famille (T_i) est simplement born´ee. Comme X est un espace de Banach, le th´eor`eme de Baire assure que l’un des F_n est d’int´erieur non vide. On peut donc trouver un entier N, un point x₀ ∈ X et un nombre r >0 tels que

∀x∈B(x₀, r) ∀i∈I ||T_i(x)|| ≤N .

Par lin´earit´e de T, la mˆeme in´egalit´e est valable pour x ∈ −B(x0, r) = B(−x0, r). En ´ecrivant h= ¹₂((−x₀+h) + (x₀+h)), on en d´eduit que pour h∈B(0, r) et i∈I, on a

||Ti(h)|| ≤ 1

2(||Ti(−x0+h)||+||Ti(x0+h)||)≤N . On obtient ainsi ||T_i|| ≤N/r pour tout i∈I, ce qui termine la d´emonstration.

Corollaire 4.4.6 Soit (T_n) une suite d’applications lin´eaires continues, T_n : X → Y, o`u X est un espace de Banach et Y un espace vectoriel norm´e. On suppose que la suite (Tn) est simplement convergente, autrement dit que T_n(x) converge dans Y pour tout x∈X. Alors T = lim_nT_n est une application lin´eaire continue.

Preuve. Il est clair queT est lin´eaire. De plus, la suite (Tn) est simplement born´ee, donc born´ee en norme d’apr`es le th´eor`eme de Banach-Steinhaus. Si on poseC = sup_n||T_n||, alors||T_n(x)|| ≤C||x||

pour tout n et pour tout x ∈ X, donc ||T(x)|| ≤ C||x|| pour tout x ∈ X. Par cons´equent, T est continue.

Exemple Divergence des s´eries de Fourier

Comme application du th´eor`eme de Banach-Steinhaus, on va d´emontrer un r´esultat n´egatif concer-nant la convergence des s´eries de Fourier.

Si f : R → C est une fonction 2π-p´eriodique int´egrable sur [−π;π], ses coefficients de Fou-rier sont d´efinis (pour k ∈Z) par

c_k(f) = 1 2π

Z π

−π

f(t)e^−iktdt .

Les sommes partielles de Fourier de la fonction f sont les polynˆomes trigonom´etriques S_nf d´efinis par

S_nf(t) = X

|k|≤n

c_k(f)e^ikt.

On sait par exemple que si f est de classe C¹, alors S_nf tend vers f uniform´ement. En revanche, on a le r´esultat suivant.

Proposition 4.4.7 Il existe une fonction continue 2π-p´eriodique f : R → C telle que la suite (S_nf(0)) n’est pas born´ee. En particulier, S_nf(0) ne converge pas vers f(0).

La preuve repose sur un calcul classique : pour n ∈N, on a S_nf(x) =D_n∗f(x) := 1

2π Z π

−π

f(t)D_n(x−t)dt , o`u Dn est le noyau de Dirichlet, d´efini par

D_n(t) = X

|k|≤n

e^ikt = sin(n+ ¹₂)t sin₂^t · Comme D_n est une fonction paire, on a donc

S_nf(0) = 1 2π

Z π

−π

f(t)D_n(t)dt .

Notons C_2π l’espace vectoriel constitu´e par les fonctions continues 2π-p´eriodiques f :R→C. Alors C_2π est un sous-espace vectoriel ferm´e de (`^∞(R,C),|| . ||∞), donc c’est un espace de Banach pour la norme ||. ||_∞. Pourn∈N, on d´efinit une forme lin´eaire Φ_n:C_2π →C par

Φ_n(f) = S_nf(0).

Lemme 4.4.8 Φ_n est une forme lin´eaire continue sur C_2π, avec ||Φ_n||=||D_n||₁ = _2π¹ Rπ

−π|D_n(t)|dt.

Preuve du lemme. On a |Φ_n(f)| ≤ ||f||∞ × ||D_n||₁, donc la forme lin´eaire Φ_n est continue, de norme au plus ´egale `a||Dn||1. Inversement, il est facile de construire une suite (fk)⊆ C2π telle que

||f_k||∞≤ 1 pour toutk et limk→∞f_k(t) =signe(D_n(t)) pour tout t∈[−π;π]. D’apr`es le th´eor`eme de convergence domin´ee, Φ (f ) = ¹ Rπ

f (t)D (t)dt tend vers ¹ Rπ

|D (t)|dt = ||D || quand

k tend vers l’infini. Comme||f_k||∞≤1 pour toutk, on en d´eduit ||Φ_n|| ≥ ||D_n||₁, ce qui termine la preuve du lemme.

Preuve de 4.4.7. Avec les notations introduites, il s’agit de montrer que la suite (Φ_n) n’est pas simplement born´ee. Comme C_2π est un espace de Banach, il suffit pour cela, d’apr`es le th´eor`eme de Banach-Steinhaus, de montrer que la suite (Φ_n) n’est pas born´ee en norme. Autrement dit, on veut montrer que la suite (||D_n||₁) n’est pas born´ee. Mais on a