Limites intrins` eques

La focalisation parfaite de la lumi`ere par un objectif de microscope provoque une concentration de la lumi`ere `a la limite de r´esolution. Lorsque l’objectif de focalisation est parfait, d’ouverture num´erique unit´e, le confinement du champ ´electromagn´etique s’effectue dans une zone de l’ordre de λ/2. Cette taille est attribu´ee `a la nature corpusculaire de la lumi`ere, `a savoir qu’un grain de lumi`ere, le photon, est aussi une particule : objet de la m´ecanique quantique. Dans le cadre de cette conception quantique, on associe `a la particule du photon deux quantit´es, sa position et son moment (appel´e aussi quantit´e de mouvement). Sa position est d´efinie indirectement par le centre de sa fonction d’onde, une fonction dont le module carr´e indique la probabilit´e de pr´esence de la particule. Par ailleurs cette notion de non localit´e, induite par la fonction d’onde infiniment ´

etendue, est pr´esente dans le principe de Fermat[19] qui stipule que la rayon lumineux prend le chemin le plus court entre deux points, parmi toute les autres possibilit´es.

Pour d´efinir la limite intrins`eque de confinement du photon ∆x, il nous faut ´ecrire son sa quantit´e de mouvement1, qui constitue, avec la position deux quantit´es ´etant deux variables r´eciproques en ´electromagn´etisme et deux op´erateurs complets (non commutant) en m´ecanique quantique. La connaissance de l’une renseigne l’autre.

L’´ecriture du moment d’une particule est controvers´ee. Minkowski[88] propose de traduire l’aspect ondulatoire on ´ecrivant que la longueur d’onde est la longueur parcourue par le photon pendant une p´eriode : λ = (c/n)T ,2 et exprime l’aspect corpusculaire par le quantum d’´energie E = ~ω = h/T . On applique la formule de De Broglie p = h/λ = E · T /(c/n)T = nE/c. La quantit´e p ´etant le moment d’une particule de longueur d’onde λ. Comme le montre ce mode de calcul, les aspects corpusculaire et ondulatoire de la lumi`ere sont ins´eparables. Le [27] ajoute : l’onde permettant de calculer la probabilit´e pour qu’un corpuscule se manifeste.

1

La quantit´e de mouvement, ou moment de la particule p est li´e au vecteur d’onde par p = ~k. La notion de

moment, peu intuitive, est associ´ee `a une vitesse lorsque la particule poss`ede une masse, et plus g´en´eralement `a une direction locale de mouvement. Sur une trajectoire le moment en un point est repr´esent´e sch´ematiquement par une fl`eche superpos´ee `a la tangente de la courbe, et repr´esentant la direction de mouvement. La norme de ce vecteur est la quantit´e de mouvement, aussi cette quantit´e s’obtient en m´ecanique classique par d´erivation. 2<sub>Cette ´ecriture suppose que la vitesse de la lumi`ere dans un milieu est divis´ee par un nombre n qui d´esigne son</sub> indice de r´efraction. Bien que naturelle, c’est une loi d´emontrable, notamment dans le Vol.1, Chap.31[36]. Le

champ total dans un mat´eriau s’´ecrit comme somme du champ incident et d’un champ rayonn´e par les atomes,

consid´er´es comme oscillateurs `a la fr´equence ω0, et le champ transmis est finalement mis sous forme d’un champ retard d’un chemin optique ´egal `a nd, d ´etant l’´epaisseur du milieu et n l’indice de r´efraction qui d´epend des propri´et´es du mat´eriau.

D’autre part, Max Abraham[3] d´ecline une version relativiste en ´ecrivant la relation d’´equi- valence masse ´energie : E = mc2 mais faisant abstraction de la masse dans la quantit´e de mouvement : p = mv il ´ecrit p = (E/c2)(c/n) = E/nc.

Cette ´ecriture v´erifi´ee exp´erimentalement pour des atomes, se r´ev`ele ˆetre fausse pour le photon. Par contre celle de Minkowski est v´erifi´ee et adopt´ee par une large communaut´e scientifique, notamment dans l’´etude des pinces optiques[6]. Il est certes ´evident de remettre en cause la pertinence de l’´equation d’Einstein qui concerne les corps ayant une masse, mais sa v´erification exp´erimentale est troublante pour les atomes. Aussi peut-on oser une formule ´equivalente pour le photon en admettant E = m(c/n)2 o`u m est une masse ´equivalente qu’aurait un photon se propageant dans un milieu d’indice n. Dans ce cas les deux ´ecritures se rejoignent. Mais dans la relation d’Einstein, c ne d´esigne pas la vitesse d’une particule mais la constante universelle qu’est la c´el´erit´e de la lumi`ere.

L’´ecriture du moment cin´etique du photon est cruciale, car elle intervient directement dans l’expression de la relation d’incertitude d’Heisenberg[83]. Plus pr´ecis´ement la position et le mo- ment sont deux variables conjugu´ees, de la mˆeme fonction d’onde Ψ. Connaˆıtre l’´etendue de la fonction des moments permet de pr´edire l’´etendue de la fonction d’onde dans l’espace r´eel : `a savoir, la r´epartition de la pr´esence du photon. La relation d’incertitude d’Heisenberg stipule que la mesure des deux quantit´es simultan´ement est limit´ee en pr´ecision : si la mesure de la composante x du moment −→p est faite avec une incertitude ∆px, alors la mesure de la position x

se fait au mieux `a ∆x = h/∆px. Prenons alors l’incertitude maximale sur le moment du photon

−

→_{p dans un milieu d’indice n comme ´etant p}

x,max− px,min, soit l’´ecart entre les valeurs maximale

et minimale du moment transverse atteintes pour un faisceau compl`etement ouvert (ON=1). Cet ´ecart vaut 2n~ω/c = 2n~k0. Dans ce cas de dispersion maximale du moment, la mesure sur la

position est la plus pr´ecise, on trouve alors sur ∆x > λ/2n.3 Ainsi un milieu d’indice fort confine la fonction d’onde du photon. On repousse cette limite intrins`eque de confinement de λ/2n en changeant le milieu d’immersion, mais on modifie le comportement des ondes dans l’espace des moments. La technique de l’immersion solide est totalement concern´ee par ce cas, et apparaˆıt la solution naturelle au confinement de la fonction d’onde du photon.

3_{La relation d’incertitude d’Heisenberg, sous sa forme rigoureuse consid`ere une fonction (d’onde) Ψ appartenant `a} la famille des fonctions d’´energie finie L2(R) car la probabilit´e totale de pr´esence de la particuleR |Ψ(x)|2

dx = 1. Cette hypoth`ese est suffisante, sans autres consid´erations de m´ecanique quantique, `a d´emontrer la relation qui lie les dispersions en moment et en position `a l’´energie totale de la particule Ψ.

Z |Ψ(x)|2 dx ≤ 2π s Z p2_{| ˜Ψ(p)|}2_dp s Z x2_|Ψ(x)|2_{dx (2.2)}

On peut en trouver une belle d´emonstration bas´ee sur l’in´egalit´e de Cauchy-Schwartz dans [40], ainsi qu’une variante originale dans [18].