Étude bibliographique
1.2. LES PHÉNOMÈNES DE CONVECTION NATURELLE 31
Raϕ,Lc =Gr.P r.N u= g.β.ϕ.L 4
c
ν.a.λ (1.63)
Il est également possible pour des configurations données d’intégrer le rapport de forme de la géométrie du système considéré, ainsi que son angle d’inclinaison. Au cours de ce manuscrit, différentes expressions du nombre de Rayleigh seront utilisées et définies pour les applications souhaitées et considérées.
– Le nombre de Richardson Ri. Comme mentionné dans la section précédente, ce nombre adimensionnel fait le rapport des forces dues à la poussée d’Archimède et des forces d’inertie. Il s’exprime de la manière suivante :
Ri = Gr
Re2 = g.β.∆T.Lc
v2
c
(1.64) où vc (m/s) est la vitesse caractéristique, souvent correspondant à la vitesse débi-tante. Ici, Re représente le nombre de Reynolds – importance relative des forces d’inertie par rapport aux forces visqueuses – défini par :
Re= vc.Lc
ν (1.65)
Certaines des grandeurs précédemment citées servent à définir des phénomènes précis ayant lieu dans le système, comme la propension à stratifier ou le régime d’écoulement.
Les régimes d’écoulement
Dans les écoulements de convection naturelle, la transition entre le régime laminaire et le régime turbulent n’est plus définie par une valeur critique du nombre de Reynolds comme pour les écoulements de convection forcée, mais par une valeur critique du nombre de Grashof ou par le nombre de Rayleigh selon les auteurs. Physiquement, la transition d’un écoulement du régime laminaire au régime turbulent est un phénomène dynamique, la turbulence étant caractérisée par des instabilités d’importance élevée comparativement à l’écoulement moyen. De la même manière que pour les écoulements de convection forcée, cette limite de transition dépend de plusieurs paramètres tels que la géométrie, la rugosité des surfaces, la condition aux limites imposée etc. Une valeur communément utilisée est que la transition laminaire/turbulent pour une paroi verticale se fait aux environs deGr ≈
109 ≡Ra≈109.P rpour une condition de température imposée, et aux environs de Ra≈
1013pour une condition de flux imposé [92]. Concernant les couches limites dynamiques et thermiques le long d’une paroi verticale, elles peuvent être schématiquement représentées comme sur la figure 1.11.
Par analyse dimensionnelle, il est possible de donner les approximations suivantes pour les épaisseurs de couche limite dans le cas où P r >1 :
δ∝H.Ra−T ,H1/4.P r1/2 (1.66)
δT ∝H.Ra−T ,H1/4 (1.67) Ces approximations, valides pour une température fixe à la paroi, ne sont pas les mêmes que pour un flux imposé à la paroi. Dans ce cas, la couche limite thermique a un profil de Rayleigh en −1/5. Ces approximations ne prennent pas en compte le fait que, comme dans le cas étudié dans le cadre de travail, l’écoulement est situé dans une cavité fermée et que la paroi chauffée est inclinée. De plus, ces ordres de grandeur ne sont
(a) (b)
Figure 1.11 – Grandeurs représentatives des couches limites dynamique et thermique le
long d’une paroi verticale chauffée (a) pour Pr > 1 et (b) pour Pr < 1 [9]
valides que le long de la zone d’échange, et ne sont plus applicables lorsque le panache se développe le long de la paroi au dessus de la zone chauffée.
Comportement des panaches
Un panache thermique est un écoulement gravitaire résultant d’une source dont les di-mensions sont limitées, et de température différente de celle du fluide environnant [90]. L’évolution des panaches qui nous intéresse dans notre configuration est celle des panaches thermiques se développant le long d’une paroi inclinée au dessus d’une source de flux pla-naire dans un milieu confiné. Ce cas précis n’a pas été étudié dans la littérature, mais certaines configurations peuvent s’en rapprocher. Dans notre cas, le panache va se former dès que l’écoulement chaud longera la surface inclinée non chauffée au dessus de la zone d’échange. Il est important de comprendre les phénomènes engendrés par les panaches car ils vont avoir une influence sur la dynamique de l’écoulement dans la cavité, le panache allant générer du brassage qui aura un impact sur la stratification thermique du fluide et donc sur les performances du système de stockage.
Les configurations de panaches les plus largement étudiées dans la littérature sont les panaches libres bidimensionnels ou axisymétriques, à savoir les panaches thermiques dans un milieu inerte à température homogène issus d’une source linéique et ponctuelle respectivement, à la fois en écoulement laminaire et turbulent à l’aide de considérations théoriques et de mesures expérimentales. La majeure partie des études théoriques se basent sur l’analyse intégrale, ce qui nécessite la connaissance des profils de température et de vitesse, ainsi que le coefficient d’entrainement.
Les études théoriques et numériques de panache libre laminaire bidimensionnel ou axisymétrique [93–95] ont montré que la vitesse maximale de l’axe varie selonx1/5, l’écart de température maximal entre le panache et le fluide décroit enx−3/5 et que la largeur du panache augmente en x2/5;xétant la direction de l’écoulement du panache. La transition vers la turbulence a été étudiée expérimentalement [96]. Elle est comprise entre des valeurs du nombre de Grashof local modifié Gr∗x de ∼ 109 −8×109. Ce nombre est défini par l’équation (1.68) :
Grx∗ = g.β.x 3.Q(x)
1.2. LES PHÉNOMÈNES DE CONVECTION NATURELLE 33 oùQ(x) (W/m) représente le débit d’enthalpie dans le panache. Les panaches turbu-lents ont été étudiés analytiquement pour une source ponctuelle [97]. L’analyse intégrale utilisant l’hypothèse de Boussinesq, et supposant que les profils de vitesse et de tempéra-ture sont auto-semblables et que le taux d’entrainement d’air ambiant est proportionnel à la vitesse maximale pour la hauteur concernée, a permis de tirer les conclusions suivantes, vérifiées expérimentalement : la vitesse moyenne sur l’axe est indépendant de la hauteur, l’écart de température maximal décroit en 1/x et la largeur du panache est une fonction linéaire de la hauteur.
L’influence de la stratification thermique du milieu a également été évaluée [97–99], et dans le cas d’une ambiance stratifiée (souvent stable et linéaire) par rapport à une ambiance à température uniforme, on constate une diminution du terme de poussée, ce qui engendre une baisse du taux d’entraînement du panache, ainsi qu’une hauteur de pénétration liée à la multiplication du gradient thermique ambiant par le nombre de Froude initial du panache. Le nombre de Froude, représentant le ratio de l’énergie cinétique par rapport aux forces gravitationnelles, est défini par l’expression (1.69) :
F r= vc
(g.β.∆Tc.Lc)1/2 (1.69) où vc (m/s), Lc (m) et ∆Tc (K) sont respectivement une vitesse, une longueur et un écart de température caractéristiques de l’écoulement concerné. Dans notre cas, il peut s’agir de la vitesse moyenne ou maximale, de l’épaisseur du panache et de l’écart entre la température du panache et la température environnante.
Si le panache est en écoulement le long d’une paroi (adiabatique et isotherme), cela va influencer son comportement [100]. Dans le cas de la paroi adiabatique, le coefficient d’entraînement est inférieur à celui du panache libre du fait de l’effet stabilisant de la paroi. Quant à l’écoulement le long d’une paroi isotherme, comme pour le cas adiabatique, les profils moyens de vitesse et de température sont localement auto-similaires, ce qui permet de les décrire en utilisant l’analyse intégrale. D’autres méthodes numériques peuvent servir à prédire les grandeurs caractéristiques d’écoulement de panache.
Les panaches sont également étudiés dans l’environnement comme c’est le cas au dessus des radiateurs [101]. La méthode intégrale est également utilisée pour prédire la largeur dynamique du panache, sa vitesse maximale et son écart de température maximal.
Cependant, toutes les études précédemment menées ne font pas de combinaison de différents paramètres, et ne prennent pas en compte l’inclinaison de la paroi ou son aspect confiné dû au rapport de forme important de notre géométrie. Par conséquent, l’évolution du panache dans notre configuration ne peut pas être déterminée de manière très précise, mais les ordres de grandeur précédemment mentionnés peuvent permettre d’avoir des valeurs attendues de référence.
1.2.2 Phénomènes convectifs dans une cavité fermée
Cette partie a pour but de présenter les phénomènes de convection naturelle dans une enceinte fermée, afin de comprendre les transferts de masse et de chaleur qui ont lieu dans le réservoir de stockage étudié. En effet, la convection naturelle dans une cavité fermée ne présente pas les mêmes caractéristiques que celle dans un milieu ouvert du fait qu’un même volume de fluide est considéré et qu’il interagit avec lui-même, rendant les conditions aux limites omniprésentes. Ces conditions aux limites ont une influence importante sur les phénomènes ayant lieu dans la cavité considérée. J. Souza [7] avait classifié les différentes cavités en quatre catégories en fonction :
– de l’apport de chaleur : cette condition aux limites peut être à température ou à flux imposé selon les cas ; et peut être sur la totalité d’une face ou bien seulement sur une ou plusieurs parties.
– du refroidissement : dans ce cas, on trouve des températures ou des coefficients de pertes imposés aux parois correspondantes qui, de la même manière que pour l’apport de chaleur, peuvent être total ou partiel. Il est à noter que de manière générale, les autres parois sont supposées adiabatiques.
– du rapport de forme de la cavité (et sa géométrie) : il existe dans la littérature une grande variété de cavités étudiées, avec des géométries différentes au niveau de l’aspect et du rapport de forme (carré, rectangle, une face ondulée. . . ). Dans le cadre de notre étude, ce sont les cavités rectangulaires à haut rapport de forme (H/L=13 dans notre cas) qui nous ont le plus intéressé, afin de se rapprocher de la configuration du CSIS étudié.
– de l’inclinaison : ce paramètre peut avoir une influence sur le comportement du fluide dans la cavité (écrasement de la couche limite contre la paroi par rapport à une configuration verticale par exemple). En effet, ce paramètre changera les composantes du vecteur lié à l’accélération de la pesanteur, ayant des répercussions sur la poussée d’Archimède dans le système.
Ces configurations peuvent être schématiquement représentées (figure 1.12).
Figure 1.12 – Représentation schématique des différentes conditions aux limites
rencon-trées dans une cavité fermée [7].
Le cas d’étude typiquement étudié est celui de la cavité rectangulaire (ou carrée si H = L) avec les faces hautes et basses adiabatiques, une face chauffée à une température
Tchet la face opposée refroidie à une températureTf r, et dont le fluide étudié est supposé incompressible avec des propriétés thermo-physiques constantes. Les fluides fréquemment utilisés sont l’air et l’eau, mais il arrive que d’autres fluides soient utilisés ou modélisés, parfois en milieu poreux.