Étude bibliographique
1.1. LES CAPTEURS SOLAIRES INTÉGRANT LE STOCKAGE 19
Figure 1.10 – Différentes méthodes pour caractériser la stratification thermique.
d’adimensionner les grandeurs telles que :
y∗ = y H (1.16) T∗ = T −Tmin Tmax−Tmin (1.17) t∗ = t.m˙ m (1.18)
où ˙m (kg/s) est le débit dans le système etm(kg) est la masse d’eau contenue dans le réservoir. L’avantage de présenter des valeurs sous forme adimensionnelle est de montrer des résultats de différentes expériences ou de simulations numériques sur un seul graphe avec leurs grandeurs normalisées à la hauteur maximale H (m) du système étudié ainsi qu’à la différence de température maximale observée Tmax−Tmin.
Dans les études qui suivront, ces deux méthodes seront employées selon le besoin, à la fois pour les résultats expérimentaux et pour les simulations numériques.
Les paramètres et indices représentant le degré de stratification
Comme l’indique le graphe de la figure 1.10, différents paramètres sont possibles pour ce type d’approche.
Les méthodes relatives à la thermocline permettent de quantifier le gradient thermique qui sépare les parties chaude et froide du réservoir ou d’en mesurer l’épaisseur. Ces mé-thodes se servent du profil de température (souvent adimensionnel) pour définir l’épaisseur de la thermocline : c’est en dépassant une certaine valeur supérieure et inférieure qu’elle est mesurée [67,73]. D’autres auteurs utilisent des logiciels d’ajustement des courbes sur
un nuage de points (Sigmaplot par exemple) pour pouvoir déterminer de manière plus précise l’épaisseur de la thermocline [74].
Certains nombres adimensionnels servent aussi à décrire la stratification, ou du moins la propension que va avoir le système à stratifier.
Le nombre de Richardson représente l’importance relative des forces dues à la poussée d’Archimède par rapport aux forces d’inertie. Si sa valeur est proche ou supérieure à l’unité, cela indique que les forces de flottabilité sont prépondérantes, donc le réservoir aura une propension à être stratifié ; en revanche des valeurs faibles signifient que le brassage est prédominant ce qui aura tendance à uniformiser les températures dans le réservoir. Il est défini par l’équation (1.19) :
Ri = gβ∆T Lc
v2
c
(1.19) Les grandeurs Lc et vc représentent respectivement la longueur et la vitesse caracté-ristiques du système étudié, β (1/K) est le coefficient d’expansion thermique du fluide ; et dans certains cas, le cosinus de l’angle d’inclinaison du système peut être intégré dans la formule. La plupart du temps, ce nombre est utilisé lorsque le fluide est directement injecté dans le stockage, permettant ainsi l’utilisation de la vitesse débitant comme vitesse caractéristique. Par ailleurs, il a été montré que le nombre de Richardson est le paramètre adimensionnel qui caractérise le mieux la stratification dans un réservoir, bien que ce soit de manière uniquement qualitative et non pas quantitative [75]. De plus, pour pouvoir qualifier la stratification dans un cas précis, un nombre de Richardson doit être évalué dans un cas de référence afin de comparer les résultats et en déduire la stratification.
Le nombre de Péclet représente le ratio de la convection d’énergie ajoutée au stockage par l’écoulement de fluide par rapport au taux de conduction de chaleur au travers de la thermocline [76,77]. Il est donc également en lien avec l’épaisseur de la thermocline. Il est exprimé par la relation (1.20) :
P e= vcLc
a =ReP r (1.20)
où a (m2/s) est la diffusivité thermique du fluide concerné, qui est l’eau dans notre travail.
Les deux grandeurs sans dimension précédemment mentionnées, tout comme d’autres grandeurs telles que le nombre de Froude, le nombre de Fourier ou le nombre de Reynolds en entrée, servent dans certaines publications à dimensionner ou caractériser le système au préalable, et non à définir l’efficacité de la stratification [68,73]. Hahne et Chen [78] ont quant à eux utilisé initialement une définition de l’efficacité basée sur l’énergie pour tirer une corrélation de l’efficacité basée sur les nombres de Richardson, Peclet, Fourier et sur le rapport de forme du système.
D’autres grandeurs, également basées sur le profil de température, permettent de dé-finir la stratification d’un système. Il y a notamment le coefficient de stratification ST
défini par Wu et Bannerot [79] selon l’équation (1.21) :
ST = 1
meau X
n
mn[Tn−T]2 (1.21)
oùmeau(kg) est la masse d’eau contenue dans le réservoir,mn(kg) et Tn(K) la masse d’eau et la température moyenne du nœud n, et T (K) la température moyenne dans le réservoir. D’après Haller et al. [6], l’inconvénient de cette méthode est qu’elle ne prend
1.1. LES CAPTEURS SOLAIRES INTÉGRANT LE STOCKAGE 21 pas en compte l’historique de charge et décharge du système. Par ailleurs, cette méthode était intentionnellement utilisée pour des cas où la thermocline la plus prononcée était attendue pour les meilleurs cas de stratification. Cette hypothèse peut ne pas être vérifiée pour des cas expérimentaux qui diffèrent de celui utilisé par les auteurs, par exemple pour un cas de charge complète.
Dans l’étude de J. Souza [7] sur un système identique à celui étudié ici, le para-mètre choisi pour l’étude de la stratification est le nombre de stratification Str défini par Fernandez-Seara et al [80] par l’équation (1.22) :
Str = ∂T ∂y ! t ∂T ∂y ! max = 1 N −1 N−1 X n=1 Tn+1−Tn ∆y Tmax−Ti (N −1)∆y (1.22)
Ce nombre représente le gradient moyen de température à un instant donné par rapport au gradient maximal moyen dans le système pour le procédé de charge/décharge considéré. Dans l’expression, Tmax est la température maximale sur le profil de température et non pas la température maximale atteinte dans le système, Ti est la température initiale, ∆y
est le pas de l’espace dans la direction verticale du système et N le nombre total de points de relevé. Pour ce paramètre, une valeur de 1 (ou 100%) correspond à un réservoir parfaitement stratifié, et au contraire la valeur nulle représente un système complètement mixé (pas de gradients de températures).
Les efficacités basées sur la première loi de la thermodynamique
Concernant ces méthodes, il y a différentes approches. Certaines vont définir l’efficacité comme la fraction de chaleur qu’il est possible de récupérer dans le système après un certain cycle de charge/décharge, comprenant ou non une période de stockage [71] ; tandis que d’autres vont comparer différents états, par exemple un état après une charge par rapport à un état idéal ou à l’état initial. Cela revient à évaluer l’énergie stockée et l’énergie perdue ou dissipée. Ainsi, de nombreuses expressions peuvent être envisagées [81] donnant chacune des résultats, et donc des interprétations, différents.
Cependant, les définitions les plus fréquemment rencontrées sont les suivantes : – Pour la charge, il s’agit du ratio de l’énergie emmagasinée après un tempstde charge
par rapport à l’énergie qui a été fournie durant ce même temps :
ηc= énergie stockée énergie fournie =
Est(t)
Esu(t) (1.23) – Pour le stockage (mode statique), la comparaison est faite entre l’énergie restant dans le système après un temps t suivant l’état de début du mode statique corres-pondant à l’instant t= 0. Très souvent, ce dernier correspond à la fin de la charge, c’est à dire au terme calculé précédemment au numérateur. Pour le mode statique, l’efficacité peut donc s’écrire de la manière suivante :
ηst = énergie totale stockée énergie stockée (t=0) =
Est(t)
Est(t = 0) (1.24) – Pour la décharge, il s’agit du ratio entre l’énergie soutirée et l’énergie présente dans le système au démarrage du mode dynamique (ce qui peut correspondre au numérateur
de l’équation précédente) :
ηd= énergie soutirée énergie stockée (t=0) =
Ed(t)
Est(t= 0) (1.25) Pour ces définitions, les valeurs proches de l’unité (100 %) représentent un système stratifié et efficace, alors que des valeurs proches de zéro correspondent à un réservoir brassé et donc ayant des performances moindres.
Notre système étant fermé et rempli d’eau, nous allons postuler pour la suite des développements : CP =CV =C etU =H.
Dans le cas d’un réservoir décrit par N éléments, l’énergie stockée et l’énergie déchargée sont respectivement évaluées par les expressions suivantes :
Est(t) = N X n=1 [(ρV C)n(Tn−Tn(t=0))] (1.26) Ed(t) = Z t 0 [( ˙mC)(Td−T(t=0))]dt (1.27)
oùρ (kg/m3) est la masse volumique de l’élément n concerné, V (m3) son volume, C
(J/(kg.K)) sa chaleur massique, T (K) sa température, (t = 0) indique l’état du système au début du procédé concerné et ˙m (kg/s) est le débit de fluide déchargé – soutiré – au temps t.
De manière générale, les expressions les plus utilisées dans la littérature sont les sui-vantes :
η1 = T(t)−Ti
Tin−Ti (1.28)
Cette définition peut s’appliquer uniquement en mode dynamique, et les grandeurs
T, Ti et Tin représentent respectivement la température moyenne dans le système, la température initiale uniforme et la température à laquelle le fluide est injecté dans le ballon (différente de l’initiale). Si le fluide est brassé, au cours de la charge par exemple, cela sera détecté dès que le fluide sortant du système ne sera plus à la température initiale, donc l’énergie stockée dans le réservoir (représentée par le numérateur) sera inférieure à celle du même réservoir chargé sans brassage (représentée par le dénominateur). Ainsi, cette définition représente le changement d’énergie effectif du ballon divisé par le changement maximal d’énergie après remplacement du volume complet du réservoir par un écoulement piston (injection du fluide à température d’entrée sans brassage de manière à former une thermocline d’épaisseur nulle équivalente à une paroi adiabatique entre le fluide chaud et le fluide froid).
Cependant, certains auteurs ont estimé que la précédente définition ne représentait pas suffisamment les phénomènes physiques, et en ont proposé une les prenant mieux en compte :
η2 = mstC(T(t)−Ti)
t·m˙ ·CP(Tin−Ti) =
η1
t∗ (1.29)