Les modèles additifs généralisés à effets mixtes

Les données du premier recueil correspondent à des mesures répétées des niveaux de ressenti des affects et de l’utilisation des stratégies de régulation. Ces séries temporelles ont été analysées avec des modèles additifs généralisés à effets mixtes (GAMM), permettant de prendre en considération la structure hiérarchique des données pour chaque individu. Les GAM(M) sont calculés à partir de la fonction gamm du package « Mixed Generalized Additive Model Computation Vehicle with GCV/AIC/REML Smoothness » (mgcv) (Wood, 2016) du logiciel R 3.1.2 (R Core Team, 2015).

Le terme « additif » réfère à l’hypothèse de l’additivité des variables explicatives, qui est déterminée comme la somme de tous les effets individuels des VI. Contrairement à d’autres modèles, les GAM(M) ont l’avantage d’incorporer des formes non linéaires du terme additif, qui sont plus flexibles que les transformations de type polynômial (Figure 16) (Clark, 2013).

En effet lorsque les changements sont plus complexes qu’une relation curvilinéaire, les GAM(M) peuvent fournir la flexibilité nécessaire pour décrire correctement les évolutions souvent non linéaires des affects (McKeown & Sneddon, 2014).

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Figure 16. Exemples d'ajustement de modèles aux données : à gauche une régression polynomiale d'ordre 3 et à droite un modèle additif, issu de Clark (2013)

Le deuxième avantage des modèles additifs est qu’il n’y a pas besoin de tester pour comparer différents modèles afin de déterminer lequel s’ajuste le mieux aux données obtenues (Clark, 2013). L’emploi de la fonction splines permet d’éviter la tâche parfois fastidieuse de recherche du degré de liberté à déterminer pour obtenir le meilleur ajustement possible. Sur le même principe qu’une régression descendante automatique, cette fonction permet d’obtenir rapidement un équilibre raisonnablement entre le nombre total d’observations et le nombre total de degrés de liberté utilisé lors de l’ajustement du modèle (Guisan, Edwards, & Hastie, 2002 ; Lin & Zhang, 1999). De plus, ils peuvent être utilisés de manière similaire aux régressions linéaires. Si l’équation d’une régression classique est

) alors l’équation d’un modèle additif généralisé est

)

Y_i est la variable dépendante, β₀ est l’intercept, x_i est la variable indépendante, f() est la fonction correspondant aux effets fixes et ε est le terme d’erreur qui est supposé être indépendant et suivre une distribution de loi normale. Par la suite, les paramètres des modèles sont présentés selon la présentation proposée par McKeown et Sneddon (2014).

L’avantage principal de ce type de modèles statistiques à effets mixtes est qu’ils permettent de considérer simultanément les caractéristiques théoriquement partagées par l’ensemble des individus de la population (il s’agit des effets fixes) et les caractéristiques qui sont spécifiques à la variabilité intraindividuelle, c’est-à-dire propre à un individu spécifique (il s’agit des

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effets aléatoires). Ces modèles prennent en compte une tendance générale qui peut être légèrement différente en fonction des individus et de leurs caractéristiques. Par exemple, dans un modèle mixte avec intercept et pente aléatoire et un facteur expérimental fixe, l’intercept et le facteur expérimental sont autorisés à varier chez les sujets. Tous les modèles ont été estimés avec la méthode du maximum de vraisemblance.

Dans les analyses longitudinales avec des mesures répétées, les méthodes statistiques considère des effets mixtes (Gardiner, Luo, & Roman, 2009). Ce type d’études vise à recueillir pour chaque participant interrogé, la réponse à une même question, mais à différents points dans le temps ; c’est-à-dire une même variable pour différentes situations temporelles.

L’objectif des analyses réalisées est alors de modéliser la réponse attendue en fonction du temps. Les modèles à effets mixtes intègrent explicitement les effets aléatoires de chaque individu spécifique et une erreur résiduelle, qui ensemble combinent la variance intra et interindividuelle. Dans le domaine des recherches sur les affects, il semble que considérer les modèles à effets mixtes soit préférable, car ils tiennent compte de l’autocorrélation dans les séries temporelles et permettent de considérer les effets aléatoires relatifs aux participants (McKeown & Sneddon, 2014). Plus spécifiquement, McKeown et Sneddon (2014) suggèrent que les GAMM sont des techniques qui peuvent exprimer au mieux la nature dynamique des affects.

Concernant la présentation des résultats, les paramètres des modèles estimés seront présentés selon la proposition de McKeown et Sneddon (2014), qui spécifie notamment la part de variance expliquée par le modèle, ainsi que le degré de liberté correspondant à la souplesse d’ajustement du modèle. Afin de rendre compte de la taille des effets, l’ensemble des analyses est réalisé à partir des données centrées réduites. À partir des modèles estimés, les prédictions sont à chaque fois représentées graphiquement. Effectivement, la lecture seule des paramètres ne permet pas de se rendre compte de la nature des relations entre les variables considérées. Il est alors nécessaire de considérer les représentations graphiques des prédictions obtenues à partir du modèle préalablement estimé. Pour faciliter la lecture des graphiques les variables affects, stratégies et personnalité sont en score Z. Ces graphiques peuvent parfois être complexes, surtout lorsque l’on considère des interactions entre les VI.

Par exemple, si le modèle estimé renvoie à étudier l’effet modérateur de l’âge (VI1) sur l’influence d’un haut niveau d’utilisation de deux stratégies distinctes (VI2 & VI3) sur un affect (VD), voici comment serait construit le graphique correspondant :

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Figure 17. Exemple de représentation graphique des prédictions d’après un GAM Sur la Figure 17, l’âge est en ordonnée. Disposer ainsi cette variable, permet de considérer l’aspect de vie entière de l’étude 1 qui considère des individus âgés entre 13 et 80 ans. Les niveaux d’affect (qui renvoie ici à la VD) sont présentés sur l’axe des ordonnées. Il s’agit à chaque fois de valeurs en score Z, permettant de se représenter la taille des effets estimés par les modèles. D’après le modèle présenté dans cet exemple, les niveaux d’affects ont été prédits pour deux stratégies différentes qui seraient beaucoup utilisées. Un haut niveau d’utilisation des stratégies renvoie à la valeur d’un écart-type au-dessus de la moyenne. Il s’agit alors des deux courbes correspondant respectivement aux stratégies A et B. Lorsque les modèles prennent en plus en compte le niveau des traits de personnalité, les graphiques sont multipliés par le nombre de niveaux déterminés pour les prédictions. C’est-à-dire que si on ajoute une nouvelle variable, un trait de personnalité, dans le modèle, pour les prédictions les niveaux des affects seront alors prédits en fonction de l’âge, du haut niveau d’utilisation de la stratégie A et de la stratégie B, et de deux niveaux de personnalité (faible et élevé, correspondant respectivement à des niveaux de moins et plus un écart-type). Aussi avec un tel modèle, les prédictions seraient représentées sur deux graphiques, similaires à celui de la Figure 17 pour chacun des deux niveaux de personnalité. Pour faciliter la compréhension de ces graphiques, des exemples seront donnés ultérieurement avant la présentation des résultats.