2.2 La recherche de l’inclusion
2.2.3 Exemple illustratif
2.2.3.2 Les donn´ ees et les mod` eles identifi´ es
a l’inclusion totale. Cet indicateur est donc utilis´e pour refl´eter un d´efaut d’inclusion plus ou moins important.
2.2.3.2 Les donn´ees et les mod`eles identifi´es
Le comparatif en lui mˆeme est men´e sur un jeu de donn´ees simple fr´equemment ren-contr´e dans la litt´erature ([31], [64]) et pr´esent´e dans le tableau 2.1. On remarquera ici que la repr´esentation des intervalles par leurs bornes a ´et´e adopt´ee, permettant une meilleure mise en lumi`ere des points d´etaill´es par la suite. Le jeu de donn´ees comporte donc M = 8 ´echantillons. Chacun d’entre eux est constitu´e d’une entr´ee pr´ecise et d’un intervalle flou triangulaire de sortie. Celui-ci est d´efini par la valeur ponctuelle de son noyau, et son intervalle de support. Dans notre cadre d’´etude, l’objectif de la technique de r´egression lin´eaire floue est d’identifier un mod`ele d’impr´ecision minimale englobant l’ensemble des observations.
j xj Yj α-coupes de niveau α = 0.9 1 0.1 (2.25, [1.5, 3]) [2.175, 2.325] 2 0.2 (2.875, [2, 3.75]) [2.788, 2.962] 3 0.3 (2.5, [1.5, 3.5]) [2.4, 2.6] 4 0.4 (4.25, [2.5, 6]) [4.075, 4.425] 5 0.5 (4.0, [2.5, 5.5]) [3.85, 4.15] 6 0.6 (5.25, [4, 6.5]) [5.125, 5.375] 7 0.7 (7.5, [5.5, 9.5]) [7.3, 7.7] 8 0.8 (8.5, [7, 10]) [8.35, 8.65]
Tab. 2.1: Le jeu de donn´ees observ´ees et α-coupes de niveau α = 0.9
Les mod`eles triangulaire et trap´ezo¨ıdal sont identifi´es en minimisant le crit`ere J2 pour le premier, et J2T rap pour le second, sous l’ensemble des contraintes ad´equates. L’identification du mod`ele triangulaire se fait sur les α-coupes de niveau α = 0 des sorties observ´ees. Les param`etres obtenus pour chacun des mod`eles sont pr´esent´es dans les tableaux 2.2 et 2.3, selon qu’une repr´esentation dans l’espace des bornes ou dans l’espace Midpoint / Radius est adopt´ee.
Mod`ele triangulaire (α = 0) Mod`ele trap´ezo¨ıdal A0 (0.96, [0, 1.92]) ([0.25, 1.36], [0, 1.92]) A1 (7.92, [5, 10.83]) ([7.5, 8.93], [5, 10.83])
Tab. 2.2: Param`etres des mod`eles obtenus (repr´esentation dans l’espace des bornes)
Mod`ele triangulaire (α = 0) Mod`ele trap´ezo¨ıdal A0 (0.96, 0.96) ((0.805, 0.555), (0.96, 0.96)) A1 (7.915, 2.915) ((8.215, 0.715), (7.915, 2.915))
Tab. 2.3: Param`etres des mod`eles obtenus (repr´esentation dans l’espace Mid-point/Radius)
Les diff´erents indicateurs introduits dans la section pr´ec´edente sont ensuite calcul´es pour chacun des deux mod`eles identifi´es et pr´esent´es dans le tableau 2.4.
Celles-Mod`ele triangulaire (α = 0) Mod`ele trap´ezo¨ıdal
J2T rap 18.29 25.17
Distance 35.76 48.08
erreur 4.57 4.43
Compatibilite 0.83 1
Tab. 2.4: Indicateurs associ´es aux mod`eles identifi´es
ci pr´esentent les donn´ees triangulaires floues (intervalles verticaux pour le support et cercle pour le noyau ponctuel) ainsi que les supports (traits pleins) et noyaux (traits discontinus) des mod`eles identifi´es.
0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8
0
2
4
6
8
1 0
x
Y
Fig. 2.1: Mod`ele flou triangulaire identifi´e (α = 0)
On constate l’´egalit´e des supports pour les deux mod`eles identifi´es (cf. tableau 2.2) ainsi que l’inclusion des observations dans les pr´edictions au niveau des supports (garantie par contraintes dans les deux cas).
La diff´erence notable entre les deux mod`eles se situe au niveau des noyaux. Dans le cas du mod`ele triangulaire (cf. figure 2.1), le noyau pr´ecis de la sortie correspond `a la droite d’´equation (2.27) :
0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8
0
2
4
6
8
1 0
x
Y
Fig. 2.2: Mod`ele flou trap´ezo¨ıdal identifi´e
qui, si elle offre une bonne approximation de la tendance globale des valeurs modales ob-serv´ees, ne permet bien ´evidemment pas l’inclusion. A contrario, le noyau de la sortie du mod`ele trap´ezo¨ıdal (cf. figure 2.2) est un intervalle, respectant l’inclusion de tous les noyaux des obser-vations. Son Midpoint est donn´e par l’´equation (2.28) :
MKYˆ = 0.8 + 8.21 · x (2.28)
L’indicateur de compatibilit´e du mod`ele trap´ezo¨ıdal, de valeur Compatibilite = 1, illustre le fait que l’inclusion est bien respect´ee au niveau α = 1, ce qui est suffisant pour garantir l’inclusion `a tout niveau α. Une vision tri-dimensionnelle des mod`eles triangulaire (figure 2.3) et trap´ezo¨ıdal (figure 2.4) et du jeu de donn´ees met clairement en ´evidence une inclusion totale dans le cas trap´ezo¨ıdal et uniquement partielle dans le cas triangulaire.
Cet ´etat de fait est encore plus visible si l’on examine un ´echantillon particulier, par exemple le premier (j = 1) du tableau 2.1. Dans ce cas, la sortie pr´edite avec le mod`ele triangulaire est :
ˆ
Y1 = (1.75, [0.5, 3]) (2.29)
alors que celle pr´edite avec le mod`ele trap´ezo¨ıdal est :
ˆ
0 0 . 2
0 . 4 0 . 6
0 . 8
2
4
6
8
1 0
0
0 . 5
1
x
Y
α
Fig. 2.3: Mod`ele flou triangulaire identifi´e - vue tridimensionnelle
Les figures 2.5 et 2.6 repr´esentent l’observation j = 1 ainsi que les pr´edictions triangulaire et trap´ezo¨ıdale (2.29) et (2.30). La figure 2.5 met en ´evidence un indice de compatibilit´e de 0.75 pour le mod`ele triangulaire, alors que l’inclusion n’est respect´ee qu’au niveau α = 0 (saturation de la contrainte d’inclusion relative `a la borne maximale du support). Cet exemple particulier illustre clairement qu’une valeur de compatibilit´e globale relativement ´elev´ee (0.83) mais diff´erente de 1 ne garantit en rien un niveau d’inclusion sup´erieur `a 0.
En dehors de la compatibilit´e, les indicateurs du tableau 2.4 refl`etent une qualit´e moins bonne du mod`ele trap´ezo¨ıdal (plus impr´ecis, moins en ad´equation aux donn´ees) que du mod`ele triangulaire. Comme attendu, l’inclusion totale s’obtient au d´etriment des autres caract´eristiques du mod`ele.
Pour une comparaison r´ealiste en terme d’impr´ecision des mod`eles triangulaire et trap´ezo¨ıdal, il est donc n´ecessaire de pouvoir garantir un niveau minimum d’inclusion similaire pour les deux types de mod`eles. Malheureusement, comme discut´e dans le premier chapitre, il n’est g´en´eralement pas possible de garantir une inclusion au niveau α = 1 avec un mod`ele triangulaire, comme c’est le cas avec un mod`ele trap´ezo¨ıdal. Par contre, le choix d’un α ´elev´e (mais inf´erieur strictement `a 1) dans le probl`eme minimal (synth`ese 2) garantit une inclusion `a ce niveau α. Pour augmenter le niveau d’inclusion garanti du mod`ele triangulaire, celui-ci est maintenant identifi´e avec des contraintes d’inclusion sur les α-coupes au niveau α = 0.9 (cf. tableau 2.1), et non plus
0 0 . 2
0 . 4 0 . 6
0 . 8
2
4
6
8
1 0
0
0 . 5
1
x
Y
αFig. 2.4: Mod`ele flou trap´ezo¨ıdal identifi´e - vue tridimensionnelle
0 . 5 1 . 5 3
0 0 . 7 5 1
α
Fig. 2.5: Sorties observ´ee et pr´edite (j = 1) pour le mod`ele triangulaire identifi´e `a α = 0
au niveau α = 0 consid´er´e pr´ec´edemment. Les param`etres du mod`ele obtenu (repr´esentation dans l’espace Midpoint / Radius), ainsi que les indicateurs de performance qui lui sont associ´es sont disponibles dans le tableau 2.5.
trian-0 . 5 1 1 . 5 2 . 2 5 3 0
1
α
Fig. 2.6: Sorties observ´ee et pr´edite (j = 1) pour le mod`ele trap´ezo¨ıdal
Mod`ele triangulaire (α = 0.9)
A0 (0.82, 5.98)
A1 (8.14, 8.53)
Compatibilite 0.92
Distance 158.77
J2T rap 79.98
Tab. 2.5: Param`etres du mod`ele triangulaire identifi´e `a α = 0.9 et indicateurs associ´es
gulaire identifi´ee est maintenant :
ˆ
Y1 = (1.63, [−5.24, 8.51]) (2.31)
Cette derni`ere est visualis´ee sur la figure 2.7 qui illustre un indice de compatibilit´e de 0.92.
Si, comme cela ´etait recherch´e, l’inclusion a bien ´et´e augment´ee (valeur de l’indicateur compatibilite = 0.92), il est ´evident `a la vue de ces r´esultats que cela s’est fait au prix d’une d´et´erioration tr`es nette de l’impr´ecision du mod`ele (crit`ere J2T rap), et de son ad´equation aux observations (crit`ere Distance). Bien que l’inclusion ne soit toujours que partielle (cf.figure 2.7), tous les autres indicateurs sont `a pr´esent moins bons que ceux du mod`ele trap´ezo¨ıdal identifi´e. Ainsi, maximiser l’inclusion en conservant un mod`ele triangulaire entraˆıne une d´egradation tr`es nette de la qualit´e de celui-ci, bien sup´erieure `a la d´egradation engendr´ee par l’identification d’un mod`ele trap´ezo¨ıdal qui permet lui d’assurer l’inclusion totale.
Ces diff´erentes consid´erations sur cet exemple simple valident le fait qu’il est pr´ef´erable de consid´erer un mod`ele trap´ezo¨ıdal si une inclusion importante des observations dans les
- 5 . 2 4 1 . 5 3 8 . 5 1 0
0 . 9 2 1
α
Fig. 2.7: Sorties observ´ee et pr´edite (j = 1) pour le mod`ele triangulaire identifi´e `a α = 0.9
pr´edictions est recherch´ee. Par cons´equent, dans la suite, nous retiendrons cette solution, et la technique d’identification adapt´ee, pr´esent´ee dans la synth`ese 3.