Discussion

a-dire que les Radius des intervalles aux deux α-coupes consid´er´ees doivent ˆetre positifs ou nuls :

RK_A0 ≥ 0 , et R_SA0 ≥ 0 (2.16)

R_KA1 ≥ 0 , et R_S

A1 ≥ 0 (2.17)

Synth`ese 3 : Afin de garantir l’inclusion des observations dans les sorties pr´edites d’un mod`ele r´egressif lin´eaire flou, il est propos´e d’utiliser un mod`ele dont les param`etres, et par propagation, la sortie, sont des intervalles flous trap´ezo¨ıdaux. Le probl`eme d’optimisation correspondant est exprim´e par :

min

R_KA,R_SA,M_KA,M_SA J_{2T rap}(R_KA, R_SA) (2.18)

sous les contraintes d’inclusion :

[Yj]α=1⊆ [ ˆYj]α=1 (2.19)

[Yj]α=0⊆ [ ˆYj]α=0 (2.20)

et les contraintes assurant l’obtention d’intervalles flous (2.15), (2.16) et (2.17).

2.2.2 Discussion

Cette approche visant `a identifier un mod`ele trap´ezo¨ıdal permet d’obtenir l’inclusion `a tout degr´e α. Il est int´eressant de constater ici qu’elle peut ˆetre vue comme une g´en´eralisation `a moindre coˆut de l’approche classique consistant `a d´eterminer un mod`ele triangulaire sym´etrique (cf. synth`ese 2). Cela peut ˆetre soulign´e aussi bien au niveau de la structure du mod`ele, de la m´ethode d’identification, et de l’interpr´etation du mod`ele obtenu.

En ce qui concerne la structure du mod`ele, le fait de consid´erer des coefficients flous trap´ezo¨ıdaux et non plus triangulaires sym´etriques revient `a introduire deux nouveaux pa-ram`etres par coefficient, en l’occurrence, le Midpoint et le Radius de leur noyau. Cela permet

donc de disposer d’un noyau sous forme d’intervalle, et non plus r´eduit `a un point, et donc d’ob-tenir l’inclusion des observations dans les pr´edictions au degr´e α = 1. Ainsi, l’introduction de ces deux nouveaux param`etres permet d’une part de positionner le noyau de la sortie du mod`ele (via le Midpoint), et d’autre part de quantifier l’impr´ecision au niveau du noyau des param`etres du mod`ele (via le Radius). Ce dernier point est en accord avec notre vision de l’impr´ecision comme caract´eristique intrins`eque du mod`ele. Plutˆot que de voir cela comme un ajout d’impr´ecision dans la structure du mod`ele, nous pr´ef´ererons donc parler de meilleure repr´esentation.

L’ajout de deux param`etres suppl´ementaires a bien entendu une influence sur la m´ethode d’identification propos´ee, aussi bien au niveau du crit`ere que des contraintes. On remarquera pr´ealablement que cela n’impacte en rien l’approche par α-coupes permettant la manipulation d’intervalles conventionnels au travers de l’arithm´etique associ´ee. Cependant, l’utilisateur n’a plus `a d´eterminer la valeur de α `a laquelle r´ealiser l’identification, les deux niveaux consid´er´es ´

etant fix´es d´efinitivement comme ´etant le support et le noyau des intervalles flous consid´er´es. Ce point est important, car synonyme de simplicit´e de mise en oeuvre, priorit´e mise en avant dans notre vision de la probl´ematique de la r´egression lin´eaire floue.

La repr´esentation retenue de l’impr´ecision (´equation (2.11)) permet de consid´erer la dimen-sion verticale de la sortie du mod`ele en minimisant l’aire des intervalles flous trap´ezo¨ıdaux. Le crit`ere finalement obtenu (2.12) reste lin´eaire et g´en´eralise celui utilis´e pour identifier un mod`ele triangulaire sym´etrique (1.46). En effet, il s’agit au final de minimiser une somme pond´er´ee des Radius des intervalles consid´er´es, non plus `a un unique degr´e, mais aux deux consid´er´es simul-tan´ement. Si le Radius des noyaux des param`etres est nul, le crit`ere (2.12) a la mˆeme expression que le crit`ere (1.46). Ainsi, les modifications apport´ees au niveau du crit`ere semblent ˆetre assez facilement assimilables par un utilisateur potentiellement int´eress´e par la mise en oeuvre de l’approche trap´ezo¨ıdale.

En ce qui concerne les contraintes, la philosophie g´en´erale est inchang´ee. La seule diff´erence notable est que l’inclusion doit ˆetre respect´ee `a deux niveaux distincts, ce qui induit un plus grand nombre de contraintes. En effet, selon la synth`ese 2 concernant l’identification de mod`eles triangulaires, une unique contrainte d’inclusion est associ´ee `a chaque exemple alors qu’il en faut deux dans le cas d’un mod`ele trap´ezo¨ıdal (synth`ese 3). De la mˆeme mani`ere, le nombre de contraintes associ´ees `a l’obtention d’intervalles bien d´efinis est doubl´e. Enfin, l’introduction de la contrainte (2.15) pour chaque param`etre permet de lever l’hypoth`ese de sym´etrie sur la sortie du mod`ele.

Globalement, en terme de complexit´e du probl`eme d’optimisation, le coˆut reste somme toute mod´er´e : facteur deux sur le nombre de param`etres `a identifier et sur le nombre de contraintes `

a satisfaire.

pr´ediction. En effet, la diff´erence de forme entre sorties pr´edites (trap`ezes) et sorties observ´ees (triangles) peut paraˆıtre contre-intuitive. Certains ´el´ements de r´eflexion permettent cependant de la justifier. Tout d’abord, dans le cas particulier o`u la valeur modale des sorties observ´ees suit parfaitement un mod`ele lin´eaire pr´ecis, le noyau du mod`ele identifi´e sera lui aussi pr´ecis. Autrement dit, le mod`ele identifi´e sera triangulaire si les observations le justifient. Dans le cas contraire, le noyau du mod`ele identifi´e refl`ete la variabilit´e des modes observ´es et le support leur impr´ecision.

Il est int´eressant pour clore cette discussion d’introduire les travaux de Lee et Tanaka [40], [64], `a notre connaissance les seuls abordant l’identification d’un mod`ele trap´ezo¨ıdal. Ces travaux se focalisent sur le cas o`u les observations sont des intervalles conventionnels, ´eventuellement obtenus par α-coupe `a un niveau α fix´e d’observations floues. Les auteurs proposent d’identifier deux mod`eles distincts dont les param`etres sont des intervalles conventionnels :

• un mod`ele dit inf´erieur ; • un mod`ele dit sup´erieur,

puis d’unifier ces deux mod`eles pour construire un mod`ele flou trap´ezo¨ıdal. Le mod`ele inf´erieur est alors utilis´e comme noyau du mod`ele final, alors que le mod`ele sup´erieur est associ´e au support de ce dernier. Deux principes diff´erents sont propos´es pour garantir l’inclusion du mod`ele inf´erieur (noyau) dans le mod`ele sup´erieur (support).

Le premier exploit´e dans [64] consiste `a identifier un mod`ele de possibilit´e pour le mod`ele sup´erieur, et un mod`ele de n´ecessit´e pour le mod`ele inf´erieur (cf section 1.4.1.3 du chapitre I). Si le mod`ele de n´ecessit´e existe, il est effectivement inclus dans le mod`ele de possibilit´e. Si ce n’est pas le cas, Tanaka et Lee pr´econisent l’utilisation de mod`eles polynomiaux.

Le second principe propos´e dans [40] consiste `a identifier deux mod`eles de possibilit´e, mais avec deux jeux de donn´ees diff´erents. Le mod`ele sup´erieur est alors identifi´e avec l’int´egralit´e des ´

echantillons disponibles, alors que seul un sous-ensemble de ceux-ci est utilis´e pour l’identification du mod`ele inf´erieur. La s´election de ce sous-ensemble est r´ealis´e selon une approche statistique par quantile.

Dans les deux cas, il est difficile de donner une interpr´etation au mod`ele flou final. Si le noyau de la sortie peut ˆetre vu comme le cas le plus optimiste, et son support comme le cas le plus d´efavorable, aucune signification ne peut ˆetre attribu´ee aux coupes de niveau interm´ediaire.

Notre approche est donc fondamentalement diff´erente de celles propos´ees par Tanaka et Lee. En effet, l’introduction de param`etres trap´ezo¨ıdaux dans le mod`ele flou permet de garantir l’inclusion `a tous niveaux d’α-coupe, et ainsi de donner un sens relatif `a un niveau d’inclusion pour α variant de 0 `a 1.