Exemples illustratifs

equation (2.5)) sera constant par saturation des contraintes assurant l’identification d’intervalles flous `a Radius positifs. On retrouve une situation similaire `a celle qui nous a conduit `a introduire un d´ecalage.

En ce qui concerne l’interpr´etation de ce type de mod`ele `a d´ecalage (2.34), l’introduction d’un param`etre suppl´ementaire n’est pas pr´ejudiciable. En effet, la connaissance de la valeur du shif t, coupl´ee `a celle du domaine de d´efinition D du mod`ele, permet `a l’utilisateur d’obtenir de mani`ere imm´ediate, selon le tableau 2.6, la variation de l’impr´ecision de la sortie du mod`ele. Bien entendu, cette analyse doit ensuite ˆetre affin´ee par une ´etude plus fine des param`etres A0

et A₁ du mod`ele.

2.3.3 Exemples illustratifs

L’objectif du premier exemple consid´er´e dans cette section est de d´eterminer le gain engendr´e par l’identification de mod`eles trap´ezo¨ıdaux `a d´ecalage au niveau de la repr´esentativit´e de la tendance de l’impr´ecision des observations.

variations de l’impr´ecision inaccessibles pour les mod`eles conventionnels. Or, dans l’exemple pr´esent´e dans le tableau 2.1, et selon le mod`ele trap´ezo¨ıdal obtenu dans la section 2.2.3.2, l’impr´ecision des donn´ees est globalement croissante, et ce, pour des entr´ees positives. Ce cas n’est donc pas probl´ematique. Afin de mettre en lumi`ere les b´en´efices des mod`eles `a d´ecalage, il est possible de modifier ces donn´ees d’impr´ecision croissante de fa¸con `a ce que les entr´ees deviennent n´egatives. Ainsi, en translatant les entr´ees d’une valeur de −0.9, on obtient le jeu de donn´ees du tableau 2.7, consid´er´e par la suite pour l’identification des mod`eles, avec et sans d´ecalage, sur le domaine D = [−0.8, −0.1].

j x_j Y_j 1 −0.8 (2.25, [1.5, 3]) 2 −0.7 (2.875, [2, 3.75]) 3 −0.6 (2.5, [1.5, 3.5]) 4 −0.5 (4.25, [2.5, 6]) 5 −0.4 (4.0, [2.5, 5.5]) 6 −0.3 (5.25, [4, 6.5]) 7 −0.2 (7.5, [5.5, 9.5]) 8 −0.1 (8.5, [7, 10])

Tab. 2.7: Le nouveau jeu de donn´ees observ´ees

L’identification du mod`ele trap´ezo¨ıdal conventionnel se fait selon la synth`ese 3 alors que le mod`ele `a d´ecalage est d´etermin´e selon la synth`ese 4.

Sachant que l’impr´ecision des donn´ees est croissante, le d´ecalage est fix´e `a la borne inf´erieure de D, c’est-`a-dire shif t = −0.8 et la variable d´ecal´ee w = x + 0.8 est utilis´ee dans la formulation du probl`eme d’optimisation.

Les mod`eles flous trap´ezo¨ıdaux sans et avec d´ecalage obtenus sont pr´esent´es dans le tableau 2.8, et une repr´esentation en est propos´ee sur les figures 2.8 et 2.9.

Mod`ele sans d´ecalage Mod`ele avec d´ecalage

shif t Non −0.8

A₀ ([7.57, 9.39], [6.07, 11.29]) ([1, 2.25], [0.5, 3])

A1 8.93 ([7.5, 8.93], [5, 10.83])

Tab. 2.8: Mod`eles obtenus (repr´esentation dans l’espace des bornes)

Il est ´evident visuellement que l’utilisation d’un mod`ele `a d´ecalage sur le jeu de donn´ees consid´er´e dans cet exemple est tr`es avantageuse. En effet, une repr´esentation identique `a celle du

- 0 . 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 . 2 0

0

2

4

6

8

1 0

x

Y

Fig. 2.8: Mod`ele flou trap´ezo¨ıdal conventionnel identifi´e

Mod`ele sans d´ecalage Mod`ele avec d´ecalage

shif t Non −0.8

Distance 58.83 48.08

J_{2T rap} 28.14 25.17

Tab. 2.9: Comparatif des mod`eles obtenus

cas des entr´ees positives est obtenue (mˆeme param`etre A<sub>1</sub> identifi´e, cf. tableau 2.2), permettant une repr´esentation optimale des donn´ees. Ainsi, la sortie du mod`ele pr´esente bien une impr´ecision croissante tant au niveau du support que du noyau. Par contre, le mod`ele sans d´ecalage a une sortie d’impr´ecision constante, en coh´erence avec le param`etre A1 pr´ecis identifi´e (cf. tableau 2.8).

Ce gain en repr´esentativit´e du mod`ele `a d´ecalage se traduit ´egalement par une am´elioration des deux indicateurs consid´er´es (cf. tableau 2.9). En effet, l’impr´ecision du mod`ele (crit`ere J2T rap) est diminu´ee de 10.5%, tandis que l’erreur quadratique de l’identification d´ecroˆıt de 18.3%. Le mod`ele `a d´ecalage obtenu est donc optimal au sens du crit`ere d’impr´ecision d´efini, et pr´esente une meilleure corr´elation aux donn´ees d’identification.

- 0 . 8 - 0 . 6 - 0 . 4 - 0 . 2 0

0

2

4

6

8

1 0

x

Y

Fig. 2.9: Mod`ele flou trap´ezo¨ıdal `a d´ecalage identifi´e

d’un d´ecalage sur l’impr´ecision du mod`ele identifi´e. Pour ce faire, le jeu de donn´ees pr´esent´e dans le tableau 2.10 est consid´er´e. Il s’agit en fait du jeu de donn´ees initial pr´esent´e dans le tableau 2.1 mais pour lequel les entr´ees ont ´et´e translat´ees d’une valeur de 2.

j xj Yj 1 2.1 (2.25, [1.5, 3]) 2 2.2 (2.875, [2, 3.75]) 3 2.3 (2.5, [1.5, 3.5]) 4 2.4 (4.25, [2.5, 6]) 5 2.5 (4.0, [2.5, 5.5]) 6 2.6 (5.25, [4, 6.5]) 7 2.7 (7.5, [5.5, 9.5]) 8 2.8 (8.5, [7, 10])

Tab. 2.10: Le jeu de donn´ees observ´ees

Deux mod`eles trap´ezo¨ıdaux sont identifi´es, l’un sans d´ecalage, selon la m´ethodologie de la synth`ese 3, et le second avec un d´ecalage, selon la synth`ese 4. Dans ce dernier cas, le domaine de d´efinition du mod`ele est D = [2.1, 2.8]. Sachant que l’impr´ecision des observations est croissante

2 2 . 2 2 . 4 2 . 6 2 . 8

0

2

4

6

8

1 0

x

Y

Fig. 2.10: Mod`ele flou trap´ezo¨ıdal sans d´ecalage identifi´e

Mod`ele sans d´ecalage Mod`ele avec d´ecalage

shif t Non 2.1

A₀ −16.5 ([1, 2.25], [0.5, 3])

A₁ ([8.2, 8.93], [7.6, 9.63]) ([7.5, 8.93], [5, 10.83])

Distance 52.35 48.08

J_{2T rap} 27.05 25.17

Tab. 2.11: Mod`eles obtenus (repr´esentation dans l’espace des bornes) et in-dicateurs associ´es

sur D, la valeur de d´ecalage est fix´ee `a shif t = 2.1. Les param`etres et indicateurs associ´es `a chacun de ces mod`eles sont pr´esent´es dans le tableau 2.11, tandis qu’une repr´esentation en est propos´ee dans les figures 2.10 et 2.11.

Le param`etre A1 du mod`ele trap´ezo¨ıdal `a d´ecalage identifi´e est identique `a celui du mod`ele obtenu sur le jeu de donn´ee initial (cf. tableau 2.2). Bien que les entr´ees aient ´et´e translat´ees, augmentant ainsi leur amplitude, l’impr´ecision des sorties du mod`ele, tout comme celle des observations, est rest´ee inchang´ee. Ainsi, retrouver un param`etre A1 identique est un r´esultat positif, la repr´esentation des donn´ees par le mod`ele ´etant donc optimale.

2 2 . 2 2 . 4 2 . 6 2 . 8

2

4

6

8

1 0

x

Y

Fig. 2.11: Mod`ele flou trap´ezo¨ıdal avec d´ecalage identifi´e

En ce qui concerne le param`etre A0, il correspond `a la sortie du mod`ele ´evalu´ee au point w = 0, soit x = 2.1. L’intervalle flou trap´ezo¨ıdal ainsi d´efini est le mˆeme que celui correspondant `

a la sortie du mod`ele identifi´e sur le jeu de donn´ee initial (cf. tableau 2.2) ´evalu´ee au point x = 0.1 (cf. ´equation (2.30)). Sachant que l’unique diff´erence entre les deux jeux de donn´ees est la translation de valeur 2 des entr´ees, il est clair que les deux mod`eles sont totalement similaires, et optimaux au sens des indicateurs.

Si on consid`ere les param`etres du mod`ele sans d´ecalage, on voit que le param`etre A₀ est pr´ecis, le param`etre A<sub>1</sub> ´etant modifi´e en cons´equence afin de respecter les inclusions des obser-vations dans les pr´edictions. Cela a pour effet de d´et´eriorer l’ad´equation de la sortie aux donn´ees (indicateur Distance), et d’augmenter l’impr´ecision du mod`ele (indicateur J_{2T rap}). Le mod`ele optimal n’est donc pas retrouv´e. Cela s’explique par le fait que l’origine du mod`ele non d´ecal´e est conserv´ee au point x = 0, la sortie du mod`ele en ce point ´etant le param`etre A0 (cf. figure 2.12). Dans ce cas, il est clair visuellement que ce ne sont pas seulement les contraintes d’inclusion des observations dans les pr´edictions qui sont satur´ees, mais ´egalement la contrainte assurant l’obtention d’un param`etre A<sub>0</sub>`a Radius positif. La saturation de cette contrainte (correspondant donc `a un param`etre pr´ecis de Radius nul) entraine donc une alt´eration de la valeur optimale du crit`ere, et par cons´equent, des param`etres optimaux.

0 1 2

- 1 5

0

1 0

x

Y

Fig. 2.12: Mod`ele flou trap´ezo¨ıdal sans d´ecalage identifi´e - visualisation du param`etre A0

du domaine de d´efinition du mod`ele identifi´e `a l’aide du d´ecalage de l’entr´ee, permettant ainsi de s’affranchir de l’amplitude des entr´ees, tout en garantissant l’obtention d’un mod`ele flou bien d´efini sur son domaine.

Pour r´esumer les b´en´efices de l’identification de mod`eles trap´ezo¨ıdaux `a entr´ee d´ecal´ee illustr´es dans cette section, plusieurs points principaux sont `a rappeler. Tout d’abord, en fixant une valeur de d´ecalage shif t appropri´ee, il est possible de repr´esenter toutes tendances possibles des donn´ees, aussi bien au niveau des valeurs modales que de l’impr´ecision, sans perte de lin´earit´e du mod`ele. Ce param`etre est par ailleurs totalement invisible dans la m´ethode d’identification, qui reste inchang´ee par simple changement de variable. Enfin, ce d´ecalage, en fixant le z´ero sur des bornes du domaine de d´efinition du mod`ele, permet de s’affranchir de l’impact n´egatif de l’amplitude des donn´ees sur la valeur optimale du crit`ere.

Par cons´equent, dans la suite, seuls des mod`eles lin´eaires flous trap´ezo¨ıdaux `a entr´ee d´ecal´ee seront consid´er´es.